Внешняя мера

В математической области теории меры внешняя мера или внешняя мера — это функция, определенная на всех подмножествах данного набора со значениями в расширенных действительных числах, удовлетворяющая некоторым дополнительным техническим условиям. Теория внешних мер была впервые введена Константином Каратеодори, чтобы обеспечить абстрактную основу теории измеримых множеств и счетно-аддитивных мер. Работа Каратеодори о внешних мерах нашла множество применений в теоретико-мерной теории множеств (внешние меры, например, используются в доказательстве фундаментальной теоремы Каратеодори о расширении ) и существенно использовалась Хаусдорфом для определения размерного метрического инварианта теперь. называется размерностью Хаусдорфа . Внешние меры обычно используются в области геометрической теории меры .

Меры — это обобщения длины, площади и объема, но они полезны для гораздо более абстрактных и нерегулярных множеств, чем интервалы в $\mathbb {R}$ или шарики в $\mathbb {R} ^{3}$. Можно было бы ожидать определения обобщенной измерительной функции $\varphi$ на $\mathbb {R}$ который отвечает следующим требованиям:

1. Любой интервал реалов $[a,b]$ имеет меру $b-a$
2. Функция измерения $\varphi$ — неотрицательная расширенная функция с действительным знаком, определенная для всех подмножеств $\mathbb {R}$.
3. Трансляционная инвариантность: для любого набора. $A$ и любой настоящий $x$, наборы $A$ и $A+x=\{a+x:a\in A\}$ иметь ту же меру
4. Счётная аддитивность : для любой последовательности. $(A_{j})$ попарно непересекающихся подмножеств $\mathbb {R}$

$\varphi \left(\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}\right)=\sum _{i=1}^{\infty }\varphi (A_{i}).$

Оказывается, эти требования являются несовместимыми условиями; см. неизмеримое множество . Цель построения внешней меры на всех подмножествах $X$ состоит в том, чтобы выбрать класс подмножеств (которые будут называться измеримыми ) таким образом, чтобы удовлетворить свойству счетной аддитивности.

Внешние меры

Учитывая набор $X,$ позволять $2^{X}$ обозначают совокупность всех подмножеств $X,$ включая пустой набор $\varnothing .$ Внешняя мера по $X$ это заданная функция

$$\mu :2^{X}\to [0,\infty ]$$

такой, что

• нулевой пустой набор : $\mu (\varnothing )=0$
• счетно субаддитивно : для произвольных подмножеств $A,B_{1},B_{2},\ldots$ из $X,$
  $${\text{if }}A\subseteq \bigcup _{j=1}^{\infty }B_{j}{\text{ then }}\mu (A)\leq \sum _{j=1}^{\infty }\mu (B_{j}).$$

Обратите внимание, что в этом определении нет никаких тонкостей относительно бесконечного суммирования. Поскольку все слагаемые считаются неотрицательными, последовательность частичных сумм может расходиться только за счет неограниченного увеличения. Таким образом, бесконечная сумма, фигурирующая в определении, всегда будет четко определенным элементом $[0,\infty ].$ Если бы вместо этого внешней мере было разрешено принимать отрицательные значения, ее определение пришлось бы изменить, чтобы принять во внимание возможность несходящихся бесконечных сумм.

Альтернативное и эквивалентное определение. Некоторые учебники, такие как Halmos (1950), вместо этого определяют внешнюю меру как $X$ быть функцией $\mu :2^{X}\to [0,\infty ]$ такой, что

• нулевой пустой набор : $\mu (\varnothing )=0$
• монотонно : если $A$ и $B$ являются подмножествами $X$ с $A\subseteq B,$ затем $\mu (A)\leq \mu (B)$
• для произвольных подмножеств $B_{1},B_{2},\ldots$ из $X,$
  $$\mu \left(\bigcup _{j=1}^{\infty }B_{j}\right)\leq \sum _{j=1}^{\infty }\mu (B_{j}).$$

showДоказательство эквивалентности. Suppose that $\mu$ is an outer measure in sense originally given above. If $A$ and $B$ are subsets of $X$ with $A\subseteq B,$ then by appealing to the definition with $B_{1}=B$ and $B_{j}=\varnothing$ for all $j\geq 2,$ one finds that $\mu (A)\leq \mu (B).$ The third condition in the alternative definition is immediate from the trivial observation that $\cup _{j}B_{j}\subseteq \cup _{j}B_{j}.$

Suppose instead that $\mu$ is an outer measure in the alternative definition. Let $A,B_{1},B_{2},\ldots$ be arbitrary subsets of $X,$ and suppose that

$$A\subseteq \bigcup _{j=1}^{\infty }B_{j}.$$

One then has

$$\mu (A)\leq \mu \left(\bigcup _{j=1}^{\infty }B_{j}\right)\leq \sum _{j=1}^{\infty }\mu (B_{j}),$$

with the first inequality following from the second condition in the alternative definition, and the second inequality following from the third condition in the alternative definition. So $\mu$ is an outer measure in the sense of the original definition.

Измеримость множеств относительно внешней меры

Позволять $X$ быть множеством с внешней мерой $\mu .$ Говорят, что подмножество $E$ из $X$ является $\mu$-измеримый (иногда его называют измеримым по Каратеодори относительно $\mu$, по имени математика Каратеодори ) тогда и только тогда, когда

$$\mu (A)=\mu (A\cap E)+\mu (A\setminus E)$$

для каждого подмножества $A$ из $X.$

Неофициально это говорит о том, что $\mu$-измеримое подмножество — это такое подмножество, которое можно использовать в качестве строительного блока, разбивая любое другое подмножество на части (а именно, часть, находящаяся внутри измеримого множества, вместе с частью, находящейся за пределами измеримого множества). С точки зрения мотивации теории меры можно было бы ожидать, что площадь , например, должна быть внешней мерой на плоскости. Тогда можно было бы ожидать, что каждое подмножество плоскости будет считаться «измеримым», следуя ожидаемому принципу, согласно которому

$$\operatorname {area} (A\cup B)=\operatorname {area} (A)+\operatorname {area} (B)$$

в любое время $A$ и $B$ являются непересекающимися подмножествами плоскости. Однако формально-логическое развитие теории показывает, что ситуация сложнее. Формальным следствием выбранной аксиомы является то, что для любого определения площади как внешней меры, которое включает в себя в качестве частного случая стандартную формулу площади прямоугольника, должны существовать подмножества плоскости, которые не поддаются измерению. В частности, приведенный выше «принцип ожидаемого» является ложным при условии принятия аксиомы выбора.

Пространство меры, связанное с внешней мерой

Легко использовать приведенное выше определение понятия $\mu$-измеримость, чтобы увидеть это

• если $A\subseteq X$ является $\mu$-измерима, то ее дополнение $X\setminus A\subseteq X$ также $\mu$-измеримый.

Следующее условие известно как « аддитивность счетная $\mu$ на измеримых подмножествах».

• если $A_{1},A_{2},\ldots$ являются $\mu$-измеримый попарно-непересекающийся ( $A_{i}\cap A_{j}=\emptyset$ для $i\neq j$) подмножества $X$, то есть
  $$\mu {\Big (}\bigcup _{j=1}^{\infty }A_{j}{\Big )}=\sum _{j=1}^{\infty }\mu (A_{j}).$$

showДоказательство счетной аддитивности. One automatically has the conclusion in the form "$\,\leq \,$" from the definition of outer measure. So it is only necessary to prove the "$\,\geq \,$" inequality. One has

$$\mu {\Big (}\bigcup _{j=1}^{\infty }A_{j}{\Big )}\geq \mu {\Big (}\bigcup _{j=1}^{N}A_{j}{\Big )}$$

for any positive number $N,$ due to the second condition in the "alternative definition" of outer measure given above. Suppose (inductively) that

$$\mu {\Big (}\bigcup _{j=1}^{N-1}A_{j}{\Big )}=\sum _{j=1}^{N-1}\mu (A_{j})$$

Applying the above definition of $\mu$-measurability with $A=A_{1}\cup \cdots \cup A_{N}$ and with $E=A_{N},$ one has

$${\begin{aligned}\mu {\Big (}\bigcup _{j=1}^{N}A_{j}{\Big )}&=\mu \left({\Big (}\bigcup _{j=1}^{N}A_{j}{\Big )}\cap A_{N}\right)+\mu \left({\Big (}\bigcup _{j=1}^{N}A_{j}{\Big )}\smallsetminus A_{N}\right)\\&=\mu (A_{N})+\mu {\Big (}\bigcup _{j=1}^{N-1}A_{j}{\Big )}\end{aligned}}$$

which closes the induction. Going back to the first line of the proof, one then has

$$\mu {\Big (}\bigcup _{j=1}^{\infty }A_{j}{\Big )}\geq \sum _{j=1}^{N}\mu (A_{j})$$

for any positive integer $N.$ One can then send $N$ to infinity to get the required "$\,\geq \,$" inequality.

Аналогичное доказательство показывает, что:

• если $A_{1},A_{2},\ldots$ являются $\mu$-измеримые подмножества $X,$ тогда союз $\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}$ и пересечение $\bigcap _{i=1}^{\infty }A_{i}$ также $\mu$-измеримый.

Приведенные здесь свойства можно обобщить с помощью следующей терминологии:

Учитывая любую внешнюю меру $\mu$ на съемочной площадке $X,$ коллекция всех $\mu$-измеримые подмножества $X$ является σ-алгеброй . Ограничение $\mu$ к этому $\sigma$-алгебра – это мера.

Таким образом, мы имеем структуру пространства меры на $X,$ естественным образом возникает из указания внешней меры на $X.$ Это пространство с мерой обладает дополнительным свойством полноты , которое содержится в следующем утверждении:

• Каждое подмножество $A\subseteq X$ такой, что $\mu (A)=0$ является $\mu$-измеримый.

Это легко доказать, используя второе свойство «альтернативного определения» внешней меры.

Ограничение и продвижение внешней меры

Позволять $\mu$ быть внешней мерой на множестве $X$.

Продвижение вперед

Учитывая еще один набор $Y$ и карта $f:X\to Y$ определять $f_{\sharp }\mu :2^{Y}\to [0,\infty ]$ к

${\big (}f_{\sharp }\mu {\big )}(A)=\mu {\big (}f^{-1}(A){\big )}.$

Непосредственно из определений можно убедиться в том, что $f_{\sharp }\mu$ является внешней мерой $Y$.

Ограничение

Пусть B подмножество X. — Определим μ _B : 2 ^Х →[0,∞] на

$\mu _{B}(A)=\mu (A\cap B).$

Непосредственно из определений можно проверить, что B _— еще одна внешняя мера на X. µ

Измеримость множеств относительно продвижения вперед или ограничения

Если подмножество A из X является µ -измеримым, то оно также µ _B -измеримо для любого подмножества B из X .

Учитывая карту f : X → Y и подмножество A из Y , если f ⁻¹ ( A ) -измеримо µ то A , f _# µ -измеримо. В более общем смысле, f ⁻¹ ( A ) является µ -измеримым тогда и только тогда, когда A является f _# ( µ _B ) -измеримым для каждого подмножества B из X .

внешние

регулярной

Для данного множества X внешняя мера µ на ​​X называется регулярной, если любое подмножество $A\subseteq X$ может быть аппроксимирована «извне» ц -измеримыми множествами. Формально для этого требуется одно из следующих эквивалентных условий:

• $\mu (A)=\inf\{\mu (B)\mid A\subseteq B,B{\text{ is μ-measurable}}\}$
• Существует µ -измеримое подмножество B в X , содержащее A и такое, что $\mu (B)=\mu (A)$.

Автоматически второе условие влечет за собой первое; из первого следует второе, взяв счетное пересечение $B_{i}$ с $\mu (B_{i})\to \mu (A)$

Обычная внешняя мера, связанная с внешней мерой

Учитывая внешнюю меру µ на ​​множестве X , определим ν : ​​2 ^Х →[0,∞] на

$\nu (A)=\inf {\Big \{}\mu (B):\mu {\text{-measurable subsets }}B\subset X{\text{ with }}B\supset A{\Big \}}.$

Тогда ν — регулярная внешняя мера на X , которая ставит в соответствие ту же меру, что и µ, всем µ -измеримым подмножествам X . Каждое µ -измеримое подмножество также является ν -измеримым, и каждое ν -измеримое подмножество конечной ν -меры также µ -измеримо.

Таким образом, пространство меры, связанное с ν, может иметь большую σ-алгебру, чем пространство меры, связанное с µ . Ограничения ν и µ на ​​меньшую σ-алгебру идентичны. Элементы большей σ-алгебры, не входящие в меньшую σ-алгебру, имеют бесконечную ν -меру и конечную µ -меру.

С этой точки зрения ν можно рассматривать как расширение µ .

и

Предположим, (X, d) — метрическое пространство , а φ — внешняя мера на X. что Если φ обладает свойством, что

$\varphi (E\cup F)=\varphi (E)+\varphi (F)$

в любое время

$d(E,F)=\inf\{d(x,y):x\in E,y\in F\}>0,$

тогда ф называется метрической внешней мерой .

Теорема . Если φ — метрическая внешняя мера на X , то каждое борелевское подмножество X является φ -измеримым. ( Борелевские множества X — это элементы наименьшей σ -алгебры, порожденной открытыми множествами.)

Строительство внешних мер

См. Также: Оценка (теория меры)

Существует несколько процедур построения внешних мер на множестве. В классической ссылке Манро ниже описаны два особенно полезных метода, которые называются «Метод I» и «Метод II» .

Метод I

Пусть X — множество, C — семейство подмножеств X , содержащее пустое множество, а p — неотрицательная расширенная вещественная функция на C , равная нулю на пустом множестве.

Теорема . Предположим, что семейство C и функция p такие же, как указано выше, и определим

$\varphi (E)=\inf {\biggl \{}\sum _{i=0}^{\infty }p(A_{i})\,{\bigg |}\,E\subseteq \bigcup _{i=0}^{\infty }A_{i},\forall i\in \mathbb {N} ,A_{i}\in C{\biggr \}}.$

То есть нижняя грань распространяется на все последовательности {A _i } элементов C , которые покрывают E , с соглашением, что нижняя грань бесконечна, если такой последовательности не существует. Тогда φ внешняя мера на X. —

Метод II

Второй метод более пригоден для построения внешних мер в метрических пространствах, поскольку он дает метрические внешние меры. Предположим, (X, d) — метрическое пространство. Как указано выше, C — это семейство подмножеств X , содержащее пустое множество, а p — неотрицательная расширенная вещественная функция на C , которая обращается в нуль на пустом множестве. Для каждого δ > 0 пусть

$C_{\delta }=\{A\in C:\operatorname {diam} (A)\leq \delta \}$

и

$\varphi _{\delta }(E)=\inf {\biggl \{}\sum _{i=0}^{\infty }p(A_{i})\,{\bigg |}\,E\subseteq \bigcup _{i=0}^{\infty }A_{i},\forall i\in \mathbb {N} ,A_{i}\in C_{\delta }{\biggr \}}.$

Очевидно, φ _δ ≥ φ _δ' , когда δ ≤ δ', поскольку нижняя грань берется по меньшему классу при уменьшении δ . Таким образом

$\lim _{\delta \rightarrow 0}\varphi _{\delta }(E)=\varphi _{0}(E)\in [0,\infty ]$

существует (возможно, бесконечно).

Теорема . φ ₀ — метрическая внешняя мера на X .

Это конструкция, используемая при определении мер Хаусдорфа для метрического пространства.

См. также

• Внутренняя мера

Ссылки

• Алипрантис, CD; Граница, КЦ (2006). Бесконечномерный анализ (3-е изд.). Берлин, Гейдельберг, Нью-Йорк: Springer Verlag . ISBN  3-540-29586-0 .
• Каратеодори, К. (1968) [1918]. Лекции по действительным функциям (на немецком языке) (3-е изд.). Издательство Челси . ISBN  978-0828400381 .
• Эванс, Лоуренс К.; Гариепи, Рональд Ф. (2015). Теория меры и тонкие свойства функций. Переработанное издание . CRC Press, Бока-Ратон, Флорида. стр. xiv+299. ISBN  978-1-4822-4238-6 . {{cite book}}: |work= игнорируется ( помогите )
• Федерер, Х. (1996) [1969]. Геометрическая теория меры . Классика по математике (переиздание 1-го изд.). Берлин, Гейдельберг, Нью-Йорк: Springer Verlag . ISBN  978-3540606567 .
• Халмос, П. (1978) [1950]. Теория меры . Тексты для аспирантов по математике (2-е изд.). Берлин, Гейдельберг, Нью-Йорк: Springer Verlag. ISBN  978-0387900889 .
• Манро, Мэн (1953). Введение в измерение и интегрирование (1-е изд.). Эддисон Уэсли . ISBN  978-1124042978 .
• Колмогоров А.Н. ; Фомин, С.В. (1970). Вводный реальный анализ . Ричард А. Сильверман перевод. Нью-Йорк: Dover Publications . ISBN  0-486-61226-0 .

Внешние ссылки

• Внешняя мера в Математической энциклопедии
• Мера Каратеодори в Математической энциклопедии