Атом (теория меры)

В математике , точнее в теории меры , атом — это измеримое множество, которое имеет положительную меру и не содержит множества меньших положительных мер. Мера, не имеющая атомов, называется безатомной или безатомной .

Определение

Учитывая измеримое пространство $(X,\Sigma )$ и мера $\mu$ на этом пространстве набор $A\subset X$ в $\Sigma$ называется атомом, если

$$\mu (A)>0$$

и для любого измеримого подмножества $B\subset A$ с

$$\mu (B)<\mu (A)$$

набор $B$ имеет нулевую меру, т.е. $\mu (B)=0$.

Если $A$ является атомом, все подмножества в $\mu$-класс эквивалентности $[A]$ из $A$ являются атомами и $[A]$ называется атомарным классом. Если $\mu$ это $\sigma$-конечная мера, атомных классов счетно много.

Примеры

• Рассмотрим множество X = {1, 2, ..., 9, 10} и пусть сигма-алгебра $\Sigma$ быть мощности X . набором Определите меру $\mu$ множества — это его мощность , то есть количество элементов в наборе. Тогда каждый из одиночных элементов { i } для i = 1, 2, ..., 9, 10 является атомом.
• Рассмотрим меру Лебега на действительной прямой . Эта мера не имеет атомов.

Атомарные меры

А $\sigma$-конечная мера $\mu$ на измеримом пространстве $(X,\Sigma )$ называется атомным или чисто атомным , если каждое измеримое множество положительной меры содержит атом. Это эквивалентно тому, что существует счетное разбиение $X$ образованы атомами вплоть до нулевого множества. Предположение о $\sigma$-конечность необходима. Рассмотрим иначе пространство $(\mathbb {R} ,{\mathcal {P}}(\mathbb {R} ),\nu )$ где $\nu$ обозначает счетную меру . Это пространство атомарно, и все атомы являются отдельными элементами , однако пространство не может быть разделено на несвязное объединение счетного числа непересекающихся атомов. ${\textstyle \bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}}$ и нулевой набор $N$ поскольку счетное объединение одиночных элементов представляет собой счетное множество, а несчетность действительных чисел показывает, что дополнение ${\textstyle N=\mathbb {R} \setminus \bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}}$ должно было бы быть несчетным, следовательно, его $\nu$-мера была бы бесконечной, что противоречило бы тому, что она была бы нулевым множеством. Достоверность результата для $\sigma$-конечные пространства следуют из доказательства для пространств с конечной мерой путем наблюдения того, что счетное объединение счетных объединений снова является счетным объединением и что счетные объединения нулевых множеств равны нулю.

Дискретные меры

См. Также: Дискретная мера

А $\sigma$-конечная атомная мера $\mu$ называется дискретным , если пересечение атомов любого атомного класса не пусто. Это эквивалентно сказать это $\mu$ есть взвешенная сумма счетного числа мер Дирака, т. е. существует последовательность $x_{1},x_{2},...$ очков в $X$и последовательность $c_{1},c_{2},...$ положительных действительных чисел (весов) таких, что ${\textstyle \mu =\sum _{k=1}^{\infty }c_{k}\delta _{x_{k}}}$, а это значит, что ${\textstyle \mu (A)=\sum _{k=1}^{\infty }c_{k}\delta _{x_{k}}(A)}$ для каждого $A\in \Sigma$. Мы можем выбрать каждую точку $x_{k}$ быть общей точкой атомовв $k$-й атомный класс.

Дискретная мера является атомарной, но обратное импликация не работает: возьмем $X=[0,1]$, $\Sigma$ тот $\sigma$-алгебра счетных и сосчетных подмножеств, $\mu =0$ в счетных подмножествах и $\mu =1$ в сосчетных подмножествах. Тогда существует единственный атомарный класс, образованный сосчетными подмножествами. Мера $\mu$ является атомарным, но пересечение атомов в уникальном атомном классе пусто и $\mu$ не может быть представлена ​​как сумма мер Дирака.

Если каждый атом эквивалентен одноэлементному элементу, то $\mu$ дискретна тогда и только тогда, когда она атомарна. В этом случае $x_{k}$ выше приведены атомные синглтоны, поэтому они уникальны. Этому условию удовлетворяет любая конечная мера в сепарабельном метрическом пространстве, снабженном борелевскими множествами.

Неатомарные меры

Мера, не имеющая атомов, называется неатомарная мера или диффузная мера . Другими словами, мера $\mu$ неатомарна, если для любого измеримого множества $A$ с $\mu (A)>0$ существует измеримое подмножество $B$ из $A$ такой, что

$$\mu (A)>\mu (B)>0.$$

Неатомарная мера хотя бы с одним положительным значением имеет бесконечное количество различных значений, начиная с набора $A$ с $\mu (A)>0$ можно построить убывающую последовательность измеримых множеств

$$A=A_{1}\supset A_{2}\supset A_{3}\supset \cdots$$

такой, что

$$\mu (A)=\mu (A_{1})>\mu (A_{2})>\mu (A_{3})>\cdots >0.$$

Это может быть неверно для мер, имеющих атомы; см. первый пример выше.

Оказывается, что неатомарные меры на самом деле имеют континуум значений. Можно доказать, что если $\mu$ является неатомарной мерой и $A$ представляет собой измеримое множество, в котором $\mu (A)>0,$ тогда для любого действительного числа $b$ удовлетворяющий

$$\mu (A)\geq b\geq 0$$

существует измеримое подмножество $B$ из $A$ такой, что

$$\mu (B)=b.$$

Эта теорема принадлежит Вацлаву Серпинскому . Это напоминает теорему о промежуточном значении для непрерывных функций.

Эскиз доказательства теоремы Серпинского о неатомарных мерах. Несколько более сильное утверждение, которое, однако, облегчает доказательство, состоит в том, что если $(X,\Sigma ,\mu )$ является неатомным пространством с мерой и $\mu (X)=c,$ существует функция $S:[0,c]\to \Sigma$ монотонный по включению и правый обратный к $\mu :\Sigma \to [0,c].$ То есть существует однопараметрическое семейство измеримых множеств. $S(t)$ такой, что для всех $0\leq t\leq t'\leq c$

$$S(t)\subseteq S(t'),$$

$$\mu \left(S(t)\right)=t.$$

Доказательство легко следует из леммы Цорна , примененной к множеству всех монотонных частичных сечений к $\mu$ :

$$\Gamma :=\{S:D\to \Sigma \;:\;D\subseteq [0,c],\,S\;\mathrm {monotone} ,{\text{ for all }}t\in D\;(\mu (S(t))=t)\},$$

упорядочены по включению графиков, $\mathrm {graph} (S)\subseteq \mathrm {graph} (S').$ Тогда стандартно показать, что каждая цепочка в $\Gamma$ имеет верхнюю границу в $\Gamma ,$ и что любой максимальный элемент $\Gamma$ есть домен $[0,c],$ доказывая иск.

См. также

• Атом (теория порядка) — аналогичное понятие в теории порядка.
• Дельта-функция Дирака
• Элементарное событие , также известное как атомное событие.

Ссылки

• Брукнер, Эндрю М.; Брукнер, Джудит Б.; Томсон, Брайан С. (1997). Реальный анализ . Река Аппер-Сэддл, Нью-Джерси: Прентис-Холл. п. 108 . ISBN  0-13-458886-Х .
• Бутнариу, Дэн; Клемент, Е.П. (1993). Треугольные меры, основанные на нормах, и игры с нечеткими коалициями . Дордрехт: Клювер Академик. п. 87. ИСБН  0-7923-2369-6 .

Внешние ссылки

• Атом в Энциклопедии математики