Ортодиагональный четырехугольник

Ортодиагональный четырехугольник (желтый). Согласно характеристике этих четырехугольников, два красных квадрата на двух противоположных сторонах четырехугольника имеют такую ​​же общую площадь , как и два синих квадрата на другой паре противоположных сторон.

В евклидовой геометрии ортодиагональный четырёхугольник — это четырёхугольник , в котором диагонали пересекаются под прямым углом . Другими словами, это четырехсторонняя фигура, у которой отрезки между несмежными вершинами ортогональны ( перпендикулярны ) друг другу.

Особые случаи

Воздушный змей – это ортодиагональный четырехугольник, в котором одна диагональ представляет собой линию симметрии . Воздушные змеи представляют собой в точности ортодиагональные четырехугольники, содержащие окружность , касающуюся всех четырех сторон; то есть воздушные змеи представляют собой тангенциальные ортодиагональные четырехугольники.

Ромб — это ортодиагональный четырехугольник с двумя парами параллельных сторон (то есть ортодиагональный четырехугольник, который также является параллелограммом ).

Квадрат — это предельный случай и коршуна, и ромба.

Ортодиагональные равнодиагональные четырехугольники, в которых диагонали не менее длины, чем все стороны четырехугольника, имеют максимальную площадь для своего диаметра среди всех четырехугольников, что решает случай n = 4 задачи о самом большом маленьком многоугольнике . Квадрат — один из таких четырехугольников, но существует бесконечно много других. Ортодиагональный четырехугольник, который также является равнодиагональным, является четырехугольником со средним квадратом, потому что его параллелограмм Вариньона является квадратом. Его площадь можно выразить просто через стороны.

Характеристики

Для любого ортодиагонального четырехугольника сумма квадратов двух противоположных сторон равна сумме квадратов двух других противоположных сторон: для последовательных сторон a , b , c и d мы имеем

$\displaystyle a^{2}+c^{2}=b^{2}+d^{2}.$

Это следует из теоремы Пифагора , согласно которой любую из этих двух сумм двух квадратов можно разложить до суммы четырех квадратов расстояний от вершин четырехугольника до точки пересечения диагоналей. Обратно , любой четырехугольник, в котором ² + с ² = б ² + д ² должен быть ортодиагональным. Это можно доказать разными способами, в том числе с помощью закона косинусов , векторов , косвенного доказательства и комплексных чисел .

Диагонали выпуклого четырехугольника перпендикулярны тогда и только тогда, когда две бимедианы имеют одинаковую длину.

Согласно другой характеристике, диагонали выпуклого четырехугольника ABCD перпендикулярны тогда и только тогда, когда

$\angle PAB+\angle PBA+\angle PCD+\angle PDC=\pi$

где P — точка пересечения диагоналей. Из этого уравнения почти сразу следует, что диагонали выпуклого четырехугольника перпендикулярны тогда и только тогда, когда проекции пересечения диагоналей на стороны четырехугольника являются вершинами вписанного четырехугольника .

Ортодиагональный четырехугольник ABCD (синий). Параллелограмм Вариньона (зеленый), образованный серединами ребер ABCD, представляет собой прямоугольник. Кроме того, четыре середины (серые) и четыре фута высот (красные) являются коциклическими в восьмиконечном круге .

Выпуклый четырехугольник является ортодиагональным тогда и только тогда, когда его параллелограмм Вариньона (вершины которого являются серединами его сторон) является прямоугольником . Соответствующая характеристика гласит, что выпуклый четырехугольник является ортодиагональным тогда и только тогда, когда середины сторон и основания четырех высот представляют собой восемь конциклических точек ; восьмиточечный круг . Центр этого круга является центром тяжести четырехугольника. Четырехугольник, образованный ступнями высот, называется главным ортическим четырехугольником .

Вторую окружность из 8 точек можно построить из ортодиагонального четырехугольника ABCD (отмечено синим цветом). Прямые, перпендикулярные каждой стороне через пересечение диагоналей, пересекают стороны в 8 разных точках, которые все являются коциклическими.

Если нормали к сторонам выпуклого четырехугольника ABCD через диагональное пересечение пересекают противоположные стороны в R , S , T , U , а K , L , M , N являются основаниями этих нормалей, то ABCD ортодиагональна тогда и только тогда. если восемь точек K , L , M , N , R , S , T и U лежат на одной окружности; второй восьмиточечный круг . Связанная характеристика утверждает, что выпуклый четырехугольник является ортодиагональным тогда и только тогда, когда RSTU представляет собой прямоугольник, стороны которого параллельны диагоналям ABCD .

Существует несколько метрических характеристик четырех треугольников , образованных диагональным пересечением P и вершинами выпуклого четырехугольника ABCD . Обозначим через m ₁ , m ₂ , m ₃ , m ₄ медианы , в треугольниках , BCP , CDP , DAP, идущие от P к сторонам AB , BC ABP CD , DA соответственно. Если R ₁ , R ₂ , R ₃ , R ₄ и h ₁ , h ₂ , h ₃ , h ₄ обозначают соответственно радиусы описанных окружностей и высоты этих треугольников, то четырехугольник ABCD ортодиагонален тогда и только тогда, когда любой из имеет место следующее равенство:

• $m_{1}^{2}+m_{3}^{2}=m_{2}^{2}+m_{4}^{2}$
• $R_{1}^{2}+R_{3}^{2}=R_{2}^{2}+R_{4}^{2}$
• ${\frac {1}{h_{1}^{2}}}+{\frac {1}{h_{3}^{2}}}={\frac {1}{h_{2}^{2}}}+{\frac {1}{h_{4}^{2}}}$

При этом четырехугольник ABCD с пересечением P диагоналей является ортодиагональным тогда и только тогда, когда центры описанных треугольников ABP , BCP , CDP и DAP являются серединами сторон четырехугольника.

Сравнение с касательным четырехугольником

Некоторые метрические характеристики тангенциальных четырехугольников и ортодиагональных четырехугольников очень похожи по внешнему виду, как видно из этой таблицы. Обозначения сторон a , b , c , d , радиусов описанной окружности R ₁ , R ₂ , R ₃ , R ₄ , а также высот h ₁ , h ₂ , h ₃ , h ₄ такие же, как и выше, в обоих типах. четырехугольники.

Тангенциальный четырехугольник	Ортодиагональный четырехугольник
$a+c=b+d$	$a^{2}+c^{2}=b^{2}+d^{2}$
$R_{1}+R_{3}=R_{2}+R_{4}$	$R_{1}^{2}+R_{3}^{2}=R_{2}^{2}+R_{4}^{2}$
${\frac {1}{h_{1}}}+{\frac {1}{h_{3}}}={\frac {1}{h_{2}}}+{\frac {1}{h_{4}}}$	${\frac {1}{h_{1}^{2}}}+{\frac {1}{h_{3}^{2}}}={\frac {1}{h_{2}^{2}}}+{\frac {1}{h_{4}^{2}}}$

Площадь

Площадь K ортодиагонального четырехугольника равна половине произведения длин диагоналей p и q :

$K={\frac {pq}{2}}.$

И наоборот, любой выпуклый четырехугольник, площадь которого можно вычислить по этой формуле, должен быть ортодиагональным. Ортодиагональный четырехугольник имеет наибольшую площадь среди всех выпуклых четырехугольников с заданными диагоналями.

Другая недвижимость

• Ортодиагональные четырехугольники — единственные четырехугольники, у которых стороны и угол, образованный диагоналями, не определяют однозначно площадь. Например, два ромба, имеющие общую сторону а (и, как и все ромбы, оба имеющие прямой угол между диагоналями), но один из которых имеет меньший острый угол, чем другой, имеют разные площади (площадь первого, стремящуюся к нулю). когда острый угол приближается к нулю).
• Если на сторонах любого четырехугольника (выпуклого, вогнутого или скрещенного) наружу возведены квадраты, то их центры ( центроиды ) являются вершинами ортодиагонального четырехугольника, который также является равнодиагональным (то есть имеющим диагонали равной длины). Это называется теоремой Ван Обеля .
• Каждая сторона ортодиагонального четырехугольника имеет хотя бы одну общую точку с кругом точек Паскаля .

Свойства ортодиагональных четырехугольников, которые

Окружной радиус и площадь

Для вписанного ортодиагонального четырехугольника (того, который можно вписать в окружность) предположим, что пересечение диагоналей делит одну диагональ на отрезки длин p ₁ и p ₂ и делит другую диагональ на отрезки длин q ₁ и q ₂ . Затем (первое равенство — предложение 11 в Архимеда « Книге лемм » )

$D^{2}=p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+q_{1}^{2}+q_{2}^{2}=a^{2}+c^{2}=b^{2}+d^{2}$

где D — диаметр описанной окружности. Это справедливо, поскольку диагонали являются перпендикулярными хордами окружности . Эти уравнения дают выражение описанного радиуса

$R={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+q_{1}^{2}+q_{2}^{2}}}$

или, через стороны четырехугольника, как

$R={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {a^{2}+c^{2}}}={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {b^{2}+d^{2}}}.$

Из этого также следует, что

$a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=8R^{2}.$

Таким образом, согласно теореме Эйлера о четырёхугольниках , радиус описанной окружности можно выразить через диагонали p и q , а расстояние x между серединами диагоналей как

$R={\sqrt {\frac {p^{2}+q^{2}+4x^{2}}{8}}}\,.$

Формула площади К вписанного ортодиагонального четырехугольника через четыре стороны получается непосредственно при объединении теоремы Птолемея и формулы площади ортодиагонального четырехугольника . Результат

$K={\tfrac {1}{2}}(ac+bd).$

Другая недвижимость

• В вписанном ортодиагональном четырехугольнике антицентр совпадает с точкой пересечения диагоналей.
• Теорема Брахмагупты утверждает, что для вписанного ортодиагонального четырехугольника перпендикуляр с любой стороны, проходящий через точку пересечения диагоналей, делит противоположную сторону пополам.
• Если ортодиагональный четырехугольник также является вписанным, расстояние от центра описанной окружности (центра описанной окружности) до любой стороны равно половине длины противоположной стороны.
• В вписанном ортодиагональном четырехугольнике расстояние между серединами диагоналей равно расстоянию между центром описанной окружности и точкой пересечения диагоналей.

Бесконечные множества вписанных прямоугольников

$ABCD$ является ортодиагональным четырехугольником, $P_{1}X_{1}Z_{1}Y_{1}$ и $P_{2}X_{2}Z_{2}Y_{2}$ прямоугольники, стороны которых параллельны диагоналям четырехугольника.

$ABCD$ является ортодиагональным четырехугольником. $P_{1}$ и $Q_{1}$ точки Паскаля, образованные кругом $\omega _{1}$, $\sigma _{P_{1}Q_{1}}$ - круг в точках Паскаля, определяющий прямоугольник $P_{1}V_{1}Q_{1}W_{1}$. $P_{2}$ и $Q_{2}$ точки Паскаля, образованные кругом $\omega _{2}$, $\sigma _{P_{2}Q_{2}}$ - круг в точках Паскаля, определяющий прямоугольник $P_{2}V_{2}Q_{2}W_{2}$.

В каждый ортодиагональный четырехугольник можно вписать два бесконечных набора прямоугольников:

(i) набор прямоугольников, стороны которых параллельны диагоналям четырехугольника

(ii) набор прямоугольников, определяемых кругами с точками Паскаля.