Гладкий функтор
В дифференциальной топологии , разделе математики, гладкий функтор — это тип функтора, определенного на конечномерных действительных векторных пространствах . Интуитивно понятно, что гладкий функтор является гладким в том смысле, что он переводит гладко параметризованные семейства векторных пространств в гладко параметризованные семейства векторных пространств. Таким образом, гладкие функторы могут быть однозначно расширены до функторов, определенных на векторных расслоениях .
Пусть Vect — категория конечномерных вещественных векторных пространств , морфизмы которых состоят из всех линейных отображений , и пусть F — ковариантный функтор, отображающий Vect в себя. Для векторных пространств T , U ∈ Vect функтор F индуцирует отображение
где Hom — обозначение функтора Hom . Если это отображение является гладким как отображение бесконечно дифференцируемых многообразий , то F называется гладким функтором . [1]
Общие гладкие функторы для некоторого векторного пространства W включают : [2]
- F ( W ) знак равно ⊗ н W — n- е итерированное тензорное произведение ;
- F ( Вт ) знак равно Л н ( W ), n- я внешняя степень ; и
- F ( Вт ) = Сим н ( W ), n- я симметричная степень .
Гладкие функторы важны, потому что любой гладкий функтор можно послойно применить к дифференцируемому векторному расслоению на многообразии. Гладкость функтора — это условие, необходимое для того, чтобы данные исправления для расслоения были гладкими как отображения многообразий. [2] Например, поскольку n- я внешняя степень векторного пространства определяет гладкий функтор, n- я внешняя степень гладкого векторного расслоения также является гладким векторным расслоением.
Хотя существуют установленные методы доказательства гладкости стандартных конструкций на конечномерных векторных расслоениях, гладкие функторы могут быть обобщены на категории топологических векторных пространств и векторных расслоений на бесконечномерных многообразиях Фреше . [3]
См. также [ править ]
Примечания [ править ]
- ^ Антонелли 2003 , с. 1420; Кригль и Михор 1997 , с. 290. Lee 2002 , стр. 122–23 определяет гладкие функторы над другой категорией, морфизмы которых являются линейными изоморфизмами, а не всеми линейными отображениями.
- ↑ Перейти обратно: Перейти обратно: а б Кригль и Михор 1997 , с. 290
- ^ Кригль и Михор 1997 разработали бесконечномерную теорию так называемых « удобных векторных пространств » — класса локально выпуклых пространств , который включает пространства Фреше .
Ссылки [ править ]
- Антонелли, PL (2003), Справочник по финслеровой геометрии , Springer, стр. 1420, ISBN 1-4020-1556-9 .
- Кригль, Андреас; Михор, Питер В. (1997), Удобные настройки глобального анализа , Книжный магазин AMS, стр. 290, ISBN 0-8218-0780-3 .
- Ли, Джон М. (2002), Введение в гладкие многообразия , Springer, стр. 122–23, ISBN 0-387-95448-1 .