Введение в решетки и порядок
«Введение в решетки и порядок» — математический учебник по теории порядка, написанный Брайаном А. Дэйви и Хилари Пристли . Он был опубликован издательством Кембриджского университета в серии «Кембриджские математические учебники» в 1990 году. [1] [2] [3] со вторым изданием в 2002 году. [4] [5] [6] Второе издание значительно отличается по своей тематике и организации и было переработано с учетом последних событий в этой области, особенно в приложениях к информатике . [4] [6] Комитет по основным спискам библиотек Американской математической ассоциации предложил включить ее в библиотеки по математике для студентов. [7]
Темы [ править ]
Оба издания книги состоят из 11 глав; во второй книге они организованы так, что первые четыре представляют собой общий справочник для математиков и компьютерщиков, а остальные семь посвящены более специализированному материалу для логиков , топологов и теоретиков решеток . [4]
Первая глава посвящена частично упорядоченным наборам , с фундаментальным примером, представленным частичными функциями, упорядоченными по отношению подмножества на их графиках , и охватывает фундаментальные концепции, включая верхние и нижние элементы , а также верхние и нижние множества . Эти идеи ведут ко второй главе, посвященной решеткам , в которой каждые два элемента (или в полных решетках каждый набор) имеют максимальную нижнюю границу и наименьшую верхнюю границу . В эту главу входит построение решетки из нижних множеств любого частичного порядка, а также теорема Кнастера – Тарского о построении решетки из неподвижных точек сохраняющих порядок функций на полной решетке. Глава третья посвящена формальному анализу понятий , построению «решеток понятий» из коллекций объектов и их свойств, где каждый элемент решетки представляет как набор объектов, так и набор свойств, которыми обладают эти объекты, а также универсальности этой конструкции при формировании. цельные решетки. Четвертая из вводных глав посвящена специальным классам решеток, в том числе модульные решетки , дистрибутивные решетки и булевы решетки . [5]
Во второй части книги глава 5 посвящена теореме о том, что каждая конечная булева решетка изоморфна решетке подмножеств конечного множества, и (менее тривиально) теореме Биркгофа о представлении , согласно которой каждая конечная дистрибутивная решетка изоморфна решетке нижних множеств конечного частичного порядка. В главе 6 рассматриваются отношения конгруэнтности на решетках. Темы главы 7 включают операции замыкания и связности Галуа на частичных порядках, а также Дедекинда – МакНила завершение частичного порядка до наименьшей полной решетки, содержащей его. Следующие две главы посвящены полным частичным порядкам , их теоремам о неподвижной точке, информационным системам и их приложениям к денотационной семантике . В главе 10 обсуждаются теоретико-порядковые эквиваленты выбранной аксиомы , включая распространение теорем о представлении из главы 5 на бесконечные решетки, а в последней главе обсуждаются представления решеток с топологическими пространствами , включая теорему Стоуна о представлении для булевых алгебр. и теория двойственности дистрибутивных решеток . [5]
Два приложения содержат базовую информацию по топологии, необходимую для последней главы, а также аннотированную библиографию. [6]
и Аудитория прием
Книга адресована начинающим аспирантам, [2] хотя его также могут использовать студенты продвинутого уровня. [6] Множество упражнений делают его пригодным в качестве учебного пособия. [2] [3] и служат как для заполнения деталей изложения в книге, так и для указания дополнительных тем. [5] Хотя от читателей требуется некоторая математическая искушенность, основными предпосылками являются дискретная математика , абстрактная алгебра и теория групп . [2] [5]
Рецензент Йозеф Нидерле, написав первое издание, назвал его «отличным учебником», «современным и понятным». [3] Точно так же Томас С. Блит хвалит первое издание как «хорошо написанное, удовлетворительное, информативное и стимулирующее описание приложений, представляющих большой интерес». [1] и в обновленном обзоре пишет, что второе издание не хуже первого. [4] Точно так же, хотя у Джона Коэна есть некоторые придирки к упорядочению и выбору тем (особенно к включению сравнений в ущерб теоретико -категориальному взгляду на предмет), он заключает, что книга представляет собой «замечательное и доступное введение в теорию решеток». , представляющий равный интерес как для ученых-компьютерщиков, так и для математиков». [5]
И Блит, и Коэн отмечают умелое использование в книге LaTeX для создания диаграмм и полезные описания того, как были созданы диаграммы. [1] [5]
Ссылки [ править ]
- ^ Jump up to: Перейти обратно: а б с Блит, Т.С. (1991), «Обзор введения в решетки и порядок (1-е изд.)», Mathematical Reviews , MR 1058437
- ^ Jump up to: Перейти обратно: а б с д Давидоу, Эми (февраль 1991 г.), «Обзор введения в решетки и порядок (1-е изд.)», Telegraphic Reviews, The American Mathematical Monthly , 98 (2): 184, JSTOR 2323967
- ^ Jump up to: Перейти обратно: а б с Нидерле, Йозеф, «Обзор введения в решетки и порядок (1-е изд.)», zbMATH , Zbl 0701.06001
- ^ Jump up to: Перейти обратно: а б с д Блит, Т.С. (2003), «Обзор введения в решетки и порядок (2-е изд.)», Mathematical Reviews , MR 1902334
- ^ Jump up to: Перейти обратно: а б с д и ж г Коэн, Джонатан (март 2007 г.), «Обзор введения в решетки и порядок (2-е изд.)» (PDF) , ACM SIGACT News , 38 (1): 17–23, doi : 10.1145/1233481.1233488 , S2CID 15496160
- ^ Jump up to: Перейти обратно: а б с д Славик, Вацлав, «Обзор введения в решетки и порядок (2-е изд.)», zbMATH , Zbl 1002.06001
- ^ «Введение в решетки и порядок» , MAA Reviews (только индексная страница, без обзора), Математическая ассоциация Америки , получено 28 июля 2021 г.