Категориальная теория

«Тест Воота» перенаправляется сюда. Не путать с тестом Тарского-Вота .

Не путать с теорией категорий .

В математической логике теория , категорична ( если она имеет ровно одну модель с точностью до изоморфизма ). Такую теорию можно рассматривать как определяющую свою модель, однозначно характеризующую структуру модели.

В логике первого порядка только теории с конечной категоричными могут быть моделью. Логика высшего порядка содержит категоричные теории с бесконечной моделью. Например, аксиомы Пеано второго порядка являются категориальными и имеют уникальную модель, областью применения которой является набор натуральных чисел. $\mathbb {N} .$

В теории моделей понятие категориальной теории уточняется с учетом мощности . Теория называется κ - категоричной (или категоричной в κ ), если она имеет ровно одну модель мощности κ с точностью до изоморфизма. Теорема о категоричности Морли — это теорема Майкла Д. Морли ( 1965 ), утверждающая, что если теория первого порядка в счетном языке категорична в некоторой несчетной мощности , то она категорична во всех несчетных мощностях.

Сахарон Шела ( 1974 ) распространил теорему Морли на несчетные языки: если язык имеет мощность κ и теория категорична по некоторому несчетному кардиналу, большему или равному κ , то она категорична во всех мощностях, больших κ .

и

Освальд Веблен в 1904 году определил теорию как категорическую, если все ее модели изоморфны. Из приведенного выше определения и теоремы Левенхайма–Скулема следует , что любая теория первого порядка с моделью бесконечной мощности не может быть категоричной. Тогда сразу же приходим к более тонкому понятию κ -категоричности, которое спрашивает: для каких кардиналов κ существует ровно одна модель мощности κ данной теории T с точностью до изоморфизма? Это глубокий вопрос, и значительный прогресс был достигнут только в 1954 году, когда Ежи Лось заметил, что, по крайней мере для полных теорий T над счетными языками с хотя бы одной бесконечной моделью, он мог найти только три способа, которыми T может быть κ -категоричным в некоторой точке. κ :

• T , вполне категоричен т.е. T κ категоричен - для всех бесконечных кардиналов   κ .
• T является несчетно категоричен , т. е. T κ κ -категоричным тогда и только тогда, когда — несчетный кардинал .
• T , счетно категоричен т . е. T является κ -категоричным тогда и только тогда, когда κ является счетным кардиналом.

Другими словами, он заметил, что во всех случаях, которые он мог придумать, κ -категоричность по любому неисчисляемому кардиналу подразумевала κ -категоричность по всем остальным несчетным кардиналам. Это наблюдение стимулировало большое количество исследований в 1960-х годах, кульминацией которых в конечном итоге стал знаменитый результат Майкла Морли о том, что на самом деле это единственные возможности. Впоследствии теория была расширена и уточнена Сахароном Шелахом в 1970-х годах и позже, что привело к созданию теории стабильности Шела и более общей программы теории классификации .

Примеры

Естественных примеров теорий, категоричных по какому-то неисчислимому кардиналу, не так много. Известные примеры включают в себя:

• Чистая теория тождества (без функций, констант, предикатов, кроме «=", или аксиом).
• Классический пример — теория алгебраически замкнутых полей заданной характеристики . Категоричность не говорит, что все алгебраически замкнутые поля характеристики 0, большие, чем комплексные числа C , такие же, как C ; он лишь утверждает, что они изоморфны поля как C . Отсюда следует, что хотя все полные p -адические замыкания C _p изоморфны C как поля , они могут (и фактически имеют) иметь совершенно разные топологические и аналитические свойства. Теория алгебраически замкнутых полей заданной характеристики не категорична в ω (счетном бесконечном кардинале); существуют модели степени трансцендентности 0, 1, 2, ..., ω .
• Векторные пространства над заданным счетным полем. Сюда входят абелевы группы заданного простого показателя (по сути то же самое, что векторные пространства над конечным полем) и делимые абелевы группы без кручения (по сути то же самое, что векторные пространства над рациональными числами ).
• Теория множества натуральных чисел с функцией-последователем.

Существуют также примеры теорий, категоричных по ω , но не категоричных по несчетным кардиналам. Простейшим примером является теория отношения эквивалентности ровно с двумя классами эквивалентности , оба из которых бесконечны. Другой пример — теория плотных линейных порядков без концов; Кантор доказал, что любой такой счетный линейный порядок изоморфен рациональным числам: см. теорему Кантора об изоморфизме .

Свойства

Любая категориальная теория полна . Однако обратное не верно.

Любая теория T , категоричная относительно некоторого бесконечного кардинала κ, очень близка к полной. Точнее, тест Лоша – Воота утверждает, что если выполнимая теория не имеет конечных моделей и категорична в некотором бесконечном кардинале κ, по крайней мере равном мощности ее языка, то теория полна. Причина в том, что все бесконечные модели эквивалентны в первом порядке некоторой модели кардинала κ по теореме Левенхайма – Скулема , и поэтому все они эквивалентны, поскольку теория категорична в κ . Следовательно, теория является полной, поскольку все модели эквивалентны. Необходимо предположение, что теория не имеет конечных моделей.

См. также

• Спектр теории

Ссылки

• Чанг, Чен Чунг ; Кейслер, Х. Джером (1990) [1973], Теория моделей , Исследования по логике и основам математики, Elsevier, ISBN  978-0-444-88054-3
• Коркоран, Джон (1980), «Категоричность», История и философия логики , 1 (1–2): 187–207, doi : 10.1080/01445348008837010
• Ходжес, Уилфрид, «Теория моделей первого порядка», Стэнфордская философская энциклопедия (издание лета 2005 г.), Эдвард Н. Залта (ред.).
• Маркер, Дэвид (2002), Теория моделей: Введение , Тексты для выпускников по математике , том. 217, Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN.  0-387-98760-6 , Збл   1003.03034
• Монк, Дж. Дональд (1976), Математическая логика , Springer-Verlag, doi : 10.1007/978-1-4684-9452-5
• Морли, Майкл (1965), «Категоричность власти», Труды Американского математического общества , 114 (2), Американское математическое общество , Vol. 114, № 2: 514–538, номер doi : 10.2307/1994188 , ISSN   0002-9947 , JSTOR   1994188.
• Палютин, Е.А. (2001) [1994], «Категоричность по мощности» , Энциклопедия Математики , EMS Press
• Шела, Сахарон (1974), «Категоричность несчетных теорий», Труды симпозиума Тарского (Proc. Sympos. Pure Math., Vol. XXV, Калифорнийский университет, Беркли, Калифорния, 1971) , Труды симпозиумов по чистой математике. Математика, вып. 25, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, стр. 187–203, doi : 10.1090/pspum/025/0373874 , ISBN.  9780821814253 , МР   0373874
• Шела, Сахарон (1990) [1978], Теория классификации и количество неизоморфных моделей , Исследования по логике и основам математики (2-е изд.), Elsevier, ISBN  978-0-444-70260-9 (IX, 1.19, стр.49)
• Веблен, Освальд (1904), «Система аксиом геометрии», Труды Американского математического общества , 5 (3), Американское математическое общество, Vol. 5, № 3: 343–384, номер домена : 10.2307/1986462 , ISSN   0002-9947 , JSTOR   1986462.