Декаграмма (геометрия)
| Обычный декаграмм | |
|---|---|
 Обычная декаграмма | |
| Тип | Правильный звездчатый многоугольник |
| Ребра и вершины | 10 |
| Символ Шлефли | {10/3} т{5/3} |
| Диаграммы Кокстера – Дынкина |       |
| Группа симметрии | Двухгранный (Д 10 ) |
| Внутренний угол ( градусы ) | 72° |
| Характеристики | звезда , циклическая , равносторонняя , изогональная , изотоксальная |
| Двойной полигон | себя |
| Звездные многоугольники |
|---|
В геометрии декаграмма — это десятиконечный звездчатый многоугольник . Существует одна правильная декаграмма, содержащая вершины правильного десятиугольника , но соединенная каждой третьей точкой. Его символ Шлефли — {10/3}. [1]
Название «декаграмма» сочетает в себе цифровую приставку « дека- » с греческим суффиксом «-грамм» . Суффикс -gram происходит от γραμμῆς ( grammēs ), что означает линию. [2]
Обычная декаграмма [ править ]
Для правильной декаграммы с единичной длиной ребра пропорции точек пересечения на каждом ребре такие, как показано ниже.
Приложения [ править ]
Декаграммы использовались как один из декоративных мотивов плиток гирих . [3]
вариации Изотоксальные
Изотоксальный многоугольник имеет две вершины и одно ребро. Существуют изотоксальные формы декаграммы, в которых вершины на двух радиусах чередуются. Каждая форма имеет свободу одного угла. Первый — это вариант двойной обмотки пятиугольника {5}, а последний — вариант двойной обмотки пентаграммы {5/2}. Середина — это вариант обычной декаграммы {10/3}.
 {(5/2) а } |  {(5/3) а } |  {(5/4) а } |
Связанные цифры [ править ]
Правильная декаграмма — это 10-сторонняя полиграмма , представленная символом {10/n}, содержащая те же вершины, что и обычный десятиугольник . Только одна из этих полиграмм, {10/3} (соединяющая каждую третью точку), образует правильный звездчатый многоугольник , но есть также три десятивершинные полиграммы, которые можно интерпретировать как правильные соединения:
- {10/5} представляет собой соединение пяти вырожденных двуугольников 5{2}.
- {10/4} — соединение двух пентаграмм 2{5/2}.
- {10/2} — соединение двух пятиугольников 2{5}. [4] [5]
| Форма | Выпуклый | Сложный | Звездный многоугольник | Соединения | |
|---|---|---|---|---|---|
| Изображение |  |  |  |  |  |
| Символ | {10/1} = {10} | {10/2} = 2{5} | {10/3} | {10/4} = 2{5/2} | {10/5} = 5{2} |
{10/2} можно рассматривать как двумерный эквивалент трехмерного соединения додекаэдра и икосаэдра и четырехмерного соединения 120 и 600 ячеек ; то есть соединение двух пятиугольных многогранников в соответствующих двойственных положениях.
{10/4} можно рассматривать как двумерный эквивалент трехмерного соединения малого звездчатого додекаэдра и большого додекаэдра или соединения большого икосаэдра и большого звездчатого додекаэдра по тем же причинам. У него есть шесть четырехмерных аналогов, два из которых представляют собой соединения двух самодвойственных звездных многогранников, как и сама пентаграмма; соединение двух больших 120-клеток и соединение двух больших звездчатых 120-клеток . Полный список можно увидеть в разделе Многогранное соединение#Соединения с двойственными числами .
Более глубокие усечения правильного пятиугольника и пентаграммы могут привести к образованию промежуточных звездчатых многоугольников с десятью равноотстоящими друг от друга вершинами и двумя длинами ребер, которые остаются транзитивными по вершинам (любые две вершины могут быть преобразованы друг в друга за счет симметрии фигуры). [6] [7] [8]
| Квазирегулярный | изогональный | Квазирегулярный Двойное покрытие | |
|---|---|---|---|
 т{5} = {10} |  |  |  т{5/4} = {10/4} = 2{5/2} |
 т{5/3} = {10/3} |  |  |  т{5/2} = {10/2} = 2{5} |
См. также [ править ]
Ссылки [ править ]
- ^ Барнс, Джон (2012), Gems of Geometry , Springer, стр. 28–29, ISBN 9783642309649 .
- ^ γραμμή , Генри Джордж Лидделл, Роберт Скотт, Греко-английский лексикон , о Персее
- ^ Сарханги, Реза (2012), «Многогранная модульность в особом классе взаимосвязанных звездных многоугольников на основе декаграмм», Bridges 2012: Mathematics, Music, Art, Architecture, Culture (PDF) , стр. 165–174 .
- ^ Правильные многогранники, стр. 93-95, правильные звездчатые многоугольники, правильные звездчатые соединения.
- ^ Коксетер, Введение в геометрию, второе издание, 2.8 Звездные многоугольники , стр. 36-38.
- ^ Светлая сторона математики: материалы конференции памяти Эжена Стренса по развлекательной математике и ее истории, (1994), Метаморфозы многоугольников , Бранко Грюнбаум .
- ^ * Коксетер, Гарольд Скотт Макдональд ; Лонге-Хиггинс, MS; Миллер, JCP (1954). «Равномерные многогранники». Философские труды Лондонского королевского общества. Серия А. Математические и физические науки . 246 (916). Королевское общество : 411. Бибкод : 1954RSPTA.246..401C . дои : 10.1098/rsta.1954.0003 . ISSN 0080-4614 . JSTOR 91532 . МР 0062446 . S2CID 202575183 .
- ^ Коксетер, Плотности правильных многогранников I, стр. 43. Если d нечетно, усечение многоугольника {p/q} естественным образом равно {2n/d}. Но если нет, то он состоит из двух совпадающих {n/(d/2)}; два, потому что каждая сторона возникает из исходной стороны и один раз из исходной вершины. Таким образом, плотность многоугольника не изменяется при усечении.