Теорема Фельдмана – Хайека

В теории вероятностей теорема Фельдмана-Хайека или дихотомия Фельдмана-Хайека является фундаментальным результатом теории гауссовских мер . В нем говорится, что две гауссовские меры $\mu$ и $\nu$ в локально выпуклом пространстве $X$ являются либо эквивалентными мерами , либо взаимно сингулярными : невозможна промежуточная ситуация, в которой, например, $\mu$ имеет плотность относительно $\nu$ но не наоборот. В частном случае, когда $X$ является гильбертовым пространством , то можно дать явное описание обстоятельств, при которых $\mu$ и $\nu$ эквивалентны: написание $m_{\mu }$ и $m_{\nu }$ для средств $\mu$ и $\nu ,$ и $C_{\mu }$ и $C_{\nu }$ для их ковариационных операторов эквивалентность $\mu$ и $\nu$ имеет место тогда и только тогда, когда

• $\mu$ и $\nu$ имеют одно и то же пространство Кэмерона-Мартина $H=C_{\mu }^{1/2}(X)=C_{\nu }^{1/2}(X)$;
• разница в их средних находится в этом общем пространстве Кэмерона-Мартина, т.е. $m_{\mu }-m_{\nu }\in H$; и
• оператор $(C_{\mu }^{-1/2}C_{\nu }^{1/2})(C_{\mu }^{-1/2}C_{\nu }^{1/2})^{\ast }-I$ является оператором Гильберта–Шмидта на ${\bar {H}}.$

Простым следствием теоремы Фельдмана–Хайека является то, что расширение гауссовой меры в бесконечномерном гильбертовом пространстве $X$ (т.е. принимая $C_{\nu }=sC_{\mu }$ для некоторого масштабного коэффициента $s\geq 0$) всегда дает две взаимно сингулярные гауссовские меры, за исключением тривиального расширения с $s=1,$ с $(s^{2}-1)I$ является Гильбертом–Шмидтом только тогда, когда $s=1.$

См. также

• Каноническая мера набора гауссовских цилиндров – способ создания меры для пространств продуктов. Страницы, отображающие описания викиданных в качестве запасного варианта.