Атом (теория порядка)

В математической области теории порядка элемент a частично упорядоченного множества с наименьшим элементом 0 является атомом , если 0 < a и не существует x такого, что 0 < x < a .

Эквивалентно, можно определить атом как элемент, который является минимальным среди ненулевых элементов, или, альтернативно, элемент, который покрывает наименьший элемент 0 .

Атомарные порядки

Рис. 2 : Решетка делителей числа 4 с порядком « является делителем числа » является атомной, причем 2 является единственным атомом и коатомом. Он не является атомистическим, поскольку число 4 нельзя получить как наименьшее общее кратное атомов.

Рис. 1 : Набор степеней набора { x , y , z } с порядком « является подмножеством » представляет собой атомистический частично упорядоченный набор: каждый набор элементов может быть получен как объединение всех одноэлементных наборов ниже него.

Обозначим через <: отношение накрытия в частично упорядоченном множестве.

Частично упорядоченное множество с наименьшим элементом 0 является атомарным , если под каждым элементом b > 0 находится атом a , то есть существует такой a , что b ≥ a :> 0 . Каждое конечное частично упорядоченное множество с 0 атомарно, но множество неотрицательных действительных чисел (упорядоченных обычным способом) не атомарно (и фактически не имеет атомов).

Частично упорядоченное множество является относительно атомарным (или сильно атомарным ), если для всех a < b существует элемент c такой, что a <: c ≤ b , или, что то же самое, если каждый интервал [ a , b ] атомарен. Каждое относительно атомное частично упорядоченное множество с наименьшим элементом является атомарным. Каждое конечное ЧУМ относительно атомарно.

Частично упорядоченный набор с наименьшим элементом 0 называется атомистическим (не путать с атомарным ), если каждый элемент является наименьшей верхней границей набора атомов. Линейный порядок с тремя элементами не является атомистическим (см. рис. 2).

Атомы в частично упорядоченных множествах являются абстрактными обобщениями одиночек в теории множеств (см. рис. 1). Атомность (свойство атомарности) обеспечивает абстрактное обобщение в контексте теории порядка возможности выбора элемента из непустого множества.

Коатомы

Термины «коатом» , «коатомный» и «коатомистический» имеют двойное определение. Таким образом, в частично упорядоченном множестве с наибольшим элементом 1 говорят, что

• коатом цифрой — это элемент, покрытый 1 ,
• множество является коатомным, каждым b < 1 имеется коатом c , и если над
• множество является коатомистическим , если каждый элемент является максимальной нижней границей множества коатомов.

Ссылки

• Дэйви, бакалавр; Пристли, HA (2002), Введение в решетки и порядок , Cambridge University Press , ISBN  978-0-521-78451-1

Внешние ссылки

• «Атом» . ПланетаМатематика .
• «Посет» . ПланетаМатематика .