Теорема о представлении
В математике теорема о представлении — это теорема , которая утверждает, что каждая абстрактная структура с определенными свойствами изоморфна другой (абстрактной или конкретной) структуре.
Примеры [ править ]
Алгебра [ править ]
- Теорема Кэли что каждая группа изоморфна утверждает , группе перестановок . [1]
- Теория представлений изучает свойства абстрактных групп через их представления как линейные преобразования векторных пространств .
- Теорема Стоуна о представлении булевых алгебр утверждает, что каждая булева алгебра изоморфна полю множеств . [2]
- Вариант, теорема Стоуна о представлении дистрибутивных решеток , утверждает, что каждая дистрибутивная решетка изоморфна подрешетке решетки степенного множества некоторого множества.
- Другой вариант, двойственность Стоуна , утверждает, что существует двойственность (в смысле эквивалентности, обращающей стрелку) между категориями булевых алгебр и категориями пространств Стоуна .
- Теорема Пуанкаре -Биркгофа-Витта утверждает, что каждая алгебра Ли вкладывается в коммутатор Ли своей универсальной обертывающей алгебры .
- Теорема Адо утверждает, что каждая конечномерная алгебра Ли над полем вкладывается нулевой характеристики в алгебру Ли эндоморфизмов некоторого конечномерного векторного пространства.
- Теорема Биркгофа HSP утверждает, что каждая модель алгебры A является гомоморфным образом подалгебры прямого произведения копий A . [3]
- При изучении полугрупп теорема Вагнера -Престона обеспечивает представление обратной полугруппы S как гомоморфный образ множества частичных биекций на S и полугрупповую операцию, заданную композицией .
Теория категорий [ править ]
- Лемма Йонеды обеспечивает полное и точное сохраняющее предел вложение любой категории в категорию предпучков, .
- Теорема вложения Митчелла для абелевых категорий реализует каждую малую абелеву категорию как полную (и точно вложенную) подкатегорию категории модулей над некоторым кольцом . [4]
- Теорема о коллапсе Мостовского утверждает, что каждая обоснованная экстенсиональная структура изоморфна транзитивному множеству с отношением ∈.
- Одна из фундаментальных теорем теории пучков утверждает, что каждый пучок над топологическим пространством можно рассматривать как пучок сечений некоторого (этального) расслоения над этим пространством: категории пучков в топологическом пространстве и категории этальных пространств над ним. эквивалентны, где эквивалентность задается функтором , который отправляет расслоение в его пучок (локальных) сечений.
Функциональный анализ [ править ]
- Конструкция Гельфанда –Наймарка–Сигала вкладывает любую С*-алгебру в алгебру ограниченных операторов в некотором гильбертовом пространстве .
- Представление Гельфанда (также известное как коммутативная теорема Гельфанда–Наймарка) утверждает, что любая коммутативная C*-алгебра изоморфна алгебре непрерывных функций на ее спектре Гельфанда . Ее также можно рассматривать как конструкцию двойственности между категорией коммутативных С*-алгебр и категорией компактных хаусдорфовых пространств .
- Теорема о представлении Рисса -Маркова-Какутани на самом деле представляет собой список из нескольких теорем; отождествляет двойственное пространство к ( C0 X ) с множеством регулярных мер на X. один из них
Геометрия [ править ]
- встраивают Теоремы вложения Уитни любое абстрактное многообразие в некоторое евклидово пространство .
- вкладывает Теорема вложения Нэша абстрактное риманово многообразие изометрически в евклидово пространство . [5]
Экономика [ править ]
- Теорема о представлении предпочтений устанавливает условия существования функции полезности, представляющей отношение предпочтений . Примерами являются теорема фон Неймана-Моргенштерна о полезности и теоремы Дебре о представлении .
См. также [ править ]
Ссылки [ править ]
- ^ «Теорема Кэли и ее доказательство» . www.sjsu.edu . Проверено 8 декабря 2019 г.
- ^ Диркс, Мэтью. «Теорема Стоуна о представлении булевых алгебр» (PDF) . math.uchicago.edu . Проверено 8 декабря 2019 г.
- ^ Шнайдер, Фридрих Мартин (ноябрь 2017 г.). «Единая теорема Биркгофа». Алгебра Универсалис . 78 (3): 337–354. arXiv : 1510.03166 . дои : 10.1007/s00012-017-0460-1 . ISSN 0002-5240 . S2CID 253600065 .
- ^ Теорема вложения Фрейда-Митчелла в n Lab
- ^ «Заметки к теореме вложения Нэша» . Что нового . 11 мая 2016 г. Проверено 8 декабря 2019 г.