Диагональный функтор

В теории категорий , разделе математики , диагональный функтор ${\mathcal {C}}\rightarrow {\mathcal {C}}\times {\mathcal {C}}$ дан кем-то $\Delta (a)=\langle a,a\rangle$ , который отображает объекты , а также морфизмы . Этот функтор можно использовать для получения краткого альтернативного описания произведения объектов внутри категории . ${\mathcal {C}}$ : продукт $a\times b$ универсальная стрела от $\Delta$ к $\langle a,b\rangle$ . Стрелка содержит карты проекций.

В более общем плане, учитывая небольшую индексную категорию ${\mathcal {J}}$ , можно построить категорию функтора ${\mathcal {C}}^{\mathcal {J}}$ , объекты которых называются диаграммами . Для каждого объекта $a$ в ${\mathcal {C}}$ , существует постоянная диаграмма $\Delta _{a}:{\mathcal {J}}\to {\mathcal {C}}$ который отображает каждый объект в ${\mathcal {J}}$ к $a$ и каждый морфизм в ${\mathcal {J}}$ к $1_{a}$ . Диагональный функтор $\Delta :{\mathcal {C}}\rightarrow {\mathcal {C}}^{\mathcal {J}}$ присваивается каждому объекту $a$ из ${\mathcal {C}}$ диаграмма $\Delta _{a}$ , и каждому морфизму $f:a\rightarrow b$ в ${\mathcal {C}}$ естественная трансформация $\eta$ в ${\mathcal {C}}^{\mathcal {J}}$ (данный за каждый объект $j$ из ${\mathcal {J}}$ к $\eta _{j}=f$ ). Так, например, в случае, когда ${\mathcal {J}}$ — дискретная категория с двумя объектами, диагональным функтором ${\mathcal {C}}\rightarrow {\mathcal {C}}\times {\mathcal {C}}$ восстанавливается.

Диагональные функторы позволяют определять пределы и копределы диаграмм. Учитывая диаграмму ${\mathcal {F}}:{\mathcal {J}}\rightarrow {\mathcal {C}}$ , естественная трансформация $\Delta _{a}\to {\mathcal {F}}$ (для какого-то объекта $a$ из ${\mathcal {C}}$ ) называется конусом для ${\mathcal {F}}$ . Эти конусы и их факторизации в точности соответствуют объектам и морфизмам категории запятой. $(\Delta \downarrow {\mathcal {F}})$ , и предел ${\mathcal {F}}$ является терминальным объектом в $(\Delta \downarrow {\mathcal {F}})$ , т. е. универсальная стрелка $\Delta \rightarrow {\mathcal {F}}$ . , копредел Двойственно ${\mathcal {F}}$ является начальным объектом в категории запятой $({\mathcal {F}}\downarrow \Delta )$ , т. е. универсальная стрелка ${\mathcal {F}}\rightarrow \Delta$ .

Если каждый функтор из ${\mathcal {J}}$ к ${\mathcal {C}}$ имеет предел (который будет иметь место, если ${\mathcal {C}}$ полна ) , то операция взятия пределов сама является функтором из ${\mathcal {C}}^{\mathcal {J}}$ к ${\mathcal {C}}$ . Предельный функтор является правым сопряженным диагональному функтору. Аналогично, функтор копредела (который существует, если категория кополна) является левым сопряженным диагональному функтору. Например, диагональный функтор ${\mathcal {C}}\rightarrow {\mathcal {C}}\times {\mathcal {C}}$ описанное выше является левым сопряженным функтора бинарного произведения и правым сопряженным функтора бинарного копроизведения .

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

День рождения, Стив (2006). «Функторы и природа» Теория категорий . стр. 100-1 125–158. doi : 10.1093/acprof:bear/9780198568612.003.0007 . ISBN 978-0-19-856861-2 .
Мак Лейн, Сондерс; Мурдейк, Ике (1992). Связки геометрии и логики — первое введение в теорию топоса . Нью-Йорк: Springer-Verlag. стр. 20–23. ISBN 9780387977102 .
Мэй, JP (1999). Краткий курс алгебраической топологии (PDF) . Издательство Чикагского университета. п. 16. ISBN 0-226-51183-9 .

Эта теории категорий статья, посвященная , незавершена . Вы можете помочь Википедии, расширив ее .