Равносторонний многоугольник

В геометрии равносторонний многоугольник — это многоугольник , все стороны которого имеют одинаковую длину. За исключением случая треугольника , равносторонний многоугольник не обязательно должен быть равноугольным (иметь все углы равными), но если это так, то это правильный многоугольник . Если число сторон не менее пяти, равносторонний многоугольник не обязательно должен быть выпуклым : он может быть вогнутым или даже самопересекающимся .

Примеры

Все правильные многоугольники и многоугольники, транзитивные по ребрам, являются равносторонними. Если равносторонний многоугольник непересекающийся и циклический (его вершины лежат на окружности), он должен быть правильным. Равносторонний четырехугольник должен быть выпуклым; этот многоугольник представляет собой ромб (возможно, квадрат ).

Выпуклый равносторонний пятиугольник

Вогнутый равносторонний пятиугольник

Выпуклый равносторонний пятиугольник можно описать двумя последовательными углами, которые вместе определяют остальные углы. Однако равносторонние пятиугольники и равносторонние многоугольники с более чем пятью сторонами также могут быть вогнутыми, и если вогнутые пятиугольники разрешены, то двух углов уже недостаточно для определения формы пятиугольника.

Касательный многоугольник (тот, который имеет вписанную окружность , касающуюся всех его сторон) является равносторонним тогда и только тогда, когда альтернативные углы равны (то есть углы 1, 3, 5,... равны, а углы 2, 4,... . равны). Таким образом, если число сторон n нечетно, касательный многоугольник является равносторонним тогда и только тогда, когда он правильный.

Измерение

Теорема Вивиани обобщается на равносторонние многоугольники: Сумма перпендикулярных расстояний от внутренней точки до сторон равностороннего многоугольника не зависит от местоположения внутренней точки.

шестиугольника главных диагоналей делит Каждая из шестиугольник на четырехугольники. В любом выпуклом равностороннем шестиугольнике с общей стороной a существует главная диагональ d ₁ такая, что

${\frac {d_{1}}{a}}\leq 2$

и главную диагональ d ₂ такую, что

${\frac {d_{2}}{a}}>{\sqrt {3}}$.

Оптимальность

Основная статья: Многоугольник Рейнхардта

Четыре пятидесятиугольника Рейнхарда

Когда равносторонний многоугольник вписан в многоугольник Рело , он образует многоугольник Рейнхардта . Среди всех выпуклых многоугольников с одинаковым числом сторон эти многоугольники имеют максимально возможный периметр для своего диаметра , наибольшую возможную ширину для своего диаметра и наибольшую возможную ширину для своего периметра.

Внешние ссылки

• СМИ, связанные с равносторонними многоугольниками, на Викискладе?
• Равносторонний треугольник С интерактивной анимацией
• Свойство равноугольных многоугольников: о чем оно? обсуждение теоремы Вивиани в Cut-the-knot .