Измерьте пространство

Пространство меры является основным объектом теории меры , раздела математики , изучающего обобщенные понятия объёмов . Он содержит базовый набор, подмножества этого набора, которые можно измерить ( $σ$ -алгебра ), и метод, который используется для измерения ( мера ). Одним из важных примеров пространства меры является вероятностное пространство .

Измеримое пространство состоит из первых двух компонентов без конкретной меры.

Определение [ править ]

Пространство меры – это тройка $(X,{\mathcal {A}},\mu ),$ где ^[1]^[2]

$X$ это набор
${\mathcal {A}}$ является $σ$ -алгеброй на множестве $X$
$\mu$ это мера по $(X,{\mathcal {A}})$

Другими словами, пространство меры состоит из измеримого пространства $(X,{\mathcal {A}})$ вместе с мерой по нему.

Пример [ править ]

Набор $X=\{0,1\}$ . ${\textstyle \sigma }$ -алгебра на конечных множествах, таких как приведенное выше, обычно представляет собой набор степеней , который представляет собой набор всех подмножеств (данного набора) и обозначается ${\textstyle \wp (\cdot ).}$ Придерживаясь этого соглашения, мы устанавливаем

{\mathcal {A}}=\wp (X)

В этом простом случае набор мощности можно записать явно:

\wp (X)=\{\varnothing ,\{0\},\{1\},\{0,1\}\}.

В качестве меры определим ${\textstyle \mu }$ к

\mu (\{0\})=\mu (\{1\})={\frac {1}{2}},

так

{\textstyle \mu (X)=1}

(по аддитивности мер) и

{\textstyle \mu (\varnothing )=0}

(по определению меры).

Это приводит к пространству меры ${\textstyle (X,\wp (X),\mu ).}$ Это вероятностное пространство , поскольку ${\textstyle \mu (X)=1.}$ Мера ${\textstyle \mu }$ соответствует распределению Бернулли с ${\textstyle p={\frac {1}{2}},}$ который, например, используется для моделирования честного подбрасывания монеты.

пространств меры классы Важные

Наиболее важные классы пространств меры определяются свойствами связанных с ними мер. Сюда входят в порядке возрастания общности:

Вероятностные пространства , пространство меры, в котором мера является вероятностной мерой. ^[1]
Пространства с конечной мерой, где мера является конечной мерой. ^[3]
$\sigma$ -пространства с конечной мерой, где мерой является $\sigma$ -конечная мера ^[3]

Другой класс пространств с мерой — полные пространства с мерой . ^[4]

Ссылки [ править ]

^ Jump up to: ^а ^б Косорок, Майкл Р. (2008). Введение в эмпирические процессы и полупараметрический вывод . Нью-Йорк: Спрингер. п. 83. ИСБН 978-0-387-74977-8 .
^ Кленке, Ахим (2008). Теория вероятностей . Берлин: Шпрингер. п. 18. дои : 10.1007/978-1-84800-048-3 . ISBN 978-1-84800-047-6 .
^ Jump up to: ^а ^б Аносов, Д.В. (2001) [1994], «Мера пространства» , Энциклопедия Математики , EMS Press
^ Кленке, Ахим (2008). Теория вероятностей . Берлин: Шпрингер. п. 33. дои : 10.1007/978-1-84800-048-3 . ISBN 978-1-84800-047-6 .

[Kosorok83-1] Jump up to: ^а ^б Косорок, Майкл Р. (2008). Введение в эмпирические процессы и полупараметрический вывод . Нью-Йорк: Спрингер. п. 83. ИСБН 978-0-387-74977-8 .

[Klenke18-2] Кленке, Ахим (2008). Теория вероятностей . Берлин: Шпрингер. п. 18. дои : 10.1007/978-1-84800-048-3 . ISBN 978-1-84800-047-6 .

[eommeasurespace-3] Jump up to: ^а ^б Аносов, Д.В. (2001) [1994], «Мера пространства» , Энциклопедия Математики , EMS Press

[Klenke33-4] Кленке, Ахим (2008). Теория вероятностей . Берлин: Шпрингер. п. 33. дои : 10.1007/978-1-84800-048-3 . ISBN 978-1-84800-047-6 .

[1]

[2]

[3]

[4]