Удобное векторное пространство

В математике удобными векторными пространствами являются локально выпуклые векторные пространства, удовлетворяющие очень мягкому условию полноты .

Традиционное дифференциальное исчисление эффективно при анализе конечномерных векторных пространств и банаховых пространств . За пределами банаховых пространств начинают возникать трудности; в частности, композиция непрерывных линейных отображений перестает быть совместно непрерывной на уровне банаховых пространств, для любой согласованной топологии в пространствах непрерывных линейных отображений.

Отображения между удобными векторными пространствами являются гладкими или $C^{\infty }$ если они отображают гладкие кривые в гладкие кривые. Это приводит к декартовой замкнутой категории гладких отображений между $c^{\infty }$-открытые подмножества удобных векторных пространств (см. свойство 6 ниже). Соответствующее исчисление гладких отображений называется удобным исчислением .Оно слабее любого другого разумного понятия дифференцируемости, его легко применить, но существуют гладкие отображения, которые не являются непрерывными (см. примечание 1).Сам по себе этот тип исчисления бесполезен при решении уравнений. .

с ^∞ -топология

См. Также: Дифференцируемые векторные функции из евклидова пространства и дифференцирование в пространствах Фреше.

Позволять $E$ — локально выпуклое векторное пространство . Кривая $c:\mathbb {R} \to E$ называется гладким или $C^{\infty }$ если все производные существуют и непрерывны. Позволять $C^{\infty }(\mathbb {R} ,E)$ — пространство гладких кривых. Можно показать, что множество гладких кривых не полностью зависит от локально выпуклых топология $E,$ только на связанной с ней борнологии (системе ограниченных множеств); см. [КМ], 2.11.Окончательные топологии относительно следующих наборов отображений в $E$ совпадать; см. [КМ], 2.13.

• $C^{\infty }(\mathbb {R} ,E).$
• Множество всех кривых Липшица (так что $\left\{{\dfrac {c(t)-c(s)}{t-s}}:t\neq s{,}|t|,|s|\leq C\right\}$ ограничен $E,$ для каждого $C$).
• Набор инъекций $E_{B}\to E$ где $B$ пробегает все ограниченные абсолютно выпуклые подмножества в $E,$ и где $E_{B}$ представляет собой линейный интервал $B$ оснащен функционалом Минковского $\|x\|_{B}:=\inf\{\lambda >0:x\in \lambda B\}.$
• Набор всех сходящихся последовательностей Макки $x_{n}\to x$ (существует последовательность $0<\lambda _{n}\to \infty$ с $\lambda _{n}\left(x_{n}-x\right)$ ограниченный).

Эта топология называется $c^{\infty }$- топология включена $E$ и мы пишем $c^{\infty }E$ для полученного топологического пространства. В целом (на пространстве $D$ гладких функций с компактным носителем на вещественной прямой, например) она тоньше, чем данная локально выпуклая топология, это не топология векторного пространства, поскольку сложение больше не является совместно непрерывным. А именно, даже $c^{\infty }(D\times D)\neq \left(c^{\infty }D\right)\times \left(c^{\infty }D\right).$Лучшая среди всех локально выпуклых топологий на $E$ которые грубее, чем $c^{\infty }E$ является борнологизацией данной локально выпуклой топологии. Если $E$ является пространством Фреше , то $c^{\infty }E=E.$

Удобные векторные пространства

Локально выпуклое векторное пространство $E$ называется удобным векторным пространством, если выполняется одно из следующих эквивалентных условий (называемых $c^{\infty }$-полнота); см. [КМ], 2.14.

• Для любого $c\in C^{\infty }(\mathbb {R} ,E)$ интеграл (Римана) $\int _{0}^{1}c(t)\,dt$ существует в $E$.
• Любая кривая Липшица в $E$ локально интегрируемо по Риману.
• Любой скалярный мудрый $C^{\infty }$ кривая $C^{\infty }$: Кривая $c:\mathbb {R} \to E$ гладко тогда и только тогда, когда композиция $\lambda \circ c:t\mapsto \lambda (c(t))$ находится в $C^{\infty }(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )$ для всех $\lambda \in E^{*}$ где $E^{*}$ является двойственным ко всем непрерывным линейным функционалам на $E$.
  • Эквивалентно для всех $\lambda \in E'$, двойственный ко всем ограниченным линейным функционалам.
  • Эквивалентно для всех $\lambda \in V$, где $V$ является подмножеством $E'$ который распознает ограниченные подмножества в $E$; см. [КМ], 5.22.
• Любая последовательность Макки-Коши (т.е. $t_{nm}(x-x_{m})\to 0$ для некоторых $t_{nm}\to \infty$ в $\mathbb {R}$ сходится в $E$. Очевидно, что это мягкое требование полноты.
• Если $B$ ограниченно замкнуто абсолютно выпукло, то $E_{B}$ является банаховым пространством.
• Если $f:\mathbb {R} \to E$ является скалярным ${\text{Lip}}^{k}$, затем $f$ является ${\text{Lip}}^{k}$, для $k>1$.
• Если $f:\mathbb {R} \to E$ является скалярным $C^{\infty }$ затем $f$ дифференцируема в $0$.

Вот отображение $f:\mathbb {R} \to E$ называется ${\text{Lip}}^{k}$ если все производные на заказ $k$ существуют и являются липшицевыми, локально на $\mathbb {R}$.

Плавное отображение

Позволять $E$ и $F$ быть удобными векторными пространствами, и пусть $U\subseteq E$ быть $c^{\infty }$-открыть. Отображение $f:U\to F$ называется гладким или $C^{\infty }$, если композиция $f\circ c\in C^{\infty }(\mathbb {R} ,F)$ для всех $c\in C^{\infty }(\mathbb {R} ,U)$. См. [КМ], 3.11.

Основные свойства гладкого исчисления

1. Для отображений на пространствах Фреше это понятие гладкости совпадает со всеми другими разумными определениями. На $\mathbb {R} ^{2}$ это нетривиальная теорема, доказанная Боманом в 1967 году. См. также [КМ], 3.4.

2. Полилинейные отображения гладкие тогда и только тогда, когда они ограничены ([КМ], 5.5).

3. Если $f:E\supseteq U\to F$ гладко, то производная $df:U\times E\to F$ является гладким, а также $df:U\to L(E,F)$ является гладким, где $L(E,F)$ обозначает пространство всех ограниченных линейных отображений с топологией равномерной сходимости на ограниченных подмножествах; см. [КМ], 3.18.

4. Выполняется цепное правило ([КМ], 3.18).

5. Пространство $C^{\infty }(U,F)$ всех гладких отображений $U\to F$ снова является удобным векторным пространством, структура которого задается следующей инъекцией, где $C^{\infty }(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )$ несет топологию компактной сходимости по каждой производной отдельно; см. [КМ], 3.11 и 3.7.

$C^{\infty }(U,F)\to \prod _{c\in C^{\infty }(\mathbb {R} ,U),\ell \in F^{*}}C^{\infty }(\mathbb {R} ,\mathbb {R} ),\quad f\mapsto (\ell \circ f\circ c)_{c,\ell }\,.$

6. Выполняется показательный закон ([КМ], 3.12): При $c^{\infty }$-открыть $V\subseteq F$ следующее отображение является линейным диффеоморфизмом удобных векторных пространств.

$C^{\infty }(U,C^{\infty }(V,G))\cong C^{\infty }(U\times V,G),\qquad f\mapsto g,\qquad f(u)(v)=g(u,v).$

Это основное предположение вариационного исчисления. Вот это теорема. Это свойство является источником названия «удобство» , которое было заимствовано из (Steenrod 1967).

7. Теорема о гладкой равномерной ограниченности ([КМ], теорема 5.26). Линейное отображение $f:E\to C^{\infty }(V,G)$ является гладким (по (2) эквивалентным ограниченному) тогда и только тогда, когда $\operatorname {ev} _{v}\circ f:V\to G$ является гладким для каждого $v\in V$.

8. Следующие канонические отображения гладкие. Это следует из показательного закона путем простых категоричных рассуждений, см. [КМ], 3.13.

${\begin{aligned}&\operatorname {ev} :C^{\infty }(E,F)\times E\to F,\quad {\text{ev}}(f,x)=f(x)\\[6pt]&\operatorname {ins} :E\to C^{\infty }(F,E\times F),\quad {\text{ins}}(x)(y)=(x,y)\\[6pt]&(\quad )^{\wedge }:C^{\infty }(E,C^{\infty }(F,G))\to C^{\infty }(E\times F,G)\\[6pt]&(\quad )^{\vee }:C^{\infty }(E\times F,G)\to C^{\infty }(E,C^{\infty }(F,G))\\[6pt]&\operatorname {comp} :C^{\infty }(F,G)\times C^{\infty }(E,F)\to C^{\infty }(E,G)\\[6pt]&C^{\infty }(\quad ,\quad ):C^{\infty }(F,F_{1})\times C^{\infty }(E_{1},E)\to C^{\infty }(C^{\infty }(E,F),C^{\infty }(E_{1},F_{1})),\quad (f,g)\mapsto (h\mapsto f\circ h\circ g)\\[6pt]&\prod :\prod C^{\infty }(E_{i},F_{i})\to C^{\infty }\left(\prod E_{i},\prod F_{i}\right)\end{aligned}}$

Связанные удобные исчисления

Удобное исчисление гладких отображений впервые появилось в [Frölicher, 1981], [Kriegl 1982, 1983].Удобное исчисление (обладающее свойствами 6 и 7) существует также для:

• Вещественные аналитические отображения (Кригль, Михор, 1990; см. также [КМ], глава II).
• Голоморфные отображения (Кригль, Нель, 1985; см. также [КМ], глава II). Идея голоморфности принадлежит [Fantappie, 1930-3].
• Многие классы ультрадифференцируемых функций Данжуа Карлемана как типа Берлинга, так и типа Румье [Kriegl, Michor, Rainer, 2009, 2011, 2015].
• С некоторыми доработками, $\operatorname {Lip} ^{k}$, [ФК].
• С большим количеством адаптаций, даже $C^{k,\alpha }$ (т.е. $k$-я производная непрерывна по Гельдеру с индексом $\alpha$) ([Фор, 1989], [Фор, Эти Женевы, 1991]).

Соответствующее понятие удобного векторного пространства одинаково (для лежащего в его основе вещественного векторного пространства в комплексном случае) для всех этих теорий.

Приложение: Многообразия отображений между конечномерными многообразиями

Экспоненциальный закон 6 удобного исчисления позволяет очень просто доказывать основные факты о многообразиях отображений. Позволять $M$ и $N$ — конечномерные гладкие многообразия , где $M$ компактен ​ . Мы используем вспомогательная метрика Римана ${\bar {g}}$ на $N$. Риманово экспоненциальное отображение ${\bar {g}}$ описано на следующей схеме:

Он создает атлас карт на пространстве. $C^{\infty }(M,N)$ всех гладких отображений $M\to N$ следующее.Диаграмма с центром в $f\in C^{\infty }(M,N)$, является:

$u_{f}:C^{\infty }(M,N)\supset U_{f}=\{g:(f,g)(M)\subset V^{N\times N}\}\to {\tilde {U}}_{f}\subset \Gamma (f^{*}TN),$

$u_{f}(g)=(\pi _{N},\exp ^{\bar {g}})^{-1}\circ (f,g),\quad u_{f}(g)(x)=(\exp _{f(x)}^{\bar {g}})^{-1}(g(x)),$

$(u_{f})^{-1}(s)=\exp _{f}^{\bar {g}}\circ s,\qquad \quad (u_{f})^{-1}(s)(x)=\exp _{f(x)}^{\bar {g}}(s(x)).$

Теперь основные факты легко изложены.Тривиализация обратного векторного расслоения $f^{*}TN$ и применение показательного закона 6 приводит к диффеоморфизму

$C^{\infty }(\mathbb {R} ,\Gamma (M;f^{*}TN))=\Gamma (\mathbb {R} \times M;\operatorname {pr_{2}} ^{*}f^{*}TN).$

Все сопоставления изменений диаграммы являются плавными ( $C^{\infty }$), поскольку они отображают гладкие кривые в гладкие кривые:

${\tilde {U}}_{f_{1}}\ni s\mapsto (\pi _{N},\exp ^{\bar {g}})\circ s\mapsto (\pi _{N},\exp ^{\bar {g}})\circ (f_{2},\exp _{f_{1}}^{\bar {g}}\circ s).$

Таким образом $C^{\infty }(M,N)$— гладкое многообразие, моделируемое пространствами Фреше. Пространство всех гладких кривых в этом многообразии определяется выражением

$C^{\infty }(\mathbb {R} ,C^{\infty }(M,N))\cong C^{\infty }(\mathbb {R} \times M,N).$

Поскольку он визуально отображает гладкие кривые в гладкие кривые, композиция

$C^{\infty }(P,M)\times C^{\infty }(M,N)\to C^{\infty }(P,N),\qquad (f,g)\mapsto g\circ f,$

гладкий. Как следствие структуры карты, касательное расслоение многообразия отображений имеет вид

$\pi _{C^{\infty }(M,N)}=C^{\infty }(M,\pi _{N}):TC^{\infty }(M,N)=C^{\infty }(M,TN)\to C^{\infty }(M,N).$

Обычные группы Ли

Позволять $G$ быть связной гладкой группой Ли, моделируемой на удобных векторных пространствах, с алгеброй Ли ${\mathfrak {g}}=T_{e}G$. Умножение и обращение обозначаются:

$\mu :G\times G\to G,\quad \mu (x,y)=x.y=\mu _{x}(y)=\mu ^{y}(x),\qquad \nu :G\to G,\nu (x)=x^{-1}.$

Понятие регулярной группы Ли первоначально принадлежит Омори и др. для групп Ли Фреше был ослаблен и сделан более прозрачным Дж. Милнором, а затем перенесен в удобные группы Ли; см. [КМ], 38.4.

Группа лжи $G$ называется регулярным, если выполняются следующие два условия:

• Для каждой плавной кривой $X\in C^{\infty }(\mathbb {R} ,{\mathfrak {g}})$ в алгебре Ли существует гладкая кривая $g\in C^{\infty }(\mathbb {R} ,G)$ в группе Ли, правая логарифмическая производная которой равна $X$. Оказывается, что $g$ однозначно определяется своим начальным значением $g(0)$, если он существует. То есть,

$g(0)=e,\qquad \partial _{t}g(t)=T_{e}(\mu ^{g(t)})X(t)=X(t).g(t).$

Если $g$ является единственным решением кривой $X$ требуемое выше, обозначим

$\operatorname {evol} _{G}^{r}(X)=g(1),\quad \operatorname {Evol} _{G}^{r}(X)(t):=g(t)=\operatorname {evol} _{G}^{r}(tX).$

• Следующее отображение должно быть гладким:

$\operatorname {evol} _{G}^{r}:C^{\infty }(\mathbb {R} ,{\mathfrak {g}})\to G.$

Если $X$ — постоянная кривая в алгебре Ли, то $\operatorname {evol} _{G}^{r}(X)=\exp ^{G}(X)$ — групповое экспоненциальное отображение.

Теорема. Для каждого компактного многообразия $M$, группа диффеоморфизмов $\operatorname {Diff} (M)$ является регулярной группой Ли. Его алгебра Ли — это пространство ${\mathfrak {X}}(M)$ всех гладких векторных полей на $M$, с отрицанием обычной скобки как скобки Ли.

Доказательство: группа диффеоморфизмов. $\operatorname {Diff} (M)$ является гладким многообразием, поскольку оно является открытым подмножеством в $C^{\infty }(M,M)$. Композиция гладкая по ограничению. Инверсия гладкая: если $t\to f(t,\ )$ представляет собой гладкую кривую $\operatorname {Diff} (M)$, то f ( t , ) ⁻¹
$f(t,\ )^{-1}(x)$ удовлетворяет неявному уравнению $f(t,f(t,\quad )^{-1}(x))=x$, поэтому по теореме о конечномерной неявной функции $(t,x)\mapsto f(t,\ )^{-1}(x)$ гладкий. Таким образом, инверсия отображает гладкие кривые в гладкие кривые, и, таким образом, инверсия является гладкой.Позволять $X(t,x)$ быть векторным полем, зависящим от времени $M$ (в $C^{\infty }(\mathbb {R} ,{\mathfrak {X}}(M))$).Тогда оператор потока $\operatorname {Fl}$ соответствующего автономного векторного поля $\partial _{t}\times X$ на $\mathbb {R} \times M$ индуцирует оператор эволюции через

$\operatorname {Fl} _{s}(t,x)=(t+s,\operatorname {Evol} (X)(t,x))$

которое удовлетворяет обыкновенному дифференциальному уравнению

$\partial _{t}\operatorname {Evol} (X)(t,x)=X(t,\operatorname {Evol} (X)(t,x)).$

Учитывая гладкую кривую в алгебре Ли, $X(s,t,x)\in C^{\infty }(\mathbb {R} ^{2},{\mathfrak {X}}(M))$,то решение обыкновенного дифференциального уравнения гладко зависит и от дополнительной переменной $s$,таким образом $\operatorname {evol} _{\operatorname {Diff} (M)}^{r}$ отображает гладкие кривые векторных полей, зависящих от времени, в гладкие кривые диффеоморфизм. КЭД.

Основной пакет вложений

Для конечномерных многообразий $M$ и $N$ с $M$ компактный, просторный $\operatorname {Emb} (M,N)$ всех гладких вложений $M$ в $N$, открыт в $C^{\infty }(M,N)$, поэтому это гладкое многообразие. Группа диффеоморфизмов $\operatorname {Diff} (M)$ действует свободно и плавно справа на $\operatorname {Emb} (M,N)$.

Теорема: $\operatorname {Emb} (M,N)\to \operatorname {Emb} (M,N)/\operatorname {Diff} (M)$ представляет собой главное расслоение со структурной группой $\operatorname {Diff} (M)$.

Доказательство: снова используется вспомогательная риманова метрика. ${\bar {g}}$ на $N$. Данный $f\in \operatorname {Emb} (M,N)$, вид $f(M)$ как подмногообразие $N$и разделим ограничение касательного расслоения $TN$ к $f(M)$ в подпучок, нормальный к $f(M)$ и по касательной к $f(M)$ как $TN|_{f(M)}=\operatorname {Nor} (f(M))\oplus Tf(M)$. Выбирайте трубчатое соседство

$p_{f(M)}:\operatorname {Nor} (f(M))\supset W_{f(M)}\to f(M).$

Если $g:M\to N$ является $C^{1}$-рядом с $f$, затем

$\phi (g):=f^{-1}\circ \,p_{f(M)}\circ \,g\in \operatorname {Diff} (M)\quad {\text{and}}\quad g\circ \,\phi (g)^{-1}\in \Gamma (f^{*}W_{f(M)})\subset \Gamma (f^{*}\operatorname {Nor} (f(M))).$

Это и есть необходимое локальное расщепление. КЭД

Дальнейшие применения

Обзор приложений, использующих геометрию пространств форм и групп диффеоморфизмов, можно найти в [Bauer, Bruveris, Michor, 2014].

Ссылки

• Бауэр М., Бруверис М., Михор П.В.: Обзор геометрии пространств форм и групп диффеоморфизмов. Журнал математической визуализации и видения, 50, 1–2, 60–97, 2014 г. (arXiv:1305.11500)
• Боман, Дж.: Дифференцируемость функции и ее композиции с функцией одной переменной, Mathematica Scandia vol. 20 (1967), 249–268.
• Фор, К.-А.: Об одной теореме Бомана, CR Acad. Sci., Париж}, вып. 309 (1989), 1003–1006.
• Фор, К.-А.: Теория дифференциации в подходящих пространствах, Женевский университет, 1991.
• Фрелихер, А.: Гладкие отображения пространств и многообразий Фреше, CR Acad. наук. Париж, том. 293 (1981), 125–127.
• [ФК] Фрёлихер А., Кригль А.: Линейные пространства и теория дифференцирования. Чистая и прикладная математика, Дж. Уайли, Чичестер, 1988.
• Кригль А.: Подходящие пространства для анализа в бесконечности - измерения, Ежемесячные выпуски по математике, том. 94 (1982) 109-124.
• Кригль, А.: Декартова замкнутая категория гладких отображений между любыми локально выпуклыми векторными пространствами, Monthly Books for Mathematics vol. 95 (1983) 287-309.
• [КМ] Кригл А., Михор П.В.: Удобные условия глобального анализа. Математические обзоры и монографии, том: 53, Американское математическое общество, Провиденс, 1997. (pdf)
• Кригл А., Михор П.В., Райнер А.: Удобная настройка для неквазианалитических дифференцируемых отображений Данжуа – Карлемана, Journal of Functional Analysis, vol. 256 (2009), 3510–3544. (arXiv:0804.2995)
• Кригль А., Михор П.В., Райнер А.: Удобная настройка для квазианалитических дифференцируемых отображений Данжуа – Карлемана, Journal of Functional Analysis, vol. 261 (2011), 1799–1834. (arXiv:0909.5632)
• Кригль А., Михор П.В., Райнер А.: Удобная настройка для дифференцируемых отображений Данжуа-Карлемана типа Берлинга и Румье. Ревиста Математика Комплутенсе (2015). doi:10.1007/s13163-014-0167-1. (arXiv:1111.1819)
• Михор, П.В.: Многообразия отображений и форм. (arXiv:1505.02359)
• Стинрод, Н.Э.: Удобная категория для топологических пространств, Michigan Mathematical Journal, vol. 14 (1967), 133–152.