Необоснованная теория множеств

Необоснованные теории множеств — это варианты аксиоматической теории множеств , которые позволяют множествам быть элементами самих себя и иным образом нарушать правило обоснованности . В необоснованных теориях множеств основная аксиома ZFC . заменяется аксиомами, подразумевающими ее отрицание

Исследование необоснованных множеств было начато Дмитрием Миримановым в серии статей между 1917 и 1920 годами, в которых он сформулировал различие между хорошо обоснованными и необоснованными множествами; он не считал обоснованность аксиомой . Хотя впоследствии был предложен ряд аксиоматических систем необоснованных множеств, они не нашли особого применения до тех пор, пока в 1988 году в книге Питера Азеля «Необоснованные множества» не была представлена ​​теория гипермножеств .

Теория необоснованных множеств применялась при логическом моделировании непрерывных вычислительных процессов в информатике ( алгебра процессов и финальная семантика ), лингвистике и естественного языка семантике ( теория ситуаций ), философии (работа над парадоксом лжеца). ), и в другой обстановке нестандартный анализ .

Подробности

В 1917 году Дмитрий Мириманов представил понятие обоснованности множества:

Набор x ₀ является обоснованным, если он не имеет бесконечной убывающей последовательности членства. $\cdots \in x_{2}\in x_{1}\in x_{0}.$

В ZFC не существует бесконечной нисходящей ∈-последовательности по аксиоме регулярности . Фактически, аксиому регулярности часто называют базовой аксиомой, поскольку ее можно доказать в рамках ZFC. ⁻ (т. е. ZFC без аксиомы регулярности), что обоснованность предполагает регулярность. В вариантах ZFC без аксиомы регулярности возникает возможность необоснованных множеств с множествоподобными е-цепями. Например, множество A такое, что A ∈ A, не является обоснованным.

Хотя Мириманов также ввел понятие изоморфизма между, возможно, необоснованными множествами, он не рассматривал ни аксиому основания, ни аксиому антиоснования. В 1926 году Пол Финслер представил первую аксиому, допускающую существование необоснованных множеств. После того, как Цермело включил Foundation в свою собственную систему в 1930 году (из предыдущей работы фон Неймана 1925–1929), интерес к необоснованным множествам угас на десятилетия. Ранней необоснованной теорией множеств были « Уилларда Ван Ормана Куайна » Новые основания , хотя это не просто ZF с заменой «Основания».

Несколько доказательств независимости Фонда от остальной части ZF были опубликованы в 1950-х годах, в частности, Полом Бернейсом (1954), после объявления результата в его более ранней статье 1941 года, а также Эрнстом Шпекером , который дал другое доказательство в своей книге. Habilitationsschrift 1951 года, доказательство было опубликовано в 1957 году. Затем в 1957 году была опубликована теорема Ригера , которая дала общий метод проведения такого доказательства, что возродило некоторый интерес к недостаточно обоснованным аксиоматическим системам. Следующее предложение аксиомы появилось в докладе Даны Скотт на конгрессе 1960 года (никогда не опубликованном в виде статьи), в котором предлагалась альтернативная аксиома, которая теперь называется SAFA . Другой аксиомой, предложенной в конце 1960-х годов, была Мориса Боффы аксиома сверхуниверсальности , которую Аксель назвал кульминацией исследований своего десятилетия. Идея Боффы заключалась в том, чтобы сделать фундамент несостоятельным настолько сильно, насколько это возможно (или, скорее, насколько позволяет экстенсиональность): аксиома Боффы подразумевает, что каждое экстенсиональное отношение , подобное множеству , изоморфно предикату элементарности в транзитивном классе.

Более поздний подход к необоснованной теории множеств, впервые предложенный М. Форти и Ф. Хонселлом в 1980-х годах, заимствует из информатики концепцию бисимуляции . Бисходные множества считаются неразличимыми и, следовательно, равными, что приводит к усилению аксиомы экстенсиональности . В этом контексте аксиомы, противоречащие аксиоме регулярности, известны как антиосновные аксиомы , а набор, который не обязательно является обоснованным, называется гипермножеством .

Хорошо известны четыре взаимонезависимые антифундаментальные аксиомы, которые иногда сокращаются первой буквой в следующем списке:

1. A FA («Аксиома против фундамента») - принадлежит М. Форти и Ф. Хонселлу (это также известно как аксиома против фундамента Акселя );
2. S AFA («АФА Скотта») — благодаря Дане Скотт ,
3. F AFA («AFA Финслера») - благодаря Полу Финслеру ,
4. B AFA («AFA Боффы») — благодаря Морису Боффе .

По сути, они соответствуют четырем различным понятиям равенства для необоснованных множеств. Первый из них, AFA, основан на доступных точечных графах (apg) и утверждает, что два гипермножества равны тогда и только тогда, когда их можно изобразить с помощью одного и того же apg. В рамках этой структуры можно показать, что так называемый атом Куайна , формально определенный как Q={Q}, существует и уникален.

Каждая из приведенных выше аксиом расширяет вселенную предыдущей, так что: V ⊆ A ⊆ S ⊆ F ⊆ B. Во вселенной Боффа отдельные атомы Куайна образуют собственный класс.

Стоит подчеркнуть, что теория гипермножеств является расширением классической теории множеств, а не заменой: хорошо обоснованные множества в области гипермножеств соответствуют классической теории множеств.

Приложения

В опубликованных исследованиях необоснованные множества также называются гипермножествами, параллельно с гипердействительными числами нестандартного анализа .

Гипермножества широко использовались Джоном Барвайзом и Джоном Этчеменди в их книге 1987 года «Лжец» , посвященной парадоксу лжеца . Предложения книги внесли свой вклад в теорию истины . Книга также является хорошим введением в тему необоснованных множеств.

См. также

• Альтернативная теория множеств
• Универсальный набор
• Черепахи полностью вниз

Ссылки

• Аксель, Питер (1988), Необоснованные множества , Конспект лекций CSLI, том. 14, Стэнфорд, Калифорния: Стэнфордский университет, Центр изучения языка и информации, стр. xx+137 , ISBN.  0-937073-22-9 , МР   0940014 .
• Баллард, Дэвид; Хрбачек, Карел (1992), «Стандартные основы нестандартного анализа», Журнал символической логики , 57 (2): 741–748, doi : 10.2307/2275304 , JSTOR   2275304 , S2CID   39158351 .
• Барвайз, Джон; Этчеменди, Джон (1987), Лжец: эссе об истине и цикличности , Oxford University Press, ISBN  9780195059441
• Барвайз, Джон; Мосс, Лоуренс С. (1996), Порочные круги. О математике необоснованных явлений , CSLI Lecture Notes, vol. 60, Публикации CSLI, ISBN  1-57586-009-0
• Боффа., М. (1968), «Необыкновенные множества», Бюллетень Математического общества Бельгии , 20 : 3–15, Zbl   0179.01602.
• Боффа, М. (1972), «Форсирование и отрицание аксиомы основания», Акад. Рой. Бельгия, Мем. кл. наук, сб. 8∘ , Серия II, 40 (7), Збл   0286.02068
• Девлин, Кейт (1993), «§7. Необоснованная теория множеств», Радость множеств: основы современной теории множеств (2-е изд.), Springer, ISBN  978-0-387-94094-6
• Финслер, П. (1926), «Об основах теории множеств. I: Множества и их аксиомы», Math. , 25 : 683–713, doi : 10.1007/BF01283862 , JFM   52.0192.01 ; перевод на Финслер, Пол; Бут, Дэвид (1996). Теория множеств Финслера: платонизм и цикличность: перевод статей Пола Финслера по теории множеств с вступительными комментариями . Спрингер. ISBN  978-3-7643-5400-8 .
• Халлетт, Майкл (1986), Канторианская теория множеств и ограничение размера , Oxford University Press, ISBN  9780198532835 .
• Кановей, Владимир ; Рикен, Майкл (2004), Нестандартный анализ, аксиоматически , Springer, ISBN  978-3-540-22243-9
• Леви, Азриэль (2012) [2002], Теория базовых множеств , Dover Publications, ISBN  9780486150734 .
• Мириманофф, Д. (1917), «Антиномии Рассела и Бурали-Форти и фундаментальная проблема теории множеств», L'Enseignement Mathématique , 19 : 37–52, JFM   46.0306.01 .
• Нитта, Такаши; Окада, Томоко; Цуварас, Атанассиос (2003), «Классификация необоснованных множеств и приложение» (PDF) , Mathematical Logic Quarterly , 49 (2): 187–200, doi : 10.1002/malq.200310018 , MR   1961461
• Паккан, MJ; Акман, В. (1994), «Проблемы теории множеств здравого смысла» (PDF) , Обзор искусственного интеллекта , 8 (4): 279–308, doi : 10.1007/BF00849061 , hdl : 11693/25955 , S2CID   6323872
• Ратьен, М. (2004), «Предикативность, цикличность и антиосновательность» (PDF) , в ссылке, Годехарда (редактор), «Сто лет парадокса Рассела: математика, логика, философия» , Уолтер де Грюйтер, ISBN  978-3-11-019968-0
• Санджорджи, Давиде (2011), «Истоки бисимуляции и коиндукции», Санджорджи, Давиде; Руттен, Ян (ред.), «Продвинутые темы бисимуляции и коиндукции» , издательство Кембриджского университета, ISBN  978-1-107-00497-9
• Скотт, Дана (1960), «Другой тип модели теории множеств», неопубликованная статья, доклад, сделанный на Стэнфордском конгрессе по логике, методологии и философии науки 1960 года.

Дальнейшее чтение

• Мосс, Лоуренс С. (2018). «Необоснованная теория множеств» . Стэнфордская энциклопедия философии .

Внешние ссылки

• метаматематики Страница , посвященная аксиоме регулярности. Менее 1% теорем этой базы данных в конечном итоге зависят от этой аксиомы, как можно показать с помощью команды («показать использование») в программе Metamath.