Теория подъема

В математике теория подъема была впервые представлена ​​Джоном фон Нейманом в новаторской статье 1931 года, в которой он ответил на вопрос, поднятый Альфредом Хааром . Теория получила дальнейшее развитие Дороти Махарам (1958). и Александра Ионеску Тулча и Кассий Ионеску Тулча (1961). Теория подъема была во многом мотивирована ее яркими применениями. Его развитие до 1969 года описано в монографии Ионеску Тулчаа. С тех пор теория лифтинга продолжала развиваться, принося новые результаты и приложения.

Определения

Подъём на мерное пространство $(X,\Sigma ,\mu )$ является линейным и мультипликативным оператором

$$T:L^{\infty }(X,\Sigma ,\mu )\to {\mathcal {L}}^{\infty }(X,\Sigma ,\mu )$$

что является правой инверсией фактор-отображения

$${\begin{cases}{\mathcal {L}}^{\infty }(X,\Sigma ,\mu )\to L^{\infty }(X,\Sigma ,\mu )\\f\mapsto [f]\end{cases}}$$

где ${\mathcal {L}}^{\infty }(X,\Sigma ,\mu )$ – полунормированный L ^п пространство измеримых функций и $L^{\infty }(X,\Sigma ,\mu )$ – его обычное нормированное частное. Другими словами, подъем выбирает из каждого класса эквивалентности $[f]$ ограниченных измеримых функций по модулю пренебрежимо малых функций представитель, что в дальнейшем записывается $T([f])$ или $T[f]$ или просто $Tf$ - таким образом, что $T[1]=1$ и для всех $p\in X$ и все $r,s\in \mathbb {R} ,$

$$T(r[f]+s[g])(p)=rT[f](p)+sT[g](p),$$

$$T([f]\times [g])(p)=T[f](p)\times T[g](p).$$

Лифтинги используются для создания дезинтеграций мер , например, распределений условных вероятностей с учетом непрерывных случайных величин и расслоений меры Лебега на множествах уровня функции.

Наличие лифтов

Теорема. Предполагать $(X,\Sigma ,\mu )$ завершен. Затем $(X,\Sigma ,\mu )$ допускает подъем тогда и только тогда, когда существует совокупность взаимно непересекающихся интегрируемых множеств в $\Sigma$ чей профсоюз $X.$В частности, если $(X,\Sigma ,\mu )$ является пополнением σ -конечного меры или внутренней регулярной борелевской меры на локально компактном пространстве , то $(X,\Sigma ,\mu )$ допускает подъем.

Доказательство состоит в расширении подъема на все более крупные под- σ -алгебры с применением мартингальной теоремы Дуба о сходимости, если при этом встречается счетная цепь.

Сильные подъемы

Предполагать $(X,\Sigma ,\mu )$ является полным и $X$ имеет вполне регулярную топологию Хаусдорфа. $\tau \subseteq \Sigma$ такое, что объединение любого набора пренебрежимо малых открытых множеств снова пренебрежимо - это тот случай, если $(X,\Sigma ,\mu )$ является σ -конечной или происходит из меры Радона . Тогда поддержка ​ $\mu ,$ $\operatorname {Supp} (\mu ),$ можно определить как дополнение наибольшего незначительного открытого подмножества, а коллекцию $C_{b}(X,\tau )$ ограниченных непрерывных функций принадлежит ${\mathcal {L}}^{\infty }(X,\Sigma ,\mu ).$

Сильный лифтинг для $(X,\Sigma ,\mu )$ это подъем

$$T:L^{\infty }(X,\Sigma ,\mu )\to {\mathcal {L}}^{\infty }(X,\Sigma ,\mu )$$

такой, что $T\varphi =\varphi$ на $\operatorname {Supp} (\mu )$ для всех $\varphi$ в $C_{b}(X,\tau ).$ Это то же самое, что требовать, чтобы $TU\geq (U\cap \operatorname {Supp} (\mu ))$ для всех открытых наборов $U$ в $\tau .$

Теорема. Если $(\Sigma ,\mu )$ является σ -конечным и полным и $\tau$ имеет счетную базу, то $(X,\Sigma ,\mu )$ допускает сильный подъем.

Доказательство. Позволять $T_{0}$ быть подъемником для $(X,\Sigma ,\mu )$ и $U_{1},U_{2},\ldots$ счетная база для $\tau .$ Для любой точки $p$ в ничтожном наборе

$$N:=\bigcup \nolimits _{n}\left\{p\in \operatorname {Supp} (\mu ):(T_{0}U_{n})(p)<U_{n}(p)\right\}$$

позволять $T_{p}$ будь любым персонажем на $L^{\infty }(X,\Sigma ,\mu )$ это расширяет характер $\phi \mapsto \phi (p)$ из $C_{b}(X,\tau ).$ Тогда для $p$ в $X$ и $[f]$ в $L^{\infty }(X,\Sigma ,\mu )$ определять:

$$(T[f])(p):={\begin{cases}(T_{0}[f])(p)&p\notin N\\T_{p}[f]&p\in N.\end{cases}}$$

$T$ желаемый сильный подъем.

Применение: распад меры

Предполагать $(X,\Sigma ,\mu )$ и $(Y,\Phi ,\nu )$ являются σ -конечными пространствами с мерой ( $\mu ,\mu$ позитив) и $\pi :X\to Y$ это измеримая карта. Распад ​ $\mu$ вдоль $\pi$ относительно $\nu$ это потрясающе $Y\ni y\mapsto \lambda _{y}$ положительных σ -аддитивных мер на $(\Sigma ,\mu )$ такой, что

1. $\lambda _{y}$ переносится по волокну $\pi ^{-1}(\{y\})$ из $\pi$ над $y$, то есть $\{y\}\in \Phi$ и $\lambda _{y}\left((X\setminus \pi ^{-1}(\{y\})\right)=0$ почти для всех $y\in Y$
2. для каждого $\mu$-интегрируемая функция $f,$
   $$\int _{X}f(p)\;\mu (dp)=\int _{Y}\left(\int _{\pi ^{-1}(\{y\})}f(p)\,\lambda _{y}(dp)\right)\nu (dy)\qquad (*)$$
   в том смысле, что для $\nu$-почти все $y$ в $Y,$ $f$ является $\lambda _{y}$-интегрируемая функция
   $$y\mapsto \int _{\pi ^{-1}(\{y\})}f(p)\,\lambda _{y}(dp)$$
   является $\nu$-интегрируемо, и отображаемое равенство $(*)$ держит.

Распады существуют при различных обстоятельствах, доказательства различаются, но почти все они используют сильные лифтинги. Вот довольно общий результат. Его краткое доказательство придает общий смысл.

Теорема. Предполагать $X$ это польское пространство и $Y$ сепарабельное хаусдорфово пространство, оба снабженные своими борелевскими σ -алгебрами. Позволять $\mu$ — σ -конечная борелевская мера на $X$ и $\pi :X\to Y$ а $\Sigma ,\Phi -$измеримая карта. Тогда существует σ-конечная борелевская мера $\nu$ на $Y$ и распад (*).Если $\mu$ конечно, $\nu$ можно считать толчком вперед $\pi _{*}\mu ,$ а затем $\lambda _{y}$ являются вероятностями.

Доказательство. Из-за польской природы $X$ существует последовательность компактных подмножеств $X$ которые не пересекаются друг с другом, объединение которых имеет незначительное дополнение и на которых $\pi$ является непрерывным. Это наблюдение сводит проблему к случаю, когда оба $X$ и $Y$ компактны и $\pi$ является непрерывным, и $\nu =\pi _{*}\mu .$ Полный $\Phi$ под $\nu$ и зафиксировать сильный лифтинг $T$ для $(Y,\Phi ,\nu ).$ Учитывая ограниченный $\mu$-измеримая функция $f,$ позволять $\lfloor f\rfloor$ обозначим его условное ожидание под $\pi ,$ то есть Радона-Никодима производная $\pi _{*}(f\mu )$ относительно $\pi _{*}\mu .$ Затем установите для каждого $y$ в $Y,$ $\lambda _{y}(f):=T(\lfloor f\rfloor )(y).$ Показать, что это определяет распад, — это вопрос бухгалтерского учета и подходящей теоремы Фубини. Чтобы увидеть, как возрастает сила подъема, обратите внимание, что

$$\lambda _{y}(f\cdot \varphi \circ \pi )=\varphi (y)\lambda _{y}(f)\qquad \forall y\in Y,\varphi \in C_{b}(Y),f\in L^{\infty }(X,\Sigma ,\mu )$$

и возьми нижнюю границу над всем положительным $\varphi$ в $C_{b}(Y)$ с $\varphi (y)=1;$ становится очевидным, что поддержка $\lambda _{y}$ лежит в волокне над $y.$