Философия математики

Философия математики — это раздел философии , который занимается природой математики и ее связью с другими видами человеческой деятельности.

Основные темы, которые рассматриваются в философии математики, включают:

• Реальность : Вопрос в том, является ли математика чистым продуктом человеческого разума или она сама по себе обладает некоторой реальностью.
• Логика и строгость
• Связь с физической реальностью
• Отношения с наукой
• Связь с приложениями
• Математическая истина
• Природа как деятельность человека (наука, искусство, игра или все вместе)

Major themes

Reality

The connection between mathematics and material reality has led to philosophical debates since at least the time of Pythagoras. The ancient philosopher Plato argued that abstractions that reflect material reality have themselves a reality that exists outside space and time. As a result, the philosophical view that mathematical objects somehow exist on their own in abstraction is often referred to as Platonism. Independently of their possible philosophical opinions, modern mathematicians may be generally considered as Platonists, since they think of and talk of their objects of study as real objects (see Mathematical object).

Armand Borel summarized this view of mathematics reality as follows, and provided quotations of G. H. Hardy, Charles Hermite, Henri Poincaré and Albert Einstein that support his views.

Something becomes objective (as opposed to "subjective") as soon as we are convinced that it exists in the minds of others in the same form as it does in ours and that we can think about it and discuss it together. Because the language of mathematics is so precise, it is ideally suited to defining concepts for which such a consensus exists. In my opinion, that is sufficient to provide us with a feeling of an objective existence, of a reality of mathematics ...

Logic and rigor

See also: Logic, Mathematics § Rigor, and Mathematics § Mathematical logic and set theory

Mathematical reasoning requires rigor. This means that the definitions must be absolutely unambiguous and the proofs must be reducible to a succession of applications of syllogisms or inference rules, without any use of empirical evidence and intuition.

The rules of rigorous reasoning have been established by the ancient Greek philosophers under the name of logic. Logic is not specific to mathematics, but, in mathematics, the standard of rigor is much higher than elsewhere.

For many centuries, logic, although used for mathematical proofs, belonged to philosophy and was not specifically studied by mathematicians. Circa the end of the 19th, several paradoxes made questionable the logical foundation of mathematics, and consequently the validity of the whole mathematics. This has been called the foundational crisis of mathematics. Some of these paradoxes consist of results that seem to contradict the common intuition, such as the possibility of construct valid non-Euclidean geometries in which the parallel postulate is wrong, the Weierstrass function that is continuous but nowhere of differentiable, and the study by Georg Cantor of infinite sets, which led to consider several sizes of infinity (infinite cardinals). Even more striking, Russell's paradox shows that the phrase "the set of all sets" is self contradictory.

Several methods have been proposed to solve the problem by changing of logical framework, such as constructive mathematics and intuitionistic logic. Roughly speaking, the first one consists of requiring that every existence theorem must provide an explicit example, and the second one excludes from mathematical reasoning the law of excluded middle and double negation elimination.

The problems of foundation of mathematics has been eventually resolved with the rise of mathematical logic as a new area of mathematics. In this framework, a mathematical or logical theory consists of a formal language that defines the well-formed of assertions, a set of basic assertions called axioms and a set of inference rules that allow producing new assertions from one or several known assertions. A theorem of such a theory is either an axiom or an assertion that can be obtained from previously known theorems by the application of an inference rule. The Zermelo–Fraenkel set theory with the axiom of choice, generally called ZFC, is such a theory in which all mathematics have been restated; it is used implicitely in all mathematics texts that do not specify explicitly on which foundations they are based. Moreover, the other proposed foundations can be modeled and studyed inside ZFC.

It results that "rigor" is no more a relevant concept in mathematics, as a proof is either correct or erroneous, and a "rigorous proof" is simply a pleonasm. Where a special concept of rigor comes into play is in the socialized aspects of a proof. In particular, proofs are rarely written in full details, and some steps of a proof are generally considered as trivial, easy, or straightforward, and therefore left to the reader. As most proof errors occur in these skipped steps, a new proof requires to be verified by other specialists of the subject, and can be considered as reliable only after having been accepted by the community of the specialists, which may need several years.

Also, the concept of "rigor" may remain useful for teaching to beginners what is a mathematical proof.

Relationship with physical reality

Before the 19th century, the basic mathematical concepts, such as points, lines, natural numbers, real numbers (used for measurements), etc. were abstractions from the physical world, and it was commonly considered that it was sufficient for defining them.

As a consequence of this closeness to physical reality, mathematicians were very cautious when problems they want to solve led them to introduce new concepts that are not directly related the real world. These precautions are still reflected in modern terminology, where the numbers that are not quotient of natural numbers are called irrational numbers, originally meaning that reason cannot conceive them. Similarly, real numbers are the numbers that can be used for measurement, while imaginary numbers cannot.

During the 19th century, there were an active research for giving more precise definitions to the basic concepts resulting of abstraction from the real world; for example Peano arithmetic for natural numbers, the formal definitions of limit, series (infinite sums that may have a finite sums), and continuity by Cauchy and Weierstrass, the definition of real numbers by Cauchy and Dedekind. These formal definitions allowed to prove counterintuitive results, which are a part of the origin of the foundational crisis of mathematics. For example, Weierstrass function is a function that is everywhere continuous and nowhere differentiable. Since the existence of such a monster seemed impossible, people had two choices: either they accept such unrealistic facts, which implies that mathematics does not need to reflect the physical reality; or they changes the logical rules for excluding such monsters. The first choice led to the philosophical school of formalism; in its strong form this school may be understood as the fact that mathematicians must not take care of the physical reality. The second choice led to intuitionism and constructivism.

After strong debates, axiomatic approach became eventually a de facto norm in mathematics. This mean that mathematical theories must be based on axioms (basic assumptions that are considered as true) and a fixed set of inference rules; the theory consists of the results (theorems) that can be deduced (proved) from the axiom by using inference rules, and inference rules only. The entities (mathematical objects) involved in the axioms are considered as defined by the axioms, and nothing else is supposed on their nature. For example, plane geometry can be axiomatized with two sorts of objects, the points and the lines, and a relation "belonging to" or "passing through" that relates points and lines. One of the axioms is "there is exactly one line that passes through two points". The interpretation of points and lines (of the theory) as usual points and lines does not matter at all for the validity of the theory. This means that one can verify the correctness of a proof without referring to any figure, and that a proved theorem remains true independently of any interpretation of the entities involved in the axioms. For example, in plane projective geometry, one may interpret points as lines and vice versa. This implies that for every theorem relating points and lines, one gets immediately a new theorem by exchanging the role of the points and the lines (see duality). Nevertheless the interpretation of the objects of a theory in terms of physical reality (when possible) or of previously studied abstractions remains fundamental for guiding the choice of the axioms, understanding the subject of the theory, and follow the steps of a long proof.

This axiomatic approach has been applied to the whole mathematics, through ZFC, the Zermelo–Fraenkel set theory with the axiom of choice. The whole mathematics has been rebuilt inside this theory. Except if the contrary is explicitly stated, all modern mathematical texts use it as a foundation of mathematics.

As a consequence, the relationship between mathematics and physical reality is no more a mathematical question, but the nature of this relationship remains a philosophical question that does not have any uncontroversial answer.

Relationship with sciences

Mathematics is used in most sciences for modeling phenomena, which then allows predictions to be made from experimental laws. The independence of mathematical truth from any experimentation implies that the accuracy of such predictions depends only on the adequacy of the model. Inaccurate predictions, rather than being caused by invalid mathematical concepts, imply the need to change the mathematical model used. For example, the perihelion precession of Mercury could only be explained after the emergence of Einstein's general relativity, which replaced Newton's law of gravitation as a better mathematical model.

There is still a philosophical debate whether mathematics is a science. However, in practice, mathematicians are typically grouped with scientists, and mathematics shares much in common with the physical sciences. Like them, it is falsifiable, which means in mathematics that, if a result or a theory is wrong, this can be proved by providing a counterexample. Similarly as in science, theories and results (theorems) are often obtained from experimentation. In mathematics, the experimentation may consist of computation on selected examples or of the study of figures or other representations of mathematical objects (often mind representations without physical support). For example, when asked how he came about his theorems, Gauss once replied "durch planmässiges Tattonieren" (through systematic experimentation). However, some authors emphasize that mathematics differs from the modern notion of science by not relying on empirical evidence.

Unreasonable effectiveness

The unreasonable effectiveness of mathematics is a phenomenon that was named and first made explicit by physicist Eugene Wigner. It is the fact that many mathematical theories (even the "purest") have applications outside their initial object. These applications may be completely outside their initial area of mathematics, and may concern physical phenomena that were completely unknown when the mathematical theory was introduced. Examples of unexpected applications of mathematical theories can be found in many areas of mathematics.

A notable example is the prime factorization of natural numbers that was discovered more than 2,000 years before its common use for secure internet communications through the RSA cryptosystem. A second historical example is the theory of ellipses. They were studied by the ancient Greek mathematicians as conic sections (that is, intersections of cones with planes). It is almost 2,000 years later that Johannes Kepler discovered that the trajectories of the planets are ellipses.

In the 19th century, the internal development of geometry (pure mathematics) led to definition and study of non-Euclidean geometries, spaces of dimension higher than three and manifolds. At this time, these concepts seemed totally disconnected from the physical reality, but at the beginning of the 20th century, Albert Einstein developed the theory of relativity that uses fundamentally these concepts. In particular, spacetime of special relativity is a non-Euclidean space of dimension four, and spacetime of general relativity is a (curved) manifold of dimension four.

A striking aspect of the interaction between mathematics and physics is when mathematics drives research in physics. This is illustrated by the discoveries of the positron and the baryon $\Omega ^{-}.$ In both cases, the equations of the theories had unexplained solutions, which led to conjecture of the existence of an unknown particle, and the search for these particles. In both cases, these particles were discovered a few years later by specific experiments.

History

Pythagoras is considered the father of mathematics and geometry as he set the foundation for Euclid and Euclidean geometry. Pythagoras was the founder of Pythagoreanism: a mathematical and philosophical model to map the universe.

The origin of mathematics is of arguments and disagreements. Whether the birth of mathematics was by chance or induced by necessity during the development of similar subjects, such as physics, remains an area of contention.

Many thinkers have contributed their ideas concerning the nature of mathematics. Today, some philosophers of mathematics aim to give accounts of this form of inquiry and its products as they stand, while others emphasize a role for themselves that goes beyond simple interpretation to critical analysis. There are traditions of mathematical philosophy in both Western philosophy and Eastern philosophy. Western philosophies of mathematics go as far back as Pythagoras, who described the theory "everything is mathematics" (mathematicism), Plato, who paraphrased Pythagoras, and studied the ontological status of mathematical objects, and Aristotle, who studied logic and issues related to infinity (actual versus potential).

Greek philosophy on mathematics was strongly influenced by their study of geometry. For example, at one time, the Greeks held the opinion that 1 (one) was not a number, but rather a unit of arbitrary length. A number was defined as a multitude. Therefore, 3, for example, represented a certain multitude of units, and was thus "truly" a number. At another point, a similar argument was made that 2 was not a number but a fundamental notion of a pair. These views come from the heavily geometric straight-edge-and-compass viewpoint of the Greeks: just as lines drawn in a geometric problem are measured in proportion to the first arbitrarily drawn line, so too are the numbers on a number line measured in proportion to the arbitrary first "number" or "one".

These earlier Greek ideas of numbers were later upended by the discovery of the irrationality of the square root of two. Hippasus, a disciple of Pythagoras, showed that the diagonal of a unit square was incommensurable with its (unit-length) edge: in other words he proved there was no existing (rational) number that accurately depicts the proportion of the diagonal of the unit square to its edge. This caused a significant re-evaluation of Greek philosophy of mathematics. According to legend, fellow Pythagoreans were so traumatized by this discovery that they murdered Hippasus to stop him from spreading his heretical idea. Simon Stevin was one of the first in Europe to challenge Greek ideas in the 16th century. Beginning with Leibniz, the focus shifted strongly to the relationship between mathematics and logic. This perspective dominated the philosophy of mathematics through the time of Frege and of Russell, but was brought into question by developments in the late 19th and early 20th centuries.

Contemporary philosophy

A perennial issue in the philosophy of mathematics concerns the relationship between logic and mathematics at their joint foundations. While 20th-century philosophers continued to ask the questions mentioned at the outset of this article, the philosophy of mathematics in the 20th century was characterized by a predominant interest in formal logic, set theory (both naive set theory and axiomatic set theory), and foundational issues.

It is a profound puzzle that on the one hand mathematical truths seem to have a compelling inevitability, but on the other hand the source of their "truthfulness" remains elusive. Investigations into this issue are known as the foundations of mathematics program.

At the start of the 20th century, philosophers of mathematics were already beginning to divide into various schools of thought about all these questions, broadly distinguished by their pictures of mathematical epistemology and ontology. Three schools, formalism, intuitionism, and logicism, emerged at this time, partly in response to the increasingly widespread worry that mathematics as it stood, and analysis in particular, did not live up to the standards of certainty and rigor that had been taken for granted. Each school addressed the issues that came to the fore at that time, either attempting to resolve them or claiming that mathematics is not entitled to its status as our most trusted knowledge.

Surprising and counter-intuitive developments in formal logic and set theory early in the 20th century led to new questions concerning what was traditionally called the foundations of mathematics. As the century unfolded, the initial focus of concern expanded to an open exploration of the fundamental axioms of mathematics, the axiomatic approach having been taken for granted since the time of Euclid around 300 BCE as the natural basis for mathematics. Notions of axiom, proposition and proof, as well as the notion of a proposition being true of a mathematical object (see Assignment), were formalized, allowing them to be treated mathematically. The Zermelo–Fraenkel axioms for set theory were formulated which provided a conceptual framework in which much mathematical discourse would be interpreted. In mathematics, as in physics, new and unexpected ideas had arisen and significant changes were coming. With Gödel numbering, propositions could be interpreted as referring to themselves or other propositions, enabling inquiry into the consistency of mathematical theories. This reflective critique in which the theory under review "becomes itself the object of a mathematical study" led Hilbert to call such study metamathematics or proof theory.

создали новую математическую теорию В середине века Сэмюэл Эйленберг и Сондерс Мак Лейн , известную как теория категорий , и она стала новым претендентом на естественный язык математического мышления. Однако по ходу XX века философские мнения разошлись относительно того, насколько обоснованными были вопросы о фондах, поднятые в начале века. Хилари Патнэм подвела итог распространенному взгляду на ситуацию последней трети века, сказав:

Когда философия обнаруживает, что в науке что-то не так, иногда науку приходится менять ( парадокс Рассела на ум приходит , а также нападки Беркли на реальное бесконечно малое ), но чаще всего приходится менять философию. Я не думаю, что трудности, с которыми сегодня сталкивается философия в классической математике, являются подлинными трудностями; и я думаю, что философские интерпретации математики, которые нам предлагают повсюду, неверны, и что «философская интерпретация» — это как раз то, в чем математике не нужно.

Философия математики сегодня развивается по нескольким различным направлениям исследований философов математики, логиков и математиков, и существует множество школ мысли по этому вопросу. В следующем разделе школы рассматриваются отдельно, и их предположения объясняются.

мысли

Художественный

Взгляд, который утверждает, что математика — это эстетическая комбинация предположений, а затем утверждает, что математика — это искусство . Известным математиком , утверждающим это, является британец Г.Х. Харди . Для Харди в его книге « Апология математика » определение математики было больше похоже на эстетическое сочетание понятий.

Платонизм

Основная статья: Платонизм

Смотрите также: Современный платонизм

Математический платонизм — это форма реализма, которая предполагает, что математические объекты абстрактны, не имеют пространственно-временных или причинных свойств, а также вечны и неизменны. Часто утверждают, что именно такого взгляда на числа придерживается большинство людей. Термин «платонизм» используется потому, что такая точка зрения рассматривается как параллель с Платона » «Теорией форм и «Миром идей» (греч.: эйдос (εἶδος)), описанным в аллегории Платона о пещере : повседневный мир может лишь несовершенно приближаться к неизменная, высшая реальность. И пещера Платона, и платонизм имеют значимые, а не только поверхностные связи, потому что идеям Платона предшествовали и, вероятно, находились под влиянием чрезвычайно популярных пифагорейцев Древней Греции, которые считали, что мир в буквальном смысле порожден числами .

Главный вопрос, рассматриваемый в математическом платонизме: где именно и как существуют математические сущности и откуда мы о них знаем? Существует ли мир, совершенно отдельный от нашего физического, населенный математическими объектами? Как мы можем получить доступ к этому отдельному миру и узнать правду о сущностях? Одним из предлагаемых ответов является « Предельный ансамбль» — теория, постулирующая, что все структуры, существующие математически, также существуют физически в своей собственной вселенной.

Курт Гёдель

Курта Гёделя Платонизм постулирует особый вид математической интуиции, которая позволяет нам непосредственно воспринимать математические объекты. (Эта точка зрения имеет сходство со многими высказываниями Гуссерля о математике и поддерживает Канта идею синтетическа о том, что математика априорно .) Дэвис и Херш » 1999 года предположили в своей книге «Математический опыт , что большинство математиков действуют так, как если бы они были платониками, даже хотя, если их заставить тщательно защищать свою позицию, они могут отступить к формализму .

Чистокровный платонизм — это современная вариация платонизма, которая является реакцией на тот факт, что в зависимости от используемых аксиом и правил вывода (например, закона исключенного исключенного третьего третьего и закона ) может быть доказано существование различных наборов математических сущностей. аксиома выбора ). Он утверждает, что все математические объекты существуют. Они могут быть доказуемыми, даже если все они не могут быть выведены из единого непротиворечивого набора аксиом.

Теоретико-множественный реализм (также теоретико-множественный платонизм ) Позиция, которую защищает Пенелопа Мэдди , заключается в том, что теория множеств представляет собой единую вселенную множеств. Эта позиция (которая также известна как натурализованный платонизм , поскольку она представляет собой натурализованную версию математического платонизма) подверглась критике со стороны Марка Балагера на основе Поля Бенацеррафа эпистемологической проблемы . Похожая точка зрения, названная платонизированным натурализмом , позже была защищена школой Стэнфорда-Эдмонтона : согласно этой точке зрения, более традиционный вид платонизма совместим с натурализмом ; более традиционный вид платонизма, который они защищают, отличается общими принципами, утверждающими существование абстрактных объектов .

Математизм

Основная статья: Математизм

Макса Тегмарка ( Гипотеза математической вселенной или математикизм ) идет дальше платонизма, утверждая, что не только все математические объекты существуют, но и ничто другое. Единственный постулат Тегмарка таков: все структуры, существующие математически, существуют и физически . То есть в том смысле, что «в этих [мирах], достаточно сложных, чтобы содержать самосознательные подструктуры, [они] будут субъективно воспринимать себя существующими в физически «реальном» мире».

Логизм

Основная статья: Логицизм

Логицизм — это тезис о том, что математика сводится к логике и, следовательно, является не чем иным, как частью логики. Логики считают, что математику можно знать априорно , но предполагают, что наше знание математики является лишь частью нашего знания логики в целом и, следовательно, является аналитическим , не требующим какой-либо специальной способности математической интуиции. С этой точки зрения логика является надлежащей основой математики, а все математические утверждения являются необходимыми логическими истинами .

Рудольф Карнап (1931) представляет логистический тезис в двух частях:

1. Понятия . математики могут быть выведены из логических понятий посредством явных определений
2. Теоремы . математики могут быть выведены из логических аксиом посредством чисто логической дедукции

Готтлоб Фреге – основоположник логицизма. В своей основополагающей книге Die Grundgesetze der Arithmetik ( «Основные законы арифметики ») он построил арифметику на основе логической системы с общим принципом понимания, который он назвал «Основным законом V» (для понятий F и G расширение F равно расширение G когда для всех объектов a тогда и только тогда , Fa равно Ga ), принцип, который он считал приемлемым как часть логики.

Бертран Рассел

Конструкция Фреге была ошибочной. Бертран Рассел обнаружил, что Основной закон V противоречив (это парадокс Рассела ). Вскоре после этого Фреге отказался от своей логической программы, но ее продолжили Рассел и Уайтхед . Они объяснили этот парадокс «порочной цикличностью» и создали то, что они назвали разветвленной теорией типов, чтобы справиться с ним. В этой системе в конечном итоге удалось построить большую часть современной математики, но в измененном и чрезмерно сложном виде (например, в каждом типе были разные натуральные числа, а типов было бесконечно много). Им также пришлось пойти на несколько компромиссов, чтобы разработать большую часть математики, например, « аксиому сводимости ». Даже Рассел сказал, что эта аксиома на самом деле не принадлежит логике.

Современные логики (такие как Боб Хейл , Криспин Райт и, возможно, другие) вернулись к программе, более близкой к программе Фреге. Они отказались от Основного закона V в пользу принципов абстракции, таких как принцип Юма (количество объектов, подпадающих под понятие F, равно числу объектов, подпадающих под понятие G, тогда и только тогда, когда расширение F и расширение G могут быть переписка один на один ). Фреге требовал, чтобы Основной закон V мог дать явное определение чисел, но все свойства чисел могут быть выведены из принципа Юма. Фреге этого было бы недостаточно, потому что (перефразируя его) это не исключает возможности того, что число 3 на самом деле является Юлием Цезарем. Кроме того, многие из ослабленных принципов, которые им пришлось принять взамен Основного закона V, больше не кажутся столь явно аналитическими и, следовательно, чисто логическими.

Формализм

Основная статья: Формализм (философия математики)

Формализм утверждает, что математические утверждения можно рассматривать как утверждения о последствиях определенных правил манипулирования строками. Например, в «игре» евклидовой геометрии (которая рассматривается как состоящая из некоторых строк, называемых «аксиомами», и некоторых «правил вывода» для создания новых строк из заданных) можно доказать, что теорема Пифагора справедлива ( то есть можно сгенерировать строку, соответствующую теореме Пифагора). Согласно формализму, математические истины не связаны с числами, множествами, треугольниками и тому подобным — на самом деле они вообще ни о чем «ни о чем».

Другая версия формализма известна как дедуктивизм . В дедуктивизме теорема Пифагора является не абсолютной истиной, а относительной, если она дедуктивно следует из соответствующих аксиом. То же самое справедливо и для всех других математических утверждений.

Формализм не обязательно должен означать, что математика — не что иное, как бессмысленная символическая игра. Обычно надеются, что существует некая интерпретация правил игры. (Сравните эту позицию со структурализмом .) Но она позволяет работающему математику продолжать свою работу и оставлять такие проблемы философу или ученому. Многие формалисты сказали бы, что на практике изучаемые системы аксиом будут подсказываться требованиями науки или других областей математики.

Дэвид Хилберт

Основным ранним сторонником формализма был Дэвид Гильберт , чья программа была задумана как полная и последовательная аксиоматизация всей математики. Гильберт стремился показать непротиворечивость математических систем, исходя из предположения, что «финитарная арифметика» (подсистема обычной арифметики положительных целых чисел , выбранная как философски бесспорная) была непротиворечивой. Цели Гильберта по созданию математической системы, которая была бы одновременно полной и непротиворечивой, были серьезно подорваны второй теоремой Гёделя о неполноте , которая утверждает, что достаточно выразительные непротиворечивые системы аксиом никогда не могут доказать свою собственную непротиворечивость. Поскольку любая такая система аксиом будет содержать финитную арифметику в качестве подсистемы, теорема Гёделя подразумевала, что будет невозможно доказать непротиворечивость системы относительно нее (поскольку тогда она докажет свою собственную непротиворечивость, что, как показал Гёдель, невозможно). Таким образом, чтобы показать, что любая аксиоматическая система математики на самом деле непротиворечива, нужно сначала предположить непротиворечивость математической системы, которая в некотором смысле сильнее, чем система, непротиворечивость которой должна быть доказана.

Гильберт изначально был дедуктивистом, но, как ясно из вышеизложенного, он считал, что определенные метаматематические методы дают внутренне значимые результаты, и был реалистом в отношении финитной арифметики. Позже он придерживался мнения, что никакой другой значимой математики, независимо от ее интерпретации, не существует.

Другие формалисты, такие как Рудольф Карнап , Альфред Тарский и Хаскелл Карри , считали математику исследованием формальных систем аксиом . Математические логики изучают формальные системы, но зачастую они являются реалистами и формалистами.

Формалисты относительно толерантны и приветствуют новые подходы к логике, нестандартные системы счисления, новые теории множеств и т. д. Чем больше игр мы изучаем, тем лучше. Однако во всех трех примерах мотивация основана на существующих математических или философских проблемах. «Игры» обычно не произвольны.

Основная критика формализма заключается в том, что реальные математические идеи, которыми заняты математики, далеки от упомянутых выше игр по манипулированию строками. Таким образом, формализм ничего не говорит о том, какие системы аксиом следует изучать, поскольку с формалистической точки зрения ни одна из них не является более значимой, чем другая.

Недавно некоторые Математики-формалисты предложили, чтобы все наши формальные математические знания систематически кодировались в компьютерочитаемых форматах, чтобы облегчить автоматическую проверку математических доказательств и использование интерактивного доказательства теорем при разработке математических теорий и компьютерного программного обеспечения. Из-за их тесной связи с информатикой , эту идею также защищают математические интуиционисты и конструктивисты в традиции «вычислимости» — см. в проекте QED общий обзор .

Конвенционализм

Основные статьи: Конвенционализм и преинтуиционизм

Французский математик Анри Пуанкаре был одним из первых, кто сформулировал конвенционалистскую точку зрения. Использование Пуанкаре неевклидовой геометрии в своей работе над дифференциальными уравнениями убедило его в том, что евклидову геометрию не следует рассматривать как априорную истину. Он считал, что аксиомы в геометрии следует выбирать исходя из результатов, которые они дают, а не из-за их очевидной согласованности с человеческими интуициями о физическом мире.

Интуиционизм

Основная статья: Математический интуиционизм

В математике интуиционизм — это программа методологической реформы, девиз которой — «не существует неиспытанных математических истин» ( Л. Дж. Брауэр ). С этого трамплина интуиционисты стремятся реконструировать то, что они считают исправимой частью математики, в соответствии с кантовскими концепциями бытия, становления, интуиции и познания. Брауэр, основатель движения, считал, что математические объекты возникают из априорных форм воли, которые определяют восприятие эмпирических объектов.

Главной силой, стоящей за интуиционизмом, был Л. Дж. Брауэр , который отвергал полезность любой формализованной логики для математики. Его ученик Аренд Хейтинг постулировал интуиционистскую логику , отличную от классической аристотелевской логики ; эта логика не содержит закона исключенного третьего и поэтому не одобряет доказательства от противного . Аксиома выбора также отвергается в большинстве интуиционистских теорий множеств, хотя в некоторых версиях она принимается.

В интуиционизме термин «явное построение» не имеет четкого определения, что вызвало критику. Были предприняты попытки использовать концепции машины Тьюринга или вычислимой функции , чтобы заполнить этот пробел, что привело к утверждению, что только вопросы, касающиеся поведения конечных алгоритмов, имеют смысл и должны исследоваться в математике. Это привело к изучению вычислимых чисел , впервые введенных Аланом Тьюрингом . Неудивительно, что такой подход к математике иногда ассоциируется с теоретической информатикой .

Конструктивизм

Основная статья: Конструктивизм (философия математики)

Как и интуиционизм, конструктивизм включает в себя регулятивный принцип, согласно которому в математический дискурс следует допускать только математические сущности, которые могут быть явно сконструированы в определенном смысле. С этой точки зрения математика — это упражнение человеческой интуиции, а не игра с бессмысленными символами. Вместо этого речь идет о сущностях, которые мы можем создать непосредственно посредством умственной деятельности. Кроме того, некоторые приверженцы этих школ отвергают неконструктивные доказательства, такие как использование доказательства от противного при доказательстве существования объекта или при попытке установить истинность какого-либо утверждения. Важная работа была проделана Эрреттом Бишопом , которому удалось доказать версии наиболее важных теорем реального анализа как конструктивного анализа в его «Основах конструктивного анализа» 1967 года.

Финитизм

Основная статья: Финитизм

Леопольд Кронекер

Финитизм — крайняя форма конструктивизма , согласно которой математический объект не существует, если его нельзя сконструировать из натуральных чисел за конечное число шагов. В своей книге «Философия теории множеств » Мэри Тайлс охарактеризовала тех, кто допускает счетно-бесконечные объекты, как классических финитистов, а тех, кто отрицает даже счетно-бесконечные объекты, как строгих финитистов.

Самым известным сторонником финитизма был Леопольд Кронекер . кто сказал:

Бог создал натуральные числа, все остальное — дело рук человека.

Ультрафинитизм — это еще более крайняя версия финитизма, которая отвергает не только бесконечности, но и конечные величины, которые невозможно построить с использованием имеющихся ресурсов. Другой вариант финитизма — евклидова арифметика, система, разработанная Джоном Пенном Мэйберри в его книге «Основы математики в теории множеств» . Система Мэйберри в целом является аристотелевской и, несмотря на его решительное отрицание какой-либо роли операционализма или реализуемости в основах математики, приходит к несколько схожим выводам, таким как, например, что сверхвозведение в степень не является законной финитной функцией.

Структурализм

Основная статья: Математический структурализм

Структурализм — это позиция, согласно которой математические теории описывают структуры и что математические объекты исчерпывающе определяются своим местом в таких структурах и, следовательно, не имеют внутренних свойств . Например, он будет утверждать, что все, что нужно знать о числе 1, — это то, что это первое целое число после 0. Аналогично, все остальные целые числа определяются их местами в структуре — числовой строке . Другие примеры математических объектов могут включать линии и плоскости в геометрии или элементы и операции в абстрактной алгебре .

Структурализм — это эпистемологически реалистичный взгляд, согласно которому математические утверждения имеют объективную истинностную ценность. Однако его центральное утверждение относится только к тому, какой сущностью является математический объект, а не к тому, какой тип существования имеют математические объекты или структуры (другими словами, к их онтологии ). Вид существования математических объектов явно будет зависеть от структуры, в которую они встроены; разные подвиды структурализма выдвигают в этом отношении разные онтологические претензии.

Структурализм ante rem («до вещи») имеет онтологию, аналогичную платонизму . Считается, что структуры существуют реально, но абстрактно и нематериально. По существу, он сталкивается со стандартной эпистемологической проблемой объяснения взаимодействия между такими абстрактными структурами и математиками из плоти и крови (см. проблему идентификации Бенацеррафа ).

Ин - реструктурализм («в вещи») является эквивалентом аристотелевского реализма . Структуры считаются существующими постольку, поскольку их примером является некая конкретная система. Это влечет за собой обычные проблемы, заключающиеся в том, что некоторые совершенно законные структуры могут случайно не существовать, и что конечный физический мир может оказаться недостаточно «большим», чтобы вместить некоторые в других отношениях законные структуры.

Структурализм post rem («после вещи») антиреалистичен в отношении структур, что соответствует номинализму . Как и номинализм, подход post rem отрицает существование абстрактных математических объектов со свойствами, отличными от их места в реляционной структуре. Согласно этой точке зрения, математические системы существуют и имеют общие структурные особенности. Если что-то верно в отношении структуры, то это будет верно и для всех систем, воплощающих эту структуру. Однако говорить о том, что структуры «общие» между системами, просто полезно: на самом деле они не имеют независимого существования.

разума

Теории воплощенного разума утверждают, что математическое мышление является естественным продуктом человеческого когнитивного аппарата, который находится в нашей физической вселенной. Например, абстрактная концепция числа возникает из опыта подсчета дискретных объектов (для обнаружения объектов требуются такие человеческие чувства, как зрение, осязание и передача сигналов от мозга). Считается, что математика не универсальна и не существует ни в каком реальном смысле, кроме человеческого мозга. Люди конструируют, но не открывают математику.

Когнитивные процессы поиска закономерностей и различения объектов также являются предметом нейробиологии ; если математика считается значимой для мира природы (например, с точки зрения реализма или его степени, в отличие от чистого солипсизма ).

Его фактическое соответствие реальности, хотя и считается заслуживающим доверия приближением (также предполагается, что эволюция восприятия, тела и чувств могла быть необходима для выживания), не обязательно соответствует полному реализму (и все еще подлежит такие недостатки, как иллюзия , предположения (следовательно; основы и аксиомы, в которых математика была сформирована людьми), обобщения, обман и галлюцинации . По сути, это также может вызвать вопросы к современному научному методу на предмет его совместимости с общей математикой; будучи относительно надежным, он все же ограничен тем, что можно измерить эмпиризмом , что может быть не таким надежным, как предполагалось ранее (см. Также: «противоречащие здравому смыслу» концепции, такие как квантовая нелокальность и действие на расстоянии ).

Другая проблема заключается в том, что одна система счисления не обязательно может быть применима для решения задач. Такие предметы, как комплексные числа или мнимые числа, требуют особых изменений в более часто используемых аксиомах математики; в противном случае они не могут быть адекватно поняты.

В качестве альтернативы компьютерные программисты могут использовать шестнадцатеричное представление двоичных значений , а не десятичное (удобно для счета, поскольку у людей десять пальцев). Аксиомы или логические правила, лежащие в основе математики, также меняются со временем (например, адаптация и изобретение нуля ).

Поскольку восприятия человеческого мозга подвержены иллюзиям , предположениям, обману, (индуцированным) галлюцинациям , когнитивным ошибкам или предположениям в общем контексте, можно подвергнуть сомнению, являются ли они точными или строго указывают на истину (см. также: философия бытия ). и о природе самого эмпиризма по отношению к вселенной и о том, независим ли он от чувств и вселенной.

Человеческий разум не имеет особых претензий на реальность или подходы к ней, основанные на математике. Если такие конструкции, как тождество Эйлера , верны, то они верны и как карта человеческого разума и познания .

Таким образом, теоретики воплощенного разума объясняют эффективность математики: математика была создана мозгом для того, чтобы быть эффективной в этой вселенной.

Самая доступная, известная и печально известная трактовка этой точки зрения — «Откуда берется математика» книга Джорджа Лакоффа и Рафаэля Э. Нуньеса . Кроме того, математик Кейт Девлин исследовал подобные концепции в своей книге «Математический инстинкт» , а также нейробиолог Станислас Деэн в своей книге «Чувство числа» . Дополнительную информацию о философских идеях, вдохновивших эту точку зрения, см. в разделе « Когнитивная наука математики» .

Аристотелевский реализм

Основная статья: Аристотелевская реалистическая философия математики

Смотрите также: В реструктурализме и имманентном реализме.

Аристотелевский реализм утверждает, что математика изучает такие свойства, как симметрия, непрерывность и порядок, которые могут быть буквально реализованы в физическом мире (или в любом другом мире, который может существовать). Он контрастирует с платонизмом, утверждая, что объекты математики, такие как числа, не существуют в «абстрактном» мире, но могут быть физически реализованы. Например, число 4 реализуется в отношении между кучей попугаев и универсальным «быть попугаем», разделяющим кучу на такое-то количество попугаев. Аристотелевский реализм защищается Джеймсом Франклином и Сиднейской школой в области философии математики и близок к точке зрения Пенелопы Мэдди о том, что, когда открывается коробка с яйцами, воспринимается набор из трех яиц (то есть математическая сущность, реализованная в физический мир). Проблема аристотелевского реализма заключается в том, как объяснить высшие бесконечности, которые могут быть неосуществимы в физическом мире.

Евклидова арифметика, разработанная Джоном Пенном Мэйберри в его книге «Основы математики в теории множеств». также попадает в аристотелевскую реалистическую традицию. Мэйберри, вслед за Евклидом, считает числа просто «определенными множествами единиц», реализованных в природе, например, «участниками Лондонского симфонического оркестра» или «деревьями в Бирнамском лесу». Существует или нет определенное множество единиц, для которых общее понятие 5 Евклида (целое больше, чем часть) терпит неудачу и которые, следовательно, можно было бы считать бесконечными, для Мэйберри, по существу, является вопросом о Природе и не влечет за собой каких-либо трансцендентальных предположений.

Психологизм

Основная статья: Психологизм

Смотрите также: Антипсихологизм

Психологизм в философии математики - это позиция, согласно которой математические концепции и / или истины основаны, выведены из психологических фактов (или законов) или объяснены ими.

Джон Стюарт Милль, кажется, был сторонником определенного типа логического психологизма, как и многие немецкие логики XIX века, такие как Зигварт и Эрдманн, а также ряд психологов прошлого и настоящего: например, Гюстав Ле Бон . Психологизм подвергся знаменитой критике со стороны Фреге в его «Основах арифметики» , а также во многих его работах и ​​эссе, включая его обзор « Гуссерля » Философии арифметики . Эдмунд Гуссерль в первом томе своих «Логических исследований », названном «Пролегомены чистой логики», подверг основательной критике психологизм и стремился дистанцироваться от него. «Пролегомены» считаются более кратким, справедливым и основательным опровержением психологизма, чем критика Фреге, а также сегодня многие считают их памятным опровержением, нанесшим решающий удар по психологизму. Психологизм также подвергался критике со стороны Чарльза Сандерса Пирса и Мориса Мерло-Понти .

Эмпиризм

Основные статьи: Квазиэмпиризм в математике и постмодернистская математика

Математический эмпиризм — это форма реализма, отрицающая возможность познания математики априорно вообще . Он гласит, что мы открываем математические факты посредством эмпирических исследований , как и факты в любой другой науке. Это не одна из трех классических позиций, отстаиваемых в начале 20 века, а возникшая в основном в середине века. Однако важным ранним сторонником подобной точки зрения был Джон Стюарт Милль . Точка зрения Милля подверглась широкой критике, поскольку, по мнению таких критиков, как А. Дж. Айер, из-за этого утверждения вроде «2 + 2 = 4» кажутся неопределенными, случайными истинами, которые мы можем узнать, только наблюдая случаи, когда две пары собираются вместе и образуют квартет.

Карл Поппер был еще одним философом, указавшим на эмпирические аспекты математики, отметив, что «большинство математических теорий, подобно теориям физики и биологии, гипотетико-дедуктивны: поэтому чистая математика оказывается гораздо ближе к естественным наукам, чьи гипотезы являются предположениями. чем казалось еще недавно». Поппер также отметил, что он «признает систему как эмпирическую или научную только в том случае, если ее можно проверить опытом».

Современный математический эмпиризм, сформулированный У.В.О. Куайном и Хилари Патнэмом , в первую очередь поддерживается аргументом незаменимости : математика необходима для всех эмпирических наук, и если мы хотим верить в реальность явлений, описываемых науками, мы должны также верить в реальность тех сущностей, которые необходимы для этого описания. То есть, поскольку физике необходимо поговорить об электронах, чтобы сказать, почему лампочки ведут себя именно так, то электроны должны существовать . Поскольку физике необходимо говорить о числах, предлагая любое из своих объяснений, числа должны существовать. В соответствии с общей философией Куайна и Патнэма это натуралистический аргумент. Он утверждает, что существование математических объектов является лучшим объяснением опыта, тем самым лишая математику отличия от других наук.

Патнэм решительно отверг термин « платонист », как подразумевающий слишком специфическую онтологию , которая не была необходима для математической практики в каком-либо реальном смысле. Он защищал форму «чистого реализма», которая отвергала мистические представления об истине и допускала большую часть квазиэмпиризма в математике . Это произошло из-за все более популярного в конце 20 века утверждения о том, что ни одного основания математики существование никогда не может быть доказано. Его также иногда называют «постмодернизмом в математике», хотя некоторые считают этот термин перегруженным, а другие — оскорбительным. Квазиэмпиризм утверждает, что в ходе своих исследований математики проверяют гипотезы, а также доказывают теоремы. Математический аргумент может передавать ложность заключения в посылки так же, как он может передавать истину из посылок в заключение. Патнэм утверждал, что любая теория математического реализма будет включать квазиэмпирические методы. Он предположил, что инопланетный вид, занимающийся математикой, вполне может полагаться в первую очередь на квазиэмпирические методы, часто отказываясь от строгих и аксиоматических доказательств, и все же заниматься математикой — возможно, с несколько большим риском провала своих расчетов. Он подробно обосновал это в Новые направления . Квазиэмпиризм был развит также Имре Лакатосом .

Самая важная критика эмпирических взглядов на математику примерно такая же, как и критика Милля. Если математика столь же эмпирична, как и другие науки, то это означает, что ее результаты столь же подвержены ошибкам, как и их собственные, и столь же случайны. В случае Милля эмпирическое обоснование приходит напрямую, тогда как в случае Куайна оно приходит косвенно, через последовательность нашей научной теории в целом, т.е. согласованность после Э.О. Вильсона . Куайн предполагает, что математика кажется совершенно достоверной, поскольку роль, которую она играет в нашей паутине убеждений, чрезвычайно важна, и что нам было бы чрезвычайно трудно ее пересмотреть, хотя и не невозможно.

О философии математики, которая пытается преодолеть некоторые недостатки подходов Куайна и Гёделя, принимая аспекты каждого из них, см. « » Пенелопы Мэдди Реализм в математике . Другим примером реалистической теории является теория воплощенного разума .

Экспериментальные данные, свидетельствующие о том, что человеческие младенцы могут выполнять элементарную арифметику, см. у Брайана Баттерворта .

Фантастика

Смотрите также: Художественность

Математический беллетрист прославился в 1980 году, когда Хартри Филд опубликовал книгу «Наука без чисел» . который отверг и фактически перевернул аргумент Куайна о необходимости. Там, где Куайн предположил, что математика необходима для наших лучших научных теорий и, следовательно, ее следует принять как совокупность истин, говорящих о независимо существующих сущностях, Филд предположил, что математика необязательна и, следовательно, ее следует рассматривать как совокупность неправд, не говорящих ни о чем. настоящий. Он сделал это, дав полную аксиоматизацию ньютоновской механики вообще без ссылки на числа или функции. Он начал с «между» аксиом Гильберта, чтобы охарактеризовать пространство без его координации, а затем добавил дополнительные отношения между точками, чтобы выполнить работу, ранее выполняемую векторными полями . Геометрия Гильберта является математической, поскольку она говорит об абстрактных точках, но в теории Филда эти точки являются конкретными точками физического пространства, поэтому никаких специальных математических объектов вообще не требуется.

Показав, как заниматься наукой без использования чисел, Филд приступил к реабилитации математики как своего рода полезной фантастики . Он показал, что математическая физика является консервативным расширением его нематематической физики (то есть каждый физический факт, доказуемый в математической физике, уже доказуем на основе системы Филда), так что математика — это надежный процесс, все физические приложения которого верны, даже если его собственные утверждения ложны. Таким образом, занимаясь математикой, мы можем представить себя рассказывающими некую историю, говорящими так, как если бы числа существовали. Для Филда утверждение типа «2 + 2 = 4» является таким же вымышленным, как и « Шерлок Холмс жил на Бейкер-стрит, 221Б», но оба они верны согласно соответствующим вымыслам.

Другой беллетрист, Мэри Ленг , лаконично выражает эту точку зрения, отвергая любую кажущуюся связь между математикой и физическим миром как «счастливое совпадение». Это неприятие отличает фикционализм от других форм антиреализма, которые рассматривают саму математику как искусственную, но все же каким-то образом связанную или приспособленную к реальности.

С этой точки зрения не существует никаких метафизических или эпистемологических проблем, специфических для математики. Остались только общие опасения по поводу нематематической физики и художественной литературы в целом. Подход Филда оказал большое влияние, но широко отвергается. Частично это происходит из-за необходимости наличия сильных фрагментов логики второго порядка для осуществления его редукции, а также из-за того, что утверждение консервативности, по-видимому, требует количественной оценки абстрактных моделей или выводов.

Социальный

Основная статья: Социальный конструктивизм

Социальный конструктивизм рассматривает математику прежде всего как социальный конструкт , как продукт культуры, подлежащий исправлению и изменению. Как и другие науки, математика рассматривается как эмпирическая деятельность, результаты которой постоянно оцениваются и могут быть отброшены. Однако, если с эмпирической точки зрения оценка представляет собой своего рода сравнение с «реальностью», социальные конструктивисты подчеркивают, что направление математического исследования диктуется модой выполняющей его социальной группы или потребностями финансирующего его общества. Однако, хотя такие внешние силы могут изменить направление некоторых математических исследований, существуют сильные внутренние ограничения — математические традиции, методы, проблемы, смыслы и ценности, в которые привиты математики, — которые работают на сохранение исторически определенной дисциплины.

Это противоречит традиционным убеждениям работающих математиков о том, что математика в некотором роде чиста и объективна. Но социальные конструктивисты утверждают, что математика на самом деле основана на значительной неопределенности: по мере развития математической практики статус предыдущей математики подвергается сомнению и корректируется в той степени, в которой этого требует или желает современное математическое сообщество. Это можно увидеть в развитии анализа на основе пересмотра исчисления Лейбница и Ньютона. Далее они утверждают, что законченной математике часто придается слишком высокий статус, а народной математике недостаточно из-за чрезмерного внимания к аксиоматическому доказательству и экспертной оценке как практике.

Социальная природа математики подчеркивается в ее субкультурах . Крупные открытия могут быть сделаны в одной области математики и иметь отношение к другой, однако эта связь остается нераскрытой из-за отсутствия социальных контактов между математиками. Социальные конструктивисты утверждают, что каждая специальность формирует свое собственное эпистемическое сообщество и часто испытывает большие трудности с общением или мотивацией исследования объединяющих гипотез , которые могут относиться к различным областям математики. Социальные конструктивисты рассматривают процесс «занятия математикой» как фактическое создание смысла, в то время как социальные реалисты видят недостаток либо человеческой способности к абстрагированию, либо когнитивных предубеждений математиков человека, либо коллективного разума как препятствующего пониманию реальной вселенной математические объекты. Социальные конструктивисты иногда отвергают поиск оснований математики как обреченный на провал, как бессмысленный или даже бессмысленный.

Вклад в эту школу внесли Имре Лакатос и Томас Тимочко , хотя неясно, поддержит ли кто-нибудь это название. Совсем недавно Пол Эрнест четко сформулировал социальную конструктивистскую философию математики. Некоторые считают, что работа Пола Эрдеша в целом развивала эту точку зрения (хотя он лично отверг ее) из-за его уникально широкого сотрудничества, которое побудило других рассматривать и изучать «математику как социальную деятельность», например, через число Эрдеша . Рубен Херш также продвигал социальный взгляд на математику, называя его «гуманистическим» подходом. похоже на то, что связано с Элвином Уайтом, но не совсем то же самое; один из соавторов Херша, Филип Дж. Дэвис , также выразил симпатию к социальной точке зрения.

традиционных

Неоправданная эффективность

Вместо того чтобы сосредоточиться на узких дискуссиях об истинной природе математической истины или даже на уникальных для математиков практиках, таких как доказательство , растущее движение с 1960-х по 1990-е годы начало подвергать сомнению идею поиска оснований или поиска какого-либо единственного правильного ответа на вопрос. почему математика работает. Отправной точкой для этого стала знаменитая статья Юджина Вигнера 1960 года « Необоснованная эффективность математики в естественных науках », в которой он утверждал, что счастливое совпадение математики и физики, которые так хорошо сочетаются, кажется необоснованным и труднообъяснимым.

Поппера в

Реалистические и конструктивистские теории обычно считаются противоположными. Однако Карл Поппер утверждал, что числовое утверждение, такое как «2 яблока + 2 яблока = 4 яблока», можно понимать в двух смыслах. В каком-то смысле это неопровержимо и логически верно. Во втором смысле оно фактически истинно и фальсифицируемо. Другой способ выразить это — сказать, что одно числовое утверждение может выражать два предложения: одно из которых можно объяснить с точки зрения конструктивизма; другой на реалистическом уровне.

Философия языка

Нововведения в философии языка в XX веке возобновили интерес к тому, является ли математика, как часто говорят, язык науки . Хотя некоторые математики и философы приняли бы утверждение «математика — это язык» (большинство считает, что язык математики — это часть математики, к которой математику нельзя свести), лингвисты считаю, что следует учитывать последствия такого заявления. Например, инструменты лингвистики обычно не применяются к символьным системам математики, то есть математика изучается совершенно иначе, чем другие языки. Если математика — это язык, то это язык, отличный от естественных языков . Действительно, из-за необходимости ясности и конкретики язык математики гораздо более ограничен, чем естественные языки, изучаемые лингвистами. Однако методы, разработанные Фреге и Тарским для изучения математического языка, были значительно расширены учеником Тарского Ричардом Монтегю и другими лингвистами, работающими в области формальной семантики, чтобы показать, что различие между математическим языком и естественным языком может быть не таким большим, как кажется. .

Мохан Ганесалингам проанализировал математический язык, используя инструменты формальной лингвистики. Ганесалингам отмечает, что некоторые особенности естественного языка не являются необходимыми при анализе математического языка (например, время ), но можно использовать многие из тех же аналитических инструментов (например, контекстно-свободные грамматики ). Одним из важных отличий является то, что математические объекты имеют четко определенные типы , которые могут быть явно определены в тексте: «Фактически нам разрешено вводить слово в одну часть предложения и объявлять его часть речи в другой; и эта операция не имеет аналога в естественном языке».

Аргументы

реализма

Основная статья: Аргумент незаменимости Куайна-Патнэма

Этот аргумент, связанный с Уиллардом Куайном и Хилари Патнэмом считает , Стивен Ябло одним из самых сложных аргументов в пользу признания существования абстрактных математических объектов, таких как числа и множества. Форма аргументации следующая.

1. Необходимо иметь онтологические обязательства по отношению ко всем сущностям, которые необходимы для лучших научных теорий, и только к этим сущностям (обычно называемым «все и только»).
2. Математические сущности необходимы для лучших научных теорий. Поэтому,
3. Необходимо иметь онтологические обязательства перед математическими объектами.

Обоснование первой посылки является наиболее спорным. И Патнэм, и Куайн ссылаются на натурализм, чтобы оправдать исключение всех ненаучных объектов и, следовательно, защитить «единственную» часть «всего и только». Утверждение о том, что «все» сущности, постулируемые в научных теориях, включая числа, следует принимать как реальные, оправдано холизмом подтверждения . Поскольку теории подтверждаются не по частям, а в целом, нет никаких оснований исключать какие-либо сущности, упомянутые в хорошо подтвержденных теориях. Это ставит номиналиста , желающего исключить существование множеств и неевклидовой геометрии , но включить существование кварков и других необнаружимых физических объектов. в затруднительное положение

против

Антиреалистический эпистемический « аргумент » против платонизма был выдвинут Полом Бенасеррафом и Хартри Филдом . Платонизм утверждает, что математические объекты являются абстрактными сущностями. По общему мнению, абстрактные сущности не могут причинно взаимодействовать с конкретными физическими объектами («истинные значения наших математических утверждений зависят от фактов, связанных с платоновскими сущностями, которые находятся в сфере за пределами пространства-времени» ). Хотя наше знание конкретных физических объектов основано на нашей способности воспринимать их и, следовательно, причинно взаимодействовать с ними, не существует параллельного описания того, как математики приходят к познанию абстрактных объектов. Другой способ подчеркнуть это состоит в том, что если бы платоновский мир исчез, это не имело бы никакого значения для способности математиков генерировать доказательства и т. д., которые уже полностью ответственны с точки зрения физических процессов в их мозгу.

Филд развил свои взгляды в фикционализм . Бенасерраф также разработал философию математического структурализма , согласно которой не существует математических объектов. Тем не менее, некоторые версии структурализма совместимы с некоторыми версиями реализма.

Этот аргумент основан на идее о том, что удовлетворительное натуралистическое описание мыслительных процессов с точки зрения мозговых процессов может быть дано как для математических рассуждений, так и для всего остального. Одна из линий защиты — утверждать, что это неверно, так что математические рассуждения используют некую особую интуицию , которая предполагает контакт с платоновской сферой. Современную форму этого аргумента предлагает сэр Роджер Пенроуз .

Другая линия защиты — утверждать, что абстрактные объекты имеют отношение к математическим рассуждениям некаузально и не аналогично восприятию. Этот аргумент развит Джерролдом Кацем в его книге 2000 года «Реалистический рационализм» .

Более радикальная защита – это отрицание физической реальности, то есть гипотезы математической вселенной . В этом случае математические знания математика — это контакт одного математического объекта с другим.

Эстетика

Многих практикующих математиков этот предмет привлекал из-за чувства красоты, которое они в нем чувствовали. Иногда можно услышать мнение, что математики хотели бы оставить философию философам и вернуться к математике – в чем, по-видимому, и заключается красота.

В своей работе о божественной пропорции Х. Х. Хантли соотносит чувство чтения и понимания чужого доказательства математической теоремы с чувством зрителя, наблюдающего за шедевром искусства: читатель доказательства испытывает такое же чувство восторга от понимания, как первоначальный автор доказательства, так же, как, утверждает он, зритель шедевра испытывает чувство восторга, подобное оригинальному художнику или скульптору. Действительно, математические и научные труды можно изучать как литературу .

Филип Дж. Дэвис и Рубен Херш отметили, что чувство математической красоты универсально среди практикующих математиков. В качестве примера они приводят два доказательства иррациональности √ 2 . Первое — традиционное доказательство от противного , приписываемое Евклиду ; второе — более прямое доказательство, включающее фундаментальную теорему арифметики, которая, по их мнению, затрагивает суть проблемы. Дэвис и Херш утверждают, что математики находят второе доказательство более привлекательным с эстетической точки зрения, поскольку оно приближает природу проблемы.

Пауль Эрдеш был хорошо известен своей идеей гипотетической «Книги», содержащей самые элегантные и красивые математические доказательства. Не существует единого мнения о том, что результат имеет одно «самое элегантное» доказательство; Григорий Чайтин выступил против этой идеи.

Философы иногда критиковали чувство красоты и элегантности математиков как в лучшем случае сформулированное расплывчато. Однако по той же причине философы математики пытались охарактеризовать, что делает одно доказательство более желательным, чем другое, когда оба логически обоснованы.

Другой аспект эстетики математики — это взгляды математиков на возможное использование математики в целях, которые считаются неэтичными или неуместными. Наиболее известное изложение этой точки зрения содержится в Г.Х. Харди книге «Апология математика» , в которой Харди утверждает, что чистая математика превосходит по красоте прикладную математику именно потому, что ее нельзя использовать для войны и подобных целей.

Журналы

• Philosophia Mathematica Журнал
• журнала «Философия математического образования» Домашняя страница

См. также

• Определения математики
• Официальный язык
• Основы математики
• Золотое сечение
• Теория моделей
• Нестандартный анализ
• Философия языка
• Философия логики
• Философия науки
• Философия физики
• Философия вероятности
• Правило вывода
• Научные исследования
• Научный метод

Похожие работы

• Аналитик
• Евклида Элементы
• « О формально неразрешимых предложениях Principia Mathematica и родственных системах »
• « О вычислимых числах с применением к проблеме Entscheidungs ».
• Введение в математическую философию
• « Новые основы математической логики »
• Принципы математики
• Простейшая математика

Исторические темы

• История и философия науки
• История математики
• История философии

Дальнейшее чтение

• Аристотель , « Предварительная аналитика », Хью Треденник (пер.), стр. 181–531 в «Аристотеле», том 1 , Классическая библиотека Леба , Уильям Хайнеманн, Лондон, Великобритания, 1938.
• Бенасерраф, Поль ; Патнэм, Хилари , ред. (1983). Философия математики, Избранные материалы (2-е изд.). Издательство Кембриджского университета. ISBN  9781107268135 .
• Беркли, Джордж (1734), Аналитик ; или Беседы, адресованные неверному математику. При этом исследуется, являются ли объект, принципы и выводы современного анализа более отчетливыми или более очевидными, чем «Религиозные тайны и пункты веры» , Лондон и Дублин. Интернет-текст, Дэвид Р. Уилкинс (редактор), Eprint .
• Бурбаки, Н. (2013) [1994]. Элементы истории математики . Перевод Мелдрама, Джона. Спрингер. ISBN  9783642616938 . OCLC   1076247011 .
• Чандрасекар, Субрахманян (1987). Истина и Красота. Эстетика и мотивации в науке . Издательство Чикагского университета. ISBN  9780226100876 . OCLC   1023891429 .
• Коливан, Марк (2004), «Аргументы незаменимости в философии математики», Стэнфордская энциклопедия философии , Эдвард Н. Залта (ред.), Eprint .
• Дэвис, Филип Дж .; Херш, Рубен (1981). Математический опыт . Книги Маринера.
• Девлин, Кейт (2005). Математический инстинкт: почему вы математический гений (наряду с омарами, птицами, кошками и собаками) . Пресс Громовой Пасты. ISBN  9781560256724 . OCLC   636363534 .
• Даммет, Майкл (1991). Фреге, Философия математики . Издательство Гарвардского университета. ISBN  9780674319356 .
• Даммет, Майкл (1991). Фреге и другие философы . Издательство Оксфордского университета. ISBN  9780191520051 .
• Даммет, Майкл (1993). Истоки аналитической философии . Издательство Гарвардского университета. ISBN  9780674644724 .
• Эрнест, Пол (1998). Социальный конструктивизм как философия математики . Издательство Государственного университета Нью-Йорка. ISBN  9780791435885 .
• Джордж, Александр , изд. (1994). Математика и разум . Издательство Оксфордского университета. ISBN  9780195079296 .
• Адамар, Жак (1954). Психология изобретений в математической области (2-е изд.). Дувр. ISBN  9780486201078 .
• Харди, GH (1992) [1940]. Извинения математика . Издательство Кембриджского университета. ISBN  9780521427067 .
• Харт, WD (1996). Уилбур Дайр Харт (ред.). Философия математики . Издательство Оксфордского университета. ISBN  9780198751199 .
• Хендрикс, Винсент Ф .; Лейтгеб, Ханнес, ред. (2006). Философия математики: 5 вопросов . Автоматический пресс. ISBN  9788799101351 / VIP, .Бюро противообналичивания [проверка, подтверждение зачисления, увеличение, консолидация, рефинансирование]
• Хантли, HE (1970). Божественная пропорция: исследование математической красоты . Дувр. ISBN  9780486222547 .
• Ирвин, А., изд. (2009). Философия математики . Справочник по философии науки. Северо-Голландский Эльзевир. ISBN  9780080930589 .
• Кляйн, Джейкоб (2013) [1968]. Греческая математическая мысль и происхождение алгебры . Перевод Бранна, Ева. Дувр. ISBN  9780486319810 . OCLC   841505651 .
• Клайн, Моррис (2012) [1959]. Математика и физический мир . Дувр. ISBN  9780486136318 . OCLC   868272162 .
• Клайн, Моррис (1990) [1972]. Математическая мысль от древности до современности . Издательство Оксфордского университета. ISBN  9780195061352 .
• Король, Юлиус (Дьюла) (1905). «Об основах теории множеств и проблеме континуума» . Математические летописи . 61 : 156-160. дои : 10.1007/BF01457735 . S2CID   123696953 . Перепечатано, «Об основах теории множеств и проблемы континуума», Стефан Бауэр-Менгельберг (пер.), стр. 145–149 в Жане ван Хейеноорте (редактор, 1967).
• Кернер, Стефан (1960). Философия математики. Введение . Книги Харпера. OCLC   1054045322 .
• Лакофф, Джордж ; Нуньес, Рафаэль Э. (2000). Откуда берется математика: как воплощенный разум создает математику . Основные книги. ISBN  9780465037704 .
• Лакатос, Имре (1976). Уорролл, Дж.; Захар, Э. (ред.). Доказательства и опровержения: Логика математического открытия . Издательство Кембриджского университета.
• Лакатос, Имре (1978). Уорролл, Дж.; Карри, Дж. (ред.). Математика, естествознание и эпистемология: философские статьи . Том. 2. Издательство Кембриджского университета. ISBN  9780521280303 .
• Лакатос, Имре (1968). Проблемы философии математики . Северная Голландия. OCLC   254371777 .
• Лейбниц, Г.В. (1966). Паркинсон, GHR (ред.). Логические статьи (1666–1690) . Издательство Оксфордского университета. ISBN  9780198243069 .
• Мэдди, Пенелопа (1997). Натурализм в математике . Издательство Оксфордского университета. ISBN  9780191518973 . OCLC   1200106111 .
• Мазиарц, Эдвард А .; Гринвуд, Томас (1995). Греческая математическая философия . Барнс и благородные книги. ISBN  9781566199544 .
• Маунт, Мэтью , Классическая греческая математическая философия . .
• Парсонс, Чарльз (2014). Философия математики в двадцатом веке: избранные очерки . Издательство Гарвардского университета . ISBN  978-0-674-72806-6 .
• Пирс, Бенджамин (1870), «Линейная ассоциативная алгебра», § 1. См. Пирс, Б. (1881). «Линейная ассоциативная алгебра» . Американский журнал математики . 4 (1): 97–229. дои : 10.2307/2369153 . JSTOR   2369153 .
• Пирс, CS , Сборник статей Чарльза Сандерса Пирса , тт. 1–6, Чарльз Хартшорн и Пол Вайс (ред.), тт. 7–8, Артур В. Беркс (редактор), издательство Гарвардского университета, Кембридж, Массачусетс, 1931–1935, 1958. Цитируется как CP (том). (абзац).
• Пирс, CS, различные статьи по математике и логике, многие из которых можно прочитать в Интернете по ссылкам на библиографию Чарльза Сандерса Пирса , особенно в разделах «Книги, написанные или отредактированные Пирсом», опубликованные при его жизни , и в двух последующих разделах.
• Платон, «Республика, Том 1», Пол Шори (пер.), стр. 1–535 в «Платоне», Том 5 , Классическая библиотека Леба, Уильям Хайнеманн, Лондон, Великобритания, 1930.
• Платон, «Республика, Том 2», Пол Шори (пер.), стр. 1–521 в «Платоне», том 6 , Классическая библиотека Леба, Уильям Хайнеманн, Лондон, Великобритания, 1935.
• Резник, Майкл Д. (1980). Фреге и философия математики . Корнелльский университет. ISBN  9780801412936 .
• Резник, Майкл (1997). Математика как наука о закономерностях . Кларендон Пресс. ISBN  978-0-19-825014-2 .
• Робинсон, Гилберт де Б. (1959). Основы геометрии (4-е изд.). Университет Торонто Пресс. ISBN  9780802011039 .
• Раймонд, Эрик С. (1993). «Полезность математики» .
• Смалльян, Раймонд М. (1993). Теория рекурсии для метаматематики . Издательство Оксфордского университета. ISBN  9780195082326 .
• Рассел, Бертран (1993) [1919]. Введение в математическую философию . Рутледж. ISBN  9780486277240 . OCLC   1097317975 .
• Шапиро, Стюарт (2000). Размышление о математике: философия математики . Издательство Оксфордского университета. ISBN  9780192893062 .
• Стромайер, Джон; Уэстбрук, Питер (1999). Божественная гармония, Жизнь и учение Пифагора . Книги Беркли-Хиллз. ISBN  9780985424114 .
• Стяжкин Н.И. (1975) [1969]. История математической логики от Лейбница до Пеано . МТИ Пресс. ISBN  9780262690492 .
• Тейт, Уильям В. (1986). «Истина и доказательство: Платонизм математики». Синтезируйте . 69 (3): 341–370. дои : 10.1007/BF00413978 . JSTOR   20116347 . S2CID   10240391 . Перепечатано в Hart 1996 , стр. 142–167.
• Тарский, А. (1983). Логика, семантика, метаматематика: статьи с 1923 по 1938 год (2-е изд.). Хакетт. ISBN  0-915144-76-Х .
• Улам, С.М. (2022) [1990]. Беднарек, Арканзас; Улам, Франсуаза (ред.). Аналогии между аналогиями: математические отчеты С.М. Улама и его сотрудников из Лос-Аламоса . Издательство Калифорнийского университета. ISBN  9780520302303 .
• ван Хейеноорт, Жан , изд. (2002) [1967]. От Фреге до Гёделя: справочник по математической логике, 1879–1931 . Издательство Гарвардского университета. ISBN  9780674324497 .
• Вигнер, EP (1960). «Необоснованная эффективность математики в естественных науках. Лекция Рихарда Куранта по математическим наукам, прочитанная в Нью-Йоркском университете, 11 мая 1959 года» . Сообщения по чистой и прикладной математике . 13 (1): 1–14. Бибкод : 1960CPAM...13....1W . дои : 10.1002/cpa.3160130102 . S2CID   6112252 .
• Уайлдер, Раймонд Л. (1980). Математика как культурная система . Пергамон. ISBN  9780080257969 .
• Вицани, Гюнтер (2011). «Может ли математика объяснить эволюцию человеческого языка?» . Коммуникативная и интегративная биология . 4 (5): 516–520. CiteSeerX   10.1.1.1043.1595 . дои : 10.4161/cib.16426 . ПМК   3204117 . ПМИД   22046452 .

Внешние ссылки

• Философия математики в PhilPapers
• Философия математики в проекте онтологии философии Индианы
• Хорстен, Леон. «Философия математики» . В Залте, Эдвард Н. (ред.). Стэнфордская энциклопедия философии .
• «Философия математики» . Интернет-энциклопедия философии .
  • Математический структурализм , Интернет-энциклопедия философии
  • Абстракционизм , Интернет-энциклопедия философии
  • «Людвиг Витгенштейн: Поздняя философия математики» . Интернет-энциклопедия философии .
• Лондонское учебное пособие по философии, заархивированное 23 сентября 2009 г. в Wayback Machine, предлагает множество советов о том, что читать, в зависимости от знания студентом предмета:
  • Философия математики. Архивировано 20 июня 2009 г. в Wayback Machine.
  • Математическая логика. Архивировано 25 января 2009 г. в Wayback Machine.
  • Теория множеств и дальнейшая логика. Архивировано 27 февраля 2009 г. в Wayback Machine.
• Страница философии математики Р.Б. Джонса
• Философия математики в Керли
• Корфилд, Дэвид . «Философия реальной математики - Блог» .
• Пирс, CS (1998). «22. Новые элементы (Καινα Στοιχεία)» . В проекте Peirce Edition (ред.). Основное Пирс, Избранные философские сочинения . Том. 2 (1893–1913). Издательство Университета Индианы. стр. 300–324. ISBN  9780253007810 .