Диагональный функтор

В теории категорий , разделе математики , диагональный функтор ${\mathcal {C}}\rightarrow {\mathcal {C}}\times {\mathcal {C}}$ дается $\Delta (a)=\langle a,a\rangle$, который отображает объекты , а также морфизмы . Этот функтор можно использовать для получения краткого альтернативного описания произведения объектов внутри категории . ${\mathcal {C}}$: продукт $a\times b$ универсальная стрела от $\Delta$ к $\langle a,b\rangle$. Стрелка содержит карты проекций.

В более общем плане, учитывая небольшую индексную категорию ${\mathcal {J}}$, можно построить категорию функтора ${\mathcal {C}}^{\mathcal {J}}$, объекты которых называются диаграммами . Для каждого объекта $a$ в ${\mathcal {C}}$, существует постоянная диаграмма $\Delta _{a}:{\mathcal {J}}\to {\mathcal {C}}$ который отображает каждый объект в ${\mathcal {J}}$ к $a$ и каждый морфизм в ${\mathcal {J}}$ к $1_{a}$. Диагональный функтор $\Delta :{\mathcal {C}}\rightarrow {\mathcal {C}}^{\mathcal {J}}$ присваивается каждому объекту $a$ из ${\mathcal {C}}$ диаграмма $\Delta _{a}$, и каждому морфизму $f:a\rightarrow b$ в ${\mathcal {C}}$ естественная трансформация $\eta$ в ${\mathcal {C}}^{\mathcal {J}}$ (данный за каждый объект $j$ из ${\mathcal {J}}$ к $\eta _{j}=f$). Так, например, в случае, когда ${\mathcal {J}}$ — дискретная категория с двумя объектами, диагональным функтором ${\mathcal {C}}\rightarrow {\mathcal {C}}\times {\mathcal {C}}$ восстанавливается.

Диагональные функторы позволяют определять пределы и копределы диаграмм. Учитывая диаграмму ${\mathcal {F}}:{\mathcal {J}}\rightarrow {\mathcal {C}}$, естественная трансформация $\Delta _{a}\to {\mathcal {F}}$ (для какого-то объекта $a$ из ${\mathcal {C}}$) называется конусом для ${\mathcal {F}}$. Эти конусы и их факторизации в точности соответствуют объектам и морфизмам категории запятой. $(\Delta \downarrow {\mathcal {F}})$, и предел ${\mathcal {F}}$ является терминальным объектом в $(\Delta \downarrow {\mathcal {F}})$, т. е. универсальная стрелка $\Delta \rightarrow {\mathcal {F}}$. , копредел Двойственно ${\mathcal {F}}$ является начальным объектом в категории запятой $({\mathcal {F}}\downarrow \Delta )$, т. е. универсальная стрелка ${\mathcal {F}}\rightarrow \Delta$.

Если каждый функтор из ${\mathcal {J}}$ к ${\mathcal {C}}$ имеет предел (который будет иметь место, если ${\mathcal {C}}$ полна ) , то операция взятия пределов сама является функтором из ${\mathcal {C}}^{\mathcal {J}}$ к ${\mathcal {C}}$. Предельный функтор является правым сопряженным диагональному функтору. Аналогично, функтор копредела (который существует, если категория кополна) является левым сопряженным диагональному функтору. Например, диагональный функтор ${\mathcal {C}}\rightarrow {\mathcal {C}}\times {\mathcal {C}}$ описанное выше является левым сопряженным функтора бинарного произведения и правым сопряжением функтора бинарного копроизведения .

См. также

• Диаграмма (теория категорий)
• Конус (теория категорий)
• Диагональный морфизм

Ссылки

• Аводи, Стив (2006). «Функторы и естественность». Теория категорий . стр. 125–158. doi : 10.1093/acprof:oso/9780198568612.003.0007 . ISBN  978-0-19-856861-2 .
• Мак Лейн, Сондерс; Мурдейк, Ике (1992). Связки геометрии и логики — первое введение в теорию топоса . Нью-Йорк: Springer-Verlag. стр. 20–23. ISBN  9780387977102 .
• Мэй, JP (1999). Краткий курс алгебраической топологии (PDF) . Издательство Чикагского университета. п. 16. ISBN  0-226-51183-9 .