Лемма о коллапсе Мостовского
В математической логике лемма о коллапсе Мостовского , также известная как коллапс Шепердсона-Мостовского , представляет собой теорему теории множеств, введенную Анджеем Мостовским ( 1949 , теорема 3) и Джоном Шепердсоном ( 1953 ).
Заявление
[ редактировать ]Предположим, что R — бинарное отношение в классе X такое, что
- R подобен множеству : R −1 [ x ] = { y : y R x } — множество для каждого x ,
- R вполне обоснован : каждое непустое подмножество S в X содержит R -минимальный элемент (т. е. элемент x ∈ S такой, что R −1 [ x ] ∩ S пусто),
- R является экстенсиональным : R −1 [ х ] ≠ р −1 [ y ] для любых различных элементов x и y из X
Лемма о коллапсе Мостовского утверждает, что для каждого такого R существует единственный транзитивный класс (возможно, собственный ), структура которого по отношению принадлежности изоморфна ( X , R ), и изоморфизм уникален. Изоморфизм отображает каждый элемент x из X в набор изображений элементов y из X таких, что y R x (Jech 2003:69).
Обобщения
[ редактировать ]Каждое хорошо обоснованное множественное отношение может быть встроено в хорошо обоснованное множественное экстенсиональное отношение. Отсюда следует следующий вариант леммы о коллапсе Мостовского: каждое обоснованное множественное отношение изоморфно членству во множестве в (неуникальном и не обязательно транзитивном) классе.
Отображение F такое, что F ( x ) = { F ( y ) : y R x } для всех x в X, может быть определено для любого обоснованного множественного отношения R на X с помощью обоснованной рекурсии . обеспечивает гомоморфизм R Он на (вообще говоря, неединственный) транзитивный класс. Гомоморфизм F является изоморфизмом тогда и только тогда, когда R экстенсионален.
Предположение о обоснованности леммы Мостовского может быть смягчено или опущено в необоснованных теориях множеств . В теории множеств Боффы каждое множественное экстенсиональное отношение изоморфно принадлежности множеству к (неединственному) транзитивному классу. В теории множеств с антиосновной аксиомой Акцеля каждое множественное отношение биподобно членству в множестве в уникальном транзитивном классе, следовательно, каждое бисимуляционно-минимальное множественное отношение изоморфно уникальному транзитивному классу.
Приложение
[ редактировать ]Каждая модель является множества ZF множественной и экстенсиональной. Если модель обоснована, то по лемме о коллапсе Мостовского она изоморфна транзитивной модели ZF и такая транзитивная модель единственна.
Сказать, что отношение принадлежности некоторой модели ZF хорошо обосновано, сильнее, чем сказать, что аксиома регулярности в этой модели верна . Существует модель M (при условии непротиворечивости ZF), область определения которой имеет подмножество A без R -минимального элемента, но это множество A не является «множеством в модели» ( A не входит в область определения модели, даже хотя все его члены таковыми являются). Точнее, ни для какого такого множества A не существует x в M такого, что A = R −1 [ х ]. Таким образом, M удовлетворяет аксиоме регулярности (оно «внутренне» обосновано), но не вполне обосновано, и лемма о коллапсе к нему не применима.
Ссылки
[ редактировать ]- Джех, Томас (2003), Теория множеств , Монографии Springer по математике (изд. третьего тысячелетия), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-44085-7
- Мостовский, Анджей (1949), «Неразрешимое арифметическое утверждение» (PDF) , Fundamenta Mathematicae , 36 (1), Институт математики Польской академии наук: 143–164, doi : 10.4064/fm-36-1-143-164
- Шепердсон, Джон (1953), «Внутренние модели теории множеств, Часть III», Журнал символической логики , 18 (2), Ассоциация символической логики: 145–167, doi : 10.2307/2268947 , JSTOR 2268947 , S2CID 35526998
