Диагональ

В геометрии диагональ соединяющий это отрезок, две вершины многоугольника — или многогранника , когда эти вершины не находятся на одном ребре . Неофициально любая наклонная линия называется диагональю. Слово « диагональ» происходит от древнегреческого διαγώνιος diagonios , ^[1]«от угла к углу» (от διά- dia- , «сквозь», «поперек» и γωνία gonia , «угол», относящегося к gony «колено»); его использовали оба Страбона ^[2] и Евклид ^[3] для обозначения линии, соединяющей две вершины ромба или кубоида , ^[4] а позже принято в латынь как diagonus («наклонная линия»).

В матричной алгебре диагональ квадратной матрицы состоит из элементов на линии от верхнего левого угла до правого нижнего угла. Есть также много других нематематических применений.

Нематематическое использование [ править ]

Стойка основных лесов на строительной площадке дома с диагональными распорками для сохранения конструкции.

В машиностроении диагональная распорка — это балка, используемая для крепления прямоугольной конструкции (например, строительных лесов ), чтобы противостоять сильным силам, воздействующим на нее; хотя диагональные скобки и называются диагональю, по практическим соображениям диагональные скобки часто не соединяются с углами прямоугольника.

Диагональные плоскогубцы представляют собой кусачки, режущие кромки которых пересекают заклепку под углом или «по диагонали», отсюда и название.

Диагональная найтовка — это тип найтова, используемый для соединения лонжеронов или шестов вместе и применяемый так, чтобы найтовы пересекали шесты под углом.

В ассоциативном футболе диагональная система управления — это метод , который судьи и помощники судьи используют, чтобы расположиться в одном из четырех квадрантов поля.

Полигоны [ править ]

Применительно к многоугольнику диагональю называется отрезок, соединяющий любые две непоследовательные вершины. Следовательно, четырехугольник имеет две диагонали, соединяющие противоположные пары вершин. Для любого выпуклого многоугольника все диагонали находятся внутри многоугольника, но для входящих многоугольников некоторые диагонали находятся вне многоугольника.

Любой n -сторонний многоугольник ( n ≥ 3), выпуклый или вогнутый , имеет ${\tfrac {n(n-3)}{2}}$ общее количество диагоналей, поскольку каждая вершина имеет диагонали ко всем другим вершинам, кроме себя самой и двух соседних вершин, или n - 3 диагоналей, и каждая диагональ является общей для двух вершин.

В общем случае правильный n -сторонний многоугольник имеет $\lfloor {\frac {n-2}{2}}\rfloor$ различные диагонали по длине, соответствующие шаблону 1,1,2,2,3,3... начиная с квадрата.

Стороны	Диагонали
3	0
4	2
5	5
6	9
7	14
8	20
9	27
10	35

Стороны	Диагонали
11	44
12	54
13	65
14	77
15	90
16	104
17	119
18	135

Стороны	Диагонали
19	152
20	170
21	189
22	209
23	230
24	252
25	275
26	299

Стороны	Диагонали
27	324
28	350
29	377
30	405
31	434
32	464
33	495
34	527

Стороны	Диагонали
35	560
36	594
37	629
38	665
39	702
40	740
41	779
42	819

Области, образованные диагоналями [ править ]

В выпуклом многоугольнике , если никакие три диагонали не совпадают в одной точке внутри, количество областей, на которые диагонали делят внутреннюю часть, определяется выражением

{\binom {n}{4}}+{\binom {n-1}{2}}={\frac {(n-1)(n-2)(n^{2}-3n+12)}{24}}.

Для n -угольников с n =3, 4, ... количество областей равно ^[5]

1, 4, 11, 25, 50, 91, 154, 246...

Это последовательность OEIS A006522. ^[6]

Пересечения диагоналей [ править ]

Если никакие три диагонали выпуклого многоугольника не совпадают в какой-либо точке внутри, количество внутренних пересечений диагоналей определяется выражением ${\binom {n}{4}}$ . ^[7]^[8]Это справедливо, например, для любого правильного многоугольника с нечетным числом сторон. Формула следует из того факта, что каждое пересечение однозначно определяется четырьмя концами двух пересекающихся диагоналей: количество пересечений, таким образом, равно количеству комбинаций n вершин по четыре одновременно.

Правильные многоугольники [ править ]

Хотя количество различных диагоналей в многоугольнике увеличивается с увеличением количества его сторон, длину любой диагонали можно вычислить.

В правильном n-угольнике с длиной стороны a длина x-й кратчайшей отдельной диагонали равна:

\sin({\frac {\pi (x+1)}{n}})\csc({\frac {\pi }{n}})*a

Эта формула показывает, что по мере того, как число сторон приближается к бесконечности, длина x-й кратчайшей диагонали приближается к длине (x+1)a . Кроме того, формула кратчайшей диагонали упрощается в случае x = 1:

\sin({\frac {2\pi }{n}})\csc({\frac {\pi }{n}})*a=2\cos({\frac {\pi }{n}})*a

Если количество сторон четное, самая длинная диагональ будет эквивалентна диаметру описанной окружности многоугольника, поскольку все длинные диагонали пересекаются друг с другом в центре многоугольника.

К особым случаям относятся:

Квадрат имеет две диагонали одинаковой длины, которые пересекаются в центре квадрата. Отношение диагонали к стороне равно ${\sqrt {2}}\approx 1.414.$

имеет Правильный пятиугольник пять диагоналей одинаковой длины. Отношение диагонали к стороне – это золотое сечение . ${\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\approx 1.618.$

Правильный шестиугольник имеет девять диагоналей: шесть более коротких равны по длине; три более длинных равны друг другу по длине и пересекаются в центре шестиугольника. Отношение длинной диагонали к стороне равно 2, а отношение короткой диагонали к стороне равно. ${\sqrt {3}}$ .

Правильный семиугольник имеет 14 диагоналей. Семь более коротких равны друг другу, а семь более длинных равны друг другу. Обратная сторона равна сумме обратных величин короткой и длинной диагонали.

Многогранники [ править ]

Многогранник ) может иметь два ( твёрдый объект в трёхмерном пространстве , ограниченный двумерными гранями разных типа диагоналей: диагонали граней на различных гранях, соединяющие несмежные вершины на одной грани; и пространственные диагонали, полностью находящиеся внутри многогранника (за исключением концов вершин).

Высшие измерения [ править ]

Н-Куб [ править ]

Длины диагоналей n-мерного гиперкуба можно вычислить методом математической индукции . Самая длинная диагональ n-куба равна ${\sqrt {n}}$ . Кроме того, существуют $2^{n-1}{\binom {n}{x+1}}$ кратчайшей диагонали x-й . Например, 5-куб будет иметь диагонали:

Длина диагонали	Количество диагоналей
${\sqrt {2}}$	160
${\sqrt {3}}$	160
2	80
${\sqrt {5}}$	16

Его общее число диагоналей равно 416. В общем случае n-куб имеет всего $2^{n-1}(2^{n}-n-1)$ диагонали. Это следует из более общей формы ${\frac {v(v-1)}{2}}-e$ которое описывает общее количество граней и пространственных диагоналей в выпуклых многогранниках. ^[9] Здесь v представляет количество вершин, а e представляет количество ребер.

Матрицы [ править ]

Для квадратной матрицы диагональ ) — это диагональная линия элементов , (или главная диагональ или главная диагональ идущая от верхнего левого угла к правому нижнему углу. ^[10]^[11]^[12] Для матрицы $A$ с индексом строки, указанным $i$ и индекс столбца, указанный $j$ , это будут записи $A_{ij}$ с $i=j$ . Например, единичную матрицу можно определить как имеющую элементы 1 на главной диагонали и нули в других местах:

{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}

След матрицы — это сумма диагональных элементов.

Диагональ от верхнего правого до нижнего левого иногда называют малой диагональю или антидиагональю .

Внедиагональные записи — это те , которые не находятся на главной диагонали. Диагональная матрица — это матрица, все недиагональные элементы которой равны нулю. ^[13]^[14]

Супердиагональный вход — это вход , расположенный непосредственно над и справа от главной диагонали. ^[15]^[16] Точно так же, как диагональные записи - это те $A_{ij}$ с $j=i$ , супердиагональные записи - это те, у которых $j=i+1$ . Например, все ненулевые элементы следующей матрицы лежат на супердиагонали:

{\begin{pmatrix}0&2&0\\0&0&3\\0&0&0\end{pmatrix}}

Аналогично, поддиагональная запись — это запись, которая находится непосредственно под и слева от главной диагонали, то есть запись $A_{ij}$ с $j=i-1$ . ^[17] Общие диагонали матрицы могут быть заданы индексом $k$ измеряется относительно главной диагонали: главная диагональ имеет $k=0$ ; супердиагональ имеет $k=1$ ; субдиагональ имеет $k=-1$ ; и вообще, $k$ -диагональ состоит из записей $A_{ij}$ с $j=i+k$ .

— Полосчатая матрица это матрица, для которой ее ненулевые элементы ограничены диагональной полосой. В трехдиагональной матрице ненулевыми являются только элементы главной диагонали, супердиагонали и поддиагонали.

Геометрия [ править ]

По аналогии подмножество декартова произведения X × X любого множества X с самим собой, состоящее из всех пар (x, x), называется диагональю и является графиком отношения равенства на отношения X или , что то же самое, графиком равенства на X. тождественная от X до X. функция Это играет важную роль в геометрии; например, неподвижные точки отображения в себя F из X могут быть получены путем пересечения графика F с диагональю.

идея пересечения диагонали сама с собой В геометрических исследованиях распространена , но не напрямую, а путем ее возмущения внутри класса эквивалентности . На глубоком уровне это связано с эйлеровой характеристикой и нулями векторных полей . Например, круг S ¹ имеет числа Бетти 1, 1, 0, 0, 0 и, следовательно, эйлерову характеристику 0. Геометрический способ выразить это — посмотреть на диагональ двухтора S ¹хС ¹и заметьте, что он может перемещаться небольшим движением (θ, θ) в (θ, θ + ε). В общем, число пересечения графика функции с диагональю можно вычислить с использованием гомологии с помощью теоремы Лефшеца о неподвижной точке ; самопересечение диагонали является частным случаем тождественной функции.

См. также [ править ]

Примечания [ править ]

^ Интернет-словарь этимологии
^ Страбон, География 2.1.36–37.
^ Евклид, Книга элементов 11, предложение 28.
^ Евклид, Книга элементов 11, предложение 38.
^ Вайсштейн, Эрик В. «Диагональ многоугольника». Из MathWorld — веб-ресурса Wolfram. http://mathworld.wolfram.com/PolygonDiagonal.html
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A006522» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС.
^ Пунен, Бьорн; Рубинштейн, Михаил. «Количество точек пересечения диагоналей правильного многоугольника». СИАМ Дж. Дискретная математика . 11 (1998), вып. 1, 135–156; ссылка на версию на сайте Пунена
^ [1] , начало в 2:10
^ «Подсчет диагоналей многогранника – доктора математики» .
^ Бронсон (1970 , стр. 2)
^ Херштейн (1964 , стр. 239)
^ Неринг (1970 , стр. 38)
^ Херштейн (1964 , стр. 239)
^ Неринг (1970 , стр. 38)
^ Бронсон (1970 , стр. 203, 205)
^ Херштейн (1964 , стр. 239)
^ Каллен (1966 , стр. 114)

Ссылки [ править ]

Бронсон, Ричард (1970), Матричные методы: Введение , Нью-Йорк: Academic Press , LCCN 70097490
Каллен, Чарльз Г. (1966), Матрицы и линейные преобразования , Чтение: Аддисон-Уэсли , LCCN 66021267
Херштейн, Индиана (1964), Темы алгебры , Уолтем: издательство Blaisdell Publishing Company , ISBN 978-1114541016
Неринг, Эвар Д. (1970), Линейная алгебра и теория матриц (2-е изд.), Нью-Йорк: Wiley , LCCN 76091646

Внешние ссылки [ править ]

Диагонали многоугольника с интерактивной анимацией
Диагональ многоугольника из MathWorld .
Диагональ матрицы из MathWorld .

[1] Интернет-словарь этимологии

[2] Страбон, География 2.1.36–37.

[3] Евклид, Книга элементов 11, предложение 28.

[4] Евклид, Книга элементов 11, предложение 38.

[5] Вайсштейн, Эрик В. «Диагональ многоугольника». Из MathWorld — веб-ресурса Wolfram. http://mathworld.wolfram.com/PolygonDiagonal.html

[6] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A006522» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС.

[7] Пунен, Бьорн; Рубинштейн, Михаил. «Количество точек пересечения диагоналей правильного многоугольника». СИАМ Дж. Дискретная математика . 11 (1998), вып. 1, 135–156; ссылка на версию на сайте Пунена

[youtube-8] [1] , начало в 2:10

[9] «Подсчет диагоналей многогранника – доктора математики» .

[10] Бронсон (1970 , стр. 2)

[11] Херштейн (1964 , стр. 239)

[12] Неринг (1970 , стр. 38)

[13] Херштейн (1964 , стр. 239)

[14] Неринг (1970 , стр. 38)

[15] Бронсон (1970 , стр. 203, 205)

[16] Херштейн (1964 , стр. 239)

[17] Каллен (1966 , стр. 114)

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]