Бицентрический четырехугольник

В евклидовой геометрии бицентрический четырёхугольник — это выпуклый четырёхугольник , имеющий как вписанную , так и описанную окружность . Радиусы и центры этих кругов называются внутренним радиусом и радиусом описанной окружности , а также центром и центром описанной окружности соответственно. Из определения следует, что вписанные четырехугольники обладают всеми свойствами как касательных четырехугольников , так и вписанных четырехугольников . Другие названия этих четырехугольников - четырехугольник, касающийся хорды. ^[1] и вписанный и описанный четырехугольник . Его также редко называют четырехугольником с двойным кругом. ^[2] и двухвписанный четырёхугольник . ^[3]

Если две окружности, одна внутри другой, являются вписанной и описанной окружностью вписанного четырехугольника, то каждая точка описанной окружности является вершиной вписанного четырехугольника, имеющего одинаковые вписанную и описанную окружности. ^[4] Это частный случай поризма Понселе , доказанный французским математиком Жаном-Виктором Понселе (1788–1867).

Особые случаи [ править ]

Примерами бицентрических четырехугольников являются квадраты , прямоугольные воздушные змеи и равнобедренные касательные трапеции .

Характеристики [ править ]

Выпуклый четырехугольник $ABCD$ со сторонами $a, b, c, d$ является бицентрическим тогда и только тогда, когда противоположные стороны удовлетворяют теореме Пито для касательных четырехугольников и свойству циклического четырехугольника, согласно которому противоположные углы являются дополнительными ; то есть,

{\begin{cases}a+c=b+d\\A+C=B+D=\pi .\end{cases}}

Три другие характеристики касаются точек, которых вписанная окружность в касательного четырехугольника касается сторон. Если вписанная окружность касается сторон $AB, BC, CD, DA$ в точках $W, X, Y, Z$ соответственно, то касательный четырехугольник $ABCD$ также является вписанным тогда и только тогда, когда выполняется любое из следующих трех условий: ^[5]

$WY$ перпендикулярен XZ $$
${\frac {\overline {AW}}{\overline {WB}}}={\frac {\overline {DY}}{\overline {YC}}}$
${\frac {\overline {AC}}{\overline {BD}}}={\frac {{\overline {AW}}+{\overline {CY}}}{{\overline {BX}}+{\overline {DZ}}}}$

Первое из этих трех означает, что контактный четырехугольник $WXYZ$ является ортодиагональным четырехугольником .

Если $E, F, G, H$ — середины $WX, XY, YZ, ZW$ соответственно, то касательный четырехугольник $ABCD$ также является циклическим тогда и только тогда, когда четырехугольник $EFGH$ является прямоугольником . ^[5]

Согласно другой характеристике, если $I$ — центр касательного четырехугольника , где продолжения противоположных сторон пересекаются в точках $J$ и $K$ , то четырехугольник также является циклическим тогда и только тогда, когда $∠ JIK$ — прямой угол . ^[5]

Еще одним необходимым и достаточным условием является то, что касательный четырехугольник $ABCD$ является циклическим тогда и только тогда, когда его линия Ньютона перпендикулярна линии Ньютона контактного четырехугольника $WXYZ$ . (Линия Ньютона четырехугольника — это линия, определяемая серединами его диагоналей.) ^[5]

Строительство [ править ]

Существует простой способ построения вписанного четырехугольника:

Начинается с вписанной окружности $вокруг Cr$ центра I $радиусом$ r $,$ друг к другу затем проводятся две перпендикулярные хорды $WY$ и $XZ$ в вписанной окружности $Cr .$ а В концах хорд проведем касательные $a, b, c, d$ к вписанной окружности. Они пересекаются в четырех точках $A, B, C, D$ , которые являются вершинами вписанного четырехугольника. ^[6]Чтобы нарисовать описанную окружность, нарисуйте два серединных перпендикуляра $p 1, p 2$ на сторонах вписанного четырехугольника $a$ соответственно $b$ . Биссектрисы $p 1, p 2$ пересекаются в центре $O$ описанной окружности $C R$ на расстоянии $x$ до центра $I$ вписанной окружности $C r$ . можно нарисовать вокруг центра $O.$ Описанную окружность

Справедливость этой конструкции обусловлена тем, что в касательном четырехугольнике $ABCD$ контактный четырехугольник $WXYZ$ имеет перпендикулярные диагонали тогда и только тогда, когда касательный четырехугольник также является циклическим .

Площадь [ править ]

Формулы в виде четырех величин [ править ]

Площадь K $.$ вписанного четырехугольника можно выразить через четыре величины четырехугольника несколькими различными способами Если стороны равны $a, b, c, d$ , то площадь определяется выражением ^[7]^[8]^[9]^[10]^[11]

\displaystyle K={\sqrt {abcd}}.

Это частный случай формулы Брахмагупты . Его также можно вывести непосредственно из тригонометрической формулы для площади касательного четырехугольника . Обратите внимание, что обратное неверно: некоторые четырехугольники, которые не являются бицентрическими, также имеют площадь $\displaystyle K={\sqrt {abcd}}.$ ^[12] Одним из примеров такого четырехугольника является неквадратный прямоугольник .

Площадь также можно выразить через касательные длины $e, f, g, h$ как ^[8]^{: стр. 128}

K={\sqrt[{4}]{efgh}}(e+f+g+h).

Формула площади вписанного четырехугольника $ABCD$ с инцентром $I$ : ^[9]

K={\overline {AI}}\cdot {\overline {CI}}+{\overline {BI}}\cdot {\overline {DI}}.

Если вписанный четырехугольник имеет хорды касания $k, l$ и диагонали $p, q$ , то он имеет площадь ^[8]^{: стр.129}

K={\frac {klpq}{k^{2}+l^{2}}}.

Если $k, l$ — хорды касания, а $m, n$ — бимедианы четырехугольника, то площадь можно вычислить по формуле ^[9]

K=\left|{\frac {m^{2}-n^{2}}{k^{2}-l^{2}}}\right|kl

Эту формулу нельзя использовать, если четырехугольник является прямым коршуном , поскольку знаменатель в этом случае равен нулю.

Если $M, N$ — середины диагоналей, а $E, F$ — точки пересечения продолжений противоположных сторон, то площадь вписанного четырехугольника определяется выражением

K={\frac {2{\overline {MN}}\cdot {\overline {EI}}\cdot {\overline {FI}}}{\overline {EF}}}

где $I$ — центр вписанной окружности. ^[9]

Формулы в трех величинах [ править ]

Площадь вписанного четырехугольника можно выразить через две противоположные стороны и угол $θ$ между диагоналями согласно формуле ^[9]

K=ac\tan {\frac {\theta }{2}}=bd\cot {\frac {\theta }{2}}.

Через два смежных угла и радиус $r$ вписанной окружности площадь определяется выражением ^[9]

K=2r^{2}\left({\frac {1}{\sin {A}}}+{\frac {1}{\sin {B}}}\right).

Площадь выражается через радиус описанной окружности $R$ и внутренний радиус $r$ как

K=r(r+{\sqrt {4R^{2}+r^{2}}})\sin \theta

где $θ$ — любой угол между диагоналями. ^[13]

Если $M, N$ — середины диагоналей, а $E, F$ — точки пересечения продолжений противоположных сторон, то площадь также можно выразить как

K=2{\overline {MN}}{\sqrt {{\overline {EQ}}\cdot {\overline {FQ}}}}

где $Q$ — основание перпендикуляра к линии $EF,$ проходящей через центр вписанной окружности. ^[9]

Неравенства [ править ]

Если $r$ и $R$ — внутренний радиус и описанный радиус соответственно, то площадь $K$ удовлетворяет неравенствам ^[14]

\displaystyle 4r^{2}\leq K\leq 2R^{2}.

Равенство обеих сторон существует только в том случае, если четырехугольник является квадратом .

Другое неравенство для площади: ^[15]^{: стр.39, #1203}

K\leq {\tfrac {4}{3}}r{\sqrt {4R^{2}+r^{2}}}

где $r$ и $R$ — внутренний радиус и описанный радиус соответственно.

Аналогичное неравенство, дающее более точную верхнюю границу площади, чем предыдущее: ^[13]

K\leq r(r+{\sqrt {4R^{2}+r^{2}}})

при этом равенство выполняется тогда и только тогда, когда четырехугольник является прямым воздушным змеем .

Кроме того, со сторонами $a, b, c, d$ и полупериметром $s$ :

2{\sqrt {K}}\leq s\leq r+{\sqrt {r^{2}+4R^{2}}};

^[15]^{: стр.39, #1203}

6K\leq ab+ac+ad+bc+bd+cd\leq 4r^{2}+4R^{2}+4r{\sqrt {r^{2}+4R^{2}}};

^[15]^{: стр.39, #1203}

4Kr^{2}\leq abcd\leq {\frac {16}{9}}r^{2}(r^{2}+4R^{2}).

^[15]^{: стр.39, #1203}

Формулы углов [ править ]

Если $a, b, c, d$ — длины сторон $AB, BC, CD, DA$ соответственно в вписанном четырехугольнике $ABCD$ , то углы его вершины можно вычислить с помощью касательной функции : ^[9]

{\begin{aligned}\tan {\frac {A}{2}}&={\sqrt {\frac {bc}{ad}}}=\cot {\frac {C}{2}},\\\tan {\frac {B}{2}}&={\sqrt {\frac {cd}{ab}}}=\cot {\frac {D}{2}}.\end{aligned}}

Используя те же обозначения, для функций синуса и косинуса справедливы следующие формулы: ^[16]

{\begin{aligned}\sin {\frac {A}{2}}&={\sqrt {\frac {bc}{ad+bc}}}=\cos {\frac {C}{2}},\\\cos {\frac {A}{2}}&={\sqrt {\frac {ad}{ad+bc}}}=\sin {\frac {C}{2}},\\\sin {\frac {B}{2}}&={\sqrt {\frac {cd}{ab+cd}}}=\cos {\frac {D}{2}},\\\cos {\frac {B}{2}}&={\sqrt {\frac {ab}{ab+cd}}}=\sin {\frac {D}{2}}.\end{aligned}}

Угол $θ$ между диагоналями можно рассчитать по формуле ^[10]

\displaystyle \tan {\frac {\theta }{2}}={\sqrt {\frac {bd}{ac}}}.

Внутренний и описанный радиус [ править ]

радиус Внутренний $r$ вписанного четырехугольника определяется сторонами $a, b, c, d$ согласно ^[7]

\displaystyle r={\frac {\sqrt {abcd}}{a+c}}={\frac {\sqrt {abcd}}{b+d}}.

Радиус описанной окружности $R$ дан как частный случай формулы Парамешвары . Это ^[7]

\displaystyle R={\frac {1}{4}}{\sqrt {\frac {(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)}{abcd}}}.

Внутренний радиус также может быть выражен через последовательные длины касательных $e, f, g, h$ в соответствии с ^[17]^{: с. 41}

\displaystyle r={\sqrt {eg}}={\sqrt {fh}}.

Эти две формулы на самом деле являются необходимыми и достаточными условиями для того, чтобы касательный четырехугольник с вписанным радиусом $r$ был вписанным .

Четыре стороны $a, b, c, d$ вписанного четырехугольника являются четырьмя решениями уравнения четвертой степени

y^{4}-2sy^{3}+(s^{2}+2r^{2}+2r{\sqrt {4R^{2}+r^{2}}})y^{2}-2rs({\sqrt {4R^{2}+r^{2}}}+r)y+r^{2}s^{2}=0

где $s$ — полупериметр, а $r$ и $R$ — внутренний радиус и описанный радиус соответственно. ^[18]^{: с. 754}

Если существует вписанный четырехугольник с вписанным радиусом $r,$ которого касательные длины равны $e, f, g, h$ , то существует вписанный четырехугольник с вписанным радиусом $r. v$ чьи касательные длины равны $e^{v},f^{v},g^{v},h^{v},$ где $v$ может быть любым действительным числом . ^[19]^{: стр. 9–10.}

Бицентрический четырехугольник имеет больший внутренний радиус, чем любой другой касательный четырехугольник, имеющий ту же последовательность длин сторон. ^[20]^{: стр.392–393.}

Неравенства [ править ]

Радиус описанной окружности $R$ и внутренний радиус $r$ удовлетворяют неравенству

R\geq {\sqrt {2}}r

что было доказано Л. Фейешем Тотом в 1948 году. ^[19] Оно справедливо только тогда, когда два круга концентричны (имеют один и тот же центр); тогда четырехугольник является квадратом . Неравенство можно доказать несколькими различными способами, один из которых — с использованием двойного неравенства для указанной выше области.

Расширением предыдущего неравенства является ^[2]^[21]^{: с. 141}

{\frac {r{\sqrt {2}}}{R}}\leq {\frac {1}{2}}\left(\sin {\frac {A}{2}}\cos {\frac {B}{2}}+\sin {\frac {B}{2}}\cos {\frac {C}{2}}+\sin {\frac {C}{2}}\cos {\frac {D}{2}}+\sin {\frac {D}{2}}\cos {\frac {A}{2}}\right)\leq 1

где существует равенство с обеих сторон тогда и только тогда, когда четырехугольник является квадратом . ^[16]^{: с. 81}

Полупериметр s $условию$ вписанного четырехугольника удовлетворяет ^[19]^{: стр. 13}

{\sqrt {8r\left({\sqrt {4R^{2}+r^{2}}}-r\right)}}\leq s\leq {\sqrt {4R^{2}+r^{2}}}+r

где $r$ и $R$ — внутренний радиус и описанный радиус соответственно.

Более того, ^[15]^{: стр.39, #1203}

2sr^{2}\leq abc+abd+acd+bcd\leq 2r(r+{\sqrt {r^{2}+4R^{2}}})^{2}

и

abc+abd+acd+bcd\leq 2{\sqrt {K}}(K+2R^{2}).

^[15]^{: стр.62, #1599}

Расстояние между центром и центром описанной окружности [ править ]

Фусса Теорема

Теорема Фусса дает связь между вписанным $радиусом r$ , радиусом описанной окружности $R$ и расстоянием $x$ между центром $I$ и центром описанной окружности $O$ для любого бицентрического четырехугольника. Отношение ^[1]^[11]^[22]

{\frac {1}{(R-x)^{2}}}+{\frac {1}{(R+x)^{2}}}={\frac {1}{r^{2}}},

или эквивалентно

\displaystyle 2r^{2}(R^{2}+x^{2})=(R^{2}-x^{2})^{2}.

Он был выведен Николаусом Фуссом (1755–1826) в 1792 году. Решение для $x$ дает

x={\sqrt {R^{2}+r^{2}-r{\sqrt {4R^{2}+r^{2}}}}}.

Теорема Фусса, которая является аналогом теоремы Эйлера для треугольников для вписанных четырехугольников, гласит, что если четырехугольник является вписанным, то две связанные с ним окружности связаны приведенными выше уравнениями. На самом деле справедливо и обратное: для двух окружностей (одна внутри другой) с радиусами $R$ и $r$ и расстоянием $x$ между их центрами, удовлетворяющими условию теоремы Фусса, существует выпуклый четырехугольник, вписанный в один из них и касающийся другого. ^[23] (и тогда по теореме о замыкании Понселе их существует бесконечно много).

Применение $x^{2}\geq 0$ к выражению теоремы Фусса для $x$ через $r$ и $R$ — это другой способ получить упомянутое выше неравенство $R\geq {\sqrt {2}}r.$ Обобщение – это ^[19]^{: стр.5}

2r^{2}+x^{2}\leq R^{2}\leq 2r^{2}+x^{2}+2rx.

Личность Карлица [ править ]

Другая формула для расстояния $x$ между центрами вписанной и описанной окружностей принадлежит американскому математику Леонарду Карлитцу (1907–1999). В нем говорится, что ^[24]

\displaystyle x^{2}=R^{2}-2Rr\cdot \mu

где $r$ и $R$ — внутренний радиус и описанный радиус соответственно, а

\displaystyle \mu ={\sqrt {\frac {(ab+cd)(ad+bc)}{(a+c)^{2}(ac+bd)}}}={\sqrt {\frac {(ab+cd)(ad+bc)}{(b+d)^{2}(ac+bd)}}}

где $a, b, c, d$ — стороны вписанного четырехугольника.

Неравенства для касательных длин и сторон [ править ]

Для касательных длин $e, f, g, h$ выполняются следующие неравенства: ^[19]^{: стр.3}

4r\leq e+f+g+h\leq 4r\cdot {\frac {R^{2}+x^{2}}{R^{2}-x^{2}}}

и

4r^{2}\leq e^{2}+f^{2}+g^{2}+h^{2}\leq 4(R^{2}+x^{2}-r^{2})

где $r$ — внутренний радиус, $R$ — радиус описанной окружности, а $x$ — расстояние между центром и центром описанной окружности. Стороны $a, b, c, d$ удовлетворяют неравенствам ^[19]^{: стр.5}

8r\leq a+b+c+d\leq 8r\cdot {\frac {R^{2}+x^{2}}{R^{2}-x^{2}}}

и

4(R^{2}-x^{2}+2r^{2})\leq a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}\leq 4(3R^{2}-2r^{2}).

Другие свойства инцентра [ править ]

Центр описанной окружности , центр инцентра и пересечение диагоналей в двухцентровом четырехугольнике коллинеарны . ^[25]

Существует следующее равенство, связывающее четыре расстояния между центром $I$ и вершинами вписанного четырехугольника $ABCD$ : ^[26]

{\frac {1}{{\overline {AI}}^{2}}}+{\frac {1}{{\overline {CI}}^{2}}}={\frac {1}{{\overline {BI}}^{2}}}+{\frac {1}{{\overline {DI}}^{2}}}={\frac {1}{r^{2}}}

где $r$ — внутренний радиус.

Если $P$ — пересечение диагоналей в бицентрическом четырёхугольнике $ABCD$ с центром $I$ , то ^[27]

{\frac {\overline {AP}}{\overline {CP}}}={\frac {{\overline {AI}}^{2}}{{\overline {CI}}^{2}}}.

Свойства диагоналей [ править ]

Длины диагоналей в вписанном четырехугольнике можно выразить через стороны или длины касательных , которые представляют собой формулы, справедливые для вписанного четырехугольника и касательного четырехугольника соответственно.

В вписанном четырехугольнике с диагоналями $p, q$ справедливо следующее тождество: ^[11]

\displaystyle {\frac {pq}{4r^{2}}}-{\frac {4R^{2}}{pq}}=1

где $r$ и $R$ — внутренний радиус и описанный радиус соответственно. Это равенство можно переписать как ^[13]

r={\frac {pq}{2{\sqrt {pq+4R^{2}}}}}

или, решив его как квадратное уравнение относительно произведения диагоналей, в виде

pq=2r\left(r+{\sqrt {4R^{2}+r^{2}}}\right).

Неравенство для произведения диагоналей $p, q$ в вписанном четырехугольнике: ^[14]

\displaystyle 8pq\leq (a+b+c+d)^{2}

где $a, b, c, d$ — стороны. Это было доказано Мюрреем С. Кламкиным в 1967 году.

Четыре инцентра лежат на окружности [ править ]

Пусть $ABCD$ — вписанный четырёхугольник, а $O —$ центр описанной окружности. Тогда центры четырех треугольников $△ OAB, △ OBC, △ OCD, △ ODA$ лежат на окружности. ^[28]

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

^ Jump up to: ^а ^б Дорри, Генрих (1965). 100 великих задач элементарной математики: их история и решения . Нью-Йорк: Дувр. стр. 188–193. ISBN 978-0-486-61348-2 .
^ Jump up to: ^а ^б Юн, Чжан, «Возвращение к неравенству Эйлера», Mathematical Spectrum , том 40, номер 3 (май 2008 г.), стр. 119–121. Первая страница доступна по адресу [1]. Архивировано 4 марта 2016 г. на Wayback Machine .
^ Ленг, Гансонг (2016). Геометрические неравенства: в математических олимпиадах и олимпиадах . Шанхай: Издательство Восточно-Китайского педагогического университета. п. 22. ISBN 978-981-4704-13-7 .
^ Вайсштейн, Эрик В. «Понселе Поперечный». Из MathWorld – веб-ресурса Wolfram, [2]
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д Йозефссон, Мартин (2010), «Характеристики бицентрических четырехугольников» (PDF) , Forum Geometricorum , 10 : 165–173 .
^ Альсина, Клауди; Нельсен, Роджер (2011). Иконы математики. Исследование двадцати ключевых изображений . Математическая ассоциация Америки. стр. 125–126. ISBN 978-0-88385-352-8 .
^ Jump up to: ^а ^б ^с Вайсштейн, Эрик, Бицентрический четырехугольник в MathWorld , [3] , по состоянию на 13 августа 2011 г.
^ Jump up to: ^а ^б ^с Йозефссон, Мартин (2010), «Расчеты касательных длин и хорд касания касательного четырехугольника» (PDF) , Forum Geometricorum , 10 : 119–130 .
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г ^час Йозефссон, Мартин (2011), «Площадь бицентрического четырехугольника» (PDF) , Forum Geometricorum , 11 : 155–164 .
^ Jump up to: ^а ^б Дарелл, К.В. и Робсон, А., Расширенная тригонометрия , Дувр, 2003, стр. 28, 30.
^ Jump up to: ^а ^б ^с Ю, Пол, Евклидова геометрия , [4] , 1998, стр. 158–164.
^ Лорд, Ник, «Четырехугольники с формулой площади». $\displaystyle K={\sqrt {abcd}}.$ «, Математический вестник 96, июль 2012 г., 345–347.
^ Jump up to: ^а ^б ^с Йозефссон, Мартин (2012), «Максимальная площадь бицентрического четырехугольника» (PDF) , Forum Geometricorum , 12 : 237–241 .
^ Jump up to: ^а ^б Альсина, Клауди; Нельсен, Роджер (2009). Когда меньше значит больше: визуализация базового неравенства . Математическая ассоциация Америки. стр. 64–66 . ISBN 978-0-88385-342-9 .
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж Неравенства, предложенные в Crux Mathematicum , 2007. [5]
^ Jump up to: ^а ^б Йозефссон, Мартин (2012), «Новое доказательство неравенства Юна для бицентрических четырехугольников» (PDF) , Forum Geometricorum , 12 : 79–82 .
^ М. Радич, З. Калиман и В. Кадум, «Условие того, что касательный четырехугольник также является хордальным», Mathematical Communications , 12 (2007) 33–52.
^ Поп, Овидиу Т., «Тождества и неравенства в четырехугольнике», Octogon Mathematical Magazine , Vol. 17, № 2, октябрь 2009 г., стр. 754–763.
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж Радич, Мирко, «Некоторые неравенства, касающиеся бицентрических четырехугольников, шестиугольников и восьмиугольников», Журнал неравенств в чистой и прикладной математике , том 6, выпуск 1, 2005 г., [6]
^ Гесс, Альбрехт (2014), «Об окружности, содержащей центры касательных четырехугольников» (PDF) , Forum Geometricorum , 14 : 389–396 .
^ Шаттак, Марк, «Геометрическое неравенство для циклических четырехугольников», Forum Geometricorum 18, 2018, 141-154. [7] В этой статье также приводятся различные неравенства в терминах длин дуг, опирающихся на стороны вписанного четырехугольника.
^ Салазар, Хуан Карлос (2006), «Теорема Фусса», Mathematical Gazette , 90 (июль): 306–307 .
^ Байерли, М.Е. (1909), «Внутри и описанный четырехугольник», Анналы математики , 10 : 123–128, doi : 10.2307/1967103 .
^ Калин, Овидиу, Евклидова и неевклидова геометрия: метрический подход , [8] , стр. 153–158.
^ Богомольный, Алекс, Коллинеарность в бицентрических четырехугольниках [9] , 2004.
^ Л.В. Нагараджан, Бицентрические многоугольники , 2014, [10] .
^ Математический крест 34 (2008) № 4, с. 242.
^ Алексей А. Заславский, Одно свойство двуцентральных четырехугольников, 2019, [11]

[Dorrie-1] Jump up to: ^а ^б Дорри, Генрих (1965). 100 великих задач элементарной математики: их история и решения . Нью-Йорк: Дувр. стр. 188–193. ISBN 978-0-486-61348-2 .

[yun-2] Jump up to: ^а ^б Юн, Чжан, «Возвращение к неравенству Эйлера», Mathematical Spectrum , том 40, номер 3 (май 2008 г.), стр. 119–121. Первая страница доступна по адресу [1]. Архивировано 4 марта 2016 г. на Wayback Machine .

[3] Ленг, Гансонг (2016). Геометрические неравенства: в математических олимпиадах и олимпиадах . Шанхай: Издательство Восточно-Китайского педагогического университета. п. 22. ISBN 978-981-4704-13-7 .

[4] Вайсштейн, Эрик В. «Понселе Поперечный». Из MathWorld – веб-ресурса Wolfram, [2]

[Josefsson-5] Jump up to: ^а ^б ^с ^д Йозефссон, Мартин (2010), «Характеристики бицентрических четырехугольников» (PDF) , Forum Geometricorum , 10 : 165–173 .

[6] Альсина, Клауди; Нельсен, Роджер (2011). Иконы математики. Исследование двадцати ключевых изображений . Математическая ассоциация Америки. стр. 125–126. ISBN 978-0-88385-352-8 .

[Weisstein-7] Jump up to: ^а ^б ^с Вайсштейн, Эрик, Бицентрический четырехугольник в MathWorld , [3] , по состоянию на 13 августа 2011 г.

[Josefsson2-8] Jump up to: ^а ^б ^с Йозефссон, Мартин (2010), «Расчеты касательных длин и хорд касания касательного четырехугольника» (PDF) , Forum Geometricorum , 10 : 119–130 .

[Josefsson3-9] Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г ^час Йозефссон, Мартин (2011), «Площадь бицентрического четырехугольника» (PDF) , Forum Geometricorum , 11 : 155–164 .

[Durell-10] Jump up to: ^а ^б Дарелл, К.В. и Робсон, А., Расширенная тригонометрия , Дувр, 2003, стр. 28, 30.

[Yiu-11] Jump up to: ^а ^б ^с Ю, Пол, Евклидова геометрия , [4] , 1998, стр. 158–164.

[12] Лорд, Ник, «Четырехугольники с формулой площади». $\displaystyle K={\sqrt {abcd}}.$ «, Математический вестник 96, июль 2012 г., 345–347.

[MJFG-13] Jump up to: ^а ^б ^с Йозефссон, Мартин (2012), «Максимальная площадь бицентрического четырехугольника» (PDF) , Forum Geometricorum , 12 : 237–241 .

[Alsina-14] Jump up to: ^а ^б Альсина, Клауди; Нельсен, Роджер (2009). Когда меньше значит больше: визуализация базового неравенства . Математическая ассоциация Америки. стр. 64–66 . ISBN 978-0-88385-342-9 .

[Crux-15] Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж Неравенства, предложенные в Crux Mathematicum , 2007. [5]

[Josefsson4-16] Jump up to: ^а ^б Йозефссон, Мартин (2012), «Новое доказательство неравенства Юна для бицентрических четырехугольников» (PDF) , Forum Geometricorum , 12 : 79–82 .

[17] М. Радич, З. Калиман и В. Кадум, «Условие того, что касательный четырехугольник также является хордальным», Mathematical Communications , 12 (2007) 33–52.

[Pop-18] Поп, Овидиу Т., «Тождества и неравенства в четырехугольнике», Octogon Mathematical Magazine , Vol. 17, № 2, октябрь 2009 г., стр. 754–763.

[Radic-19] Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж Радич, Мирко, «Некоторые неравенства, касающиеся бицентрических четырехугольников, шестиугольников и восьмиугольников», Журнал неравенств в чистой и прикладной математике , том 6, выпуск 1, 2005 г., [6]

[Hess-20] Гесс, Альбрехт (2014), «Об окружности, содержащей центры касательных четырехугольников» (PDF) , Forum Geometricorum , 14 : 389–396 .

[21] Шаттак, Марк, «Геометрическое неравенство для циклических четырехугольников», Forum Geometricorum 18, 2018, 141-154. [7] В этой статье также приводятся различные неравенства в терминах длин дуг, опирающихся на стороны вписанного четырехугольника.

[22] Салазар, Хуан Карлос (2006), «Теорема Фусса», Mathematical Gazette , 90 (июль): 306–307 .

[23] Байерли, М.Е. (1909), «Внутри и описанный четырехугольник», Анналы математики , 10 : 123–128, doi : 10.2307/1967103 .

[24] Калин, Овидиу, Евклидова и неевклидова геометрия: метрический подход , [8] , стр. 153–158.

[25] Богомольный, Алекс, Коллинеарность в бицентрических четырехугольниках [9] , 2004.

[26] Л.В. Нагараджан, Бицентрические многоугольники , 2014, [10] .

[27] Математический крест 34 (2008) № 4, с. 242.

[28] Алексей А. Заславский, Одно свойство двуцентральных четырехугольников, 2019, [11]

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]

[27]

[28]

Особые случаи [ править ]

Характеристики [ править ]

Строительство [ править ]

Площадь [ править ]

Формулы в виде четырех величин [ править ]

Формулы в трех величинах [ править ]

Неравенства [ править ]

Формулы углов [ править ]

Внутренний и описанный радиус [ править ]

Неравенства [ править ]

Расстояние между центром и центром описанной окружности [ править ]

Фусса Теорема ​ ​

Личность Карлица [ править ]

Неравенства для касательных длин и сторон [ править ]

Другие свойства инцентра [ править ]

Свойства диагоналей [ править ]

Четыре инцентра лежат на окружности [ править ]

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

Фусса Теорема