Аксиома сводимости

Аксиома сводимости была введена Бертраном Расселом в начале 20 века как часть его разветвленной теории типов . Рассел разработал и ввел аксиому в попытке справиться с противоречиями, которые он обнаружил в своем анализе теории множеств .

История

С открытием Рассела (1901, 1902 г.) Из-за парадокса в книге Готлоба Фреге 1879 года «Begriffsschrift» и признания этого факта Фреге (1902 год) Рассел предварительно представил свое решение как «Приложение B: Доктрина типов» в своих « Принципах математики» 1903 года . Это противоречие можно сформулировать как «класс всех классов, которые не содержат себя в качестве элементов». В конце этого приложения Рассел утверждает, что его «доктрина» разрешила бы непосредственную проблему, поставленную Фреге, но «есть по крайней мере одно аналогичное противоречие, которое, вероятно, не разрешимо с помощью этой доктрины. Совокупность всех логических объектов, или все предложения, по-видимому, включают в себя фундаментальную логическую трудность. Каково может быть полное решение этой трудности, мне не удалось обнаружить, но поскольку оно затрагивает самые основы рассуждения...»

Ко времени его работы в 1908 г. «Математическая логика, основанная на теории типов» Рассел изучил «противоречия» (среди них парадокс Эпименида , парадокс Бурали-Форти и парадокс Ричарда ) и пришел к выводу, что «во всех противоречиях есть общая характеристика, которую мы можем описать как самореференцию или рефлексивность».

В 1903 году Рассел определил предикативные функции как функции, порядок которых на единицу больше, чем функция высшего порядка, встречающаяся в выражении этой функции. Хотя в данной ситуации это было нормально, непредикативные функции пришлось запретить:

Функция, аргументом которой является индивидуум и значение которой всегда является высказыванием первого порядка, будет называться функцией первого порядка. Функция, включающая функцию или предложение первого порядка в качестве очевидной переменной, будет называться функцией второго порядка и так далее. Функция одной переменной, которая имеет порядок, следующий за ее аргументом, будет называться предикативной функцией; такое же имя будет присвоено функции нескольких переменных [и т. д.].

Далее в статье он повторяет это определение в несколько иной форме (вместе с тонким запретом, который более четко был выражен в 1913 году):

Предикативная функция х — это функция, значения которой являются предложениями типа, следующего за типом х , если х — индивидуум или предложение, или значениями х, если х — функция. Его можно описать как такой, в котором все видимые переменные, если таковые имеются, относятся к тому же типу, что и x , или к более низкому типу; и переменная имеет более низкий тип, чем x , если она может значительно использоваться в качестве аргумента x или в качестве аргумента аргумента x и т. д. [курсив добавлен]

Это использование перешло и в книгу Альфреда Норта Уайтхеда 1913 года и Рассела «Principia Mathematica» , в которой авторы посвящают целый подраздел своей главы II: «Теория логических типов» подразделу I. Принцип порочного круга : «Мы определим функцию одного переменная как предикативная , если она имеет порядок, следующий за ее аргументом, т. е. наименьший порядок, совместимый с наличием у нее этого аргумента. Функция нескольких аргументов является предикативной, если один из ее аргументов такой, что при другом. аргументам присвоены значения, мы получаем предикативную функцию одного неопределенного аргумента».

Они снова предлагают определение предикативной функции как функции, не нарушающей Теорию логических типов. Действительно, авторы утверждают, что такие нарушения «невозможно [достичь]» и «невозможны»:

Таким образом, мы приходим к выводу, как на основании принципа порочного круга, так и путем непосредственного наблюдения, что функции, для которых данный объект а может быть аргументом, неспособны быть аргументами друг для друга и что у них нет общих терминов. с функциями, аргументами которых они могут быть. Таким образом, мы вынуждены построить иерархию.

Авторы подчеркивают слово невозможное :

если мы не ошибаемся, то для функции φz не только невозможно ^{^} иметь себя или что-либо производное от него в качестве аргумента, но что, если ψz ^{^} — это другая функция, такая, что существуют аргументы a , для которых значимы как «φa», так и «ψa», тогда ψz ^{^} и все, что вытекает из этого, не может быть существенным аргументом для φz ^{^} .

сводимости

Аксиома сводимости утверждает, что любая функция истинности (т.е. пропозициональная функция ) может быть выражена формально эквивалентной предикативной функцией истинности. Впервые оно появилось в книге Бертрана Рассела (1908) «Математическая логика, основанная на теории типов» , но только после пяти лет проб и ошибок. По его словам:

Таким образом, предикативная функция индивида является функцией первого порядка; а для более высоких типов аргументов предикативные функции занимают место, которое функции первого порядка занимают в отношении индивидов. Тогда мы предполагаем, что каждая функция эквивалентна для всех своих значений некоторой предикативной функции того же аргумента. Это предположение, по-видимому, составляет суть обычного предположения о классах [современных множествах]. . . мы будем называть это предположение аксиомой классов или аксиомой сводимости .

Для отношений (функций двух переменных, таких как «Для всех x и для всех y, тех значений, для которых f(x,y) истинно», т.е. ∀x∀y: f(x,y)), Рассел предположил аксиому отношений , или [той же] аксиомы сводимости .

В 1903 году он предложил возможный процесс вычисления такой двухзначной функции, сравнивая этот процесс с двойным интегрированием: одно за другим подставляйте в x определенные значения a _m (т. е. конкретное a _j является «константой» или хранимым параметром). константа), затем оцените f( am ₎ , y _n для всех n экземпляров возможных y _n . Для всех y _n вычислите f(a ₁ , y _n ), затем для всех y _n вычислите f( a ₂ , y _n ) и т. д., пока все x = am _не будут исчерпаны). Это создаст размером m на n матрицу значений : ИСТИНА или НЕИЗВЕСТНО. (В этом изложении использование индексов является современным удобством.)

В 1908 году Рассел не упомянул об этой матрице значений x , y , которая делает двухместную функцию (например, отношение) ИСТИННОЙ, но к 1913 году он ввел понятие матрицы в «функцию». В *12 Principia Mathematica (1913) он определяет «матрицу» как «любую функцию любого количества переменных, которая не включает никаких видимых переменных. Затем любая возможная функция, отличная от матрицы, выводится из матрицы посредством обобщения». , то есть рассматривая предложение, которое утверждает, что рассматриваемая функция истинна со всеми возможными значениями или с некоторыми значениями одного из аргументов, при этом другой аргумент или аргументы остаются неопределенными». Например, если кто-то утверждает, что «∀y: f(x, y) истинно», то x является кажущейся переменной, поскольку она не определена.

Теперь Рассел определяет матрицу «индивидов» как матрицу первого порядка и следует аналогичному процессу для определения матрицы второго порядка и т. д. Наконец, он вводит определение предикативной функции :

Функция называется предикативной, если она является матрицей. Заметим, что в иерархии, в которой все переменные являются индивидами или матрицами, матрица — это то же самое, что элементарная функция [ср. 1913:127, что означает: функция не содержит видимых переменных]. ¶ «Матрица» или «предикативная функция» — это примитивная идея.

Исходя из этих рассуждений, он затем использует ту же формулировку, чтобы предложить те же аксиомы сводимости, что и в своей работе 1908 года.

Кроме того, Рассел в своей работе «1903» рассмотрел, а затем отверг «искушение считать отношения определяемыми в расширении как класс пар». т.е. современное теоретико-множественное понятие упорядоченной пары . Интуитивная версия этого понятия появилась в книге Фреге (1879) Begriffsschrift (переведенной van Heijenoort 1967:23); «1903» Рассела внимательно следил за работами Фреге (ср. Russell 1903:505ff). Рассел беспокоился, что «необходимо придать смысл паре, отличить референт от релятива: таким образом, пара становится существенно отличной от класса двух терминов и сама должна быть введена как примитивная идея. С философской точки зрения, смысл может быть выведен только из некоторого реляционного предложения, поэтому кажется более правильным принять интенсиональный взгляд на отношения и отождествлять их скорее с классовыми понятиями, чем с классами». Как показано ниже, Норберт Винер (1914) свел понятие отношения к классу своим определением упорядоченной пары.

Критика

Цермело 1908 г.

Прямой запрет, подразумеваемый аксиомой сводимости Рассела , подвергся резкой критике со стороны Эрнста Цермело в его «Исследованиях по основам теории множеств I» 1908 года , поскольку он был уязвлен требованием, аналогичным требованию Рассела, исходившим от Пуанкаре :

По Пуанкаре (1906, с. 307), определение «предикативно» и логически допустимо только в том случае, если оно исключает все объекты, «зависящие» от определяемого понятия, т. е. которые могут каким-либо образом определяться им.

Цермело возразил:

Определение вполне может опираться на понятия, эквивалентные определяемому; действительно, в каждом определении определения и определения являются эквивалентными понятиями, и строгое соблюдение требования Пуанкаре сделало бы любое определение, а следовательно, и всю науку, невозможным.

Винер 1914 г.

В своей книге «Упрощение логики отношений » 1914 года Норберт Винер устранил необходимость в аксиоме сводимости применительно к отношениям между двумя переменными x и y , например φ( x , y ). Он сделал это, представив способ выражения отношения как набора упорядоченных пар: «Будет видно, что мы практически вернулись к трактовке Шредером отношения как класса [набора] упорядоченных пар». Ван Хейеноорт отмечает, что «[b] давая определение упорядоченной пары двухэлементов в терминах классовых операций, заметка свела теорию отношений к теории классов». Но Винер полагал, что, хотя он и предложил версию аксиомы *12.11 Рассела и Уайтхеда с двумя переменными, версия аксиомы сводимости с одной переменной для (аксиома *12.1 в Principia Mathematica ) все еще необходима.

Витгенштейн 1918 г.

Людвиг Витгенштейн , находясь в заключении в лагере для военнопленных, закончил свой «Логико-философский трактат» . Во введении он отдает должное «великим работам Фреге и трудам моего друга Бертрана Рассела». Не будучи скромным интеллектуалом, он заявил, что «истинность изложенных здесь мыслей кажется мне неоспоримой и окончательной. Поэтому я придерживаюсь мнения, что проблемы, по существу, наконец решены». Поэтому, учитывая такое отношение, неудивительно, что теория типов Рассела подвергается критике:

3.33

В логическом синтаксисе значение знака никогда не должно играть роли; он должен допускать установление без упоминания при этом значения знака ; оно должно предполагать только описание выражений.

3.331

Рассела Из этого наблюдения мы получаем дальнейший взгляд на теорию типов . Ошибка Рассела проявляется в том, что при составлении своих символических правил ему приходится говорить о значении знаков.

3.332

Никакое предложение ничего не может сказать о себе, потому что знак предложения не может содержаться в себе (в этом и состоит «вся теория типов»).

3.333

Функция не может быть собственным аргументом, поскольку функциональный знак уже содержит прототип собственного аргумента и не может содержать самого себя. ... При этом парадокс Рассела исчезает.

Похоже, это подтверждает тот же аргумент, который Рассел использует, чтобы стереть свой «парадокс». Это «использование знаков», чтобы «говорить о знаках», Рассел критикует в своем введении, предшествовавшем оригинальному английскому переводу:

Колебания вызывает тот факт, что, в конце концов, г-н Витгенштейн умудряется сказать многое о том, чего нельзя сказать, предполагая тем самым скептически настроенного читателя, что, возможно, существует какая-то лазейка в иерархии языков или какой-то другой выход.

Эта проблема возникает позже, когда Витгенштейн приходит к этому мягкому отрицанию аксиомы сводимости — одна из интерпретаций следующего состоит в том, что Витгенштейн говорит, что Рассел совершил (так называемую сегодня) категориальную ошибку ; Рассел утвердил (ввел в теорию) «дальнейший закон логики», когда все законы (например, неограниченный штрих Шеффера , принятый Витгенштейном) уже утверждены:

6.123

Ясно, что законы логики сами по себе не могут подчиняться дальнейшим логическим законам. (Не существует, как предполагал Рассел, для каждого «типа» особого закона противоречия; но одного достаточно, поскольку он не применяется к самому себе.)

6.1231

Отличительной чертой логических предложений является не их общая значимость. Быть общим — значит лишь случайно быть действительным для всех вещей. Необобщенное предложение может быть тавтологичным так же, как и обобщенное.

6.1232

Логическую общую значимость мы могли бы назвать существенной, а не случайной общей достоверностью, например, утверждения «все люди смертны». Предложения, подобные «аксиоме сводимости» Рассела, не являются логическими предложениями, и это объясняет наше ощущение, что, если они истинны, они могут быть истинными только по счастливой случайности.

6.1233

Мы можем представить себе мир, в котором аксиома сводимости недействительна. Но ясно, что логика не имеет никакого отношения к вопросу о том, действительно ли наш мир таков или нет.

Рассел 1919 г.

Бертран Рассел в своем «Введении в математическую философию» 1919 года , нематематическом дополнении к его первому изданию PM , обсуждает свою аксиому сводимости в главе 17 «Классы » (стр. 146ff). Он заключает, что «мы не можем принять «класс» как примитивную идею; символы классов — это «простые удобства», а классы — это «логические фикции или (как мы говорим) «неполные символы»... классы не могут рассматриваться как часть из окончательного убранства мира» (с. 146). Причина этого кроется в проблеме непредикативности: «классы не могут рассматриваться как виды индивидов из-за противоречия относительно классов, которые не являются членами самих себя». ... и потому что мы можем доказать, что число классов больше, чем количество индивидуумов, [и т. д.]». Затем он предлагает пять обязательств, которые должны быть выполнены в отношении теории классов, и результат таков: его аксиома сводимости. Он утверждает, что эта аксиома является «обобщенной формой тождества неразличимых Лейбница» (стр. 155). Но он заключает, что предположение Лейбница не обязательно верно для всех возможных предикатов во всех возможных мирах, поэтому он заключает, что:

Я не вижу никаких оснований полагать, что аксиома сводимости логически необходима, и именно это подразумевали бы, говоря, что она истинна во всех возможных мирах. Поэтому допущение этой аксиомы в систему логики является дефектом... сомнительным предположением. (стр. 155)

Цель, которую он ставит перед собой тогда, — «корректировка своей теории» ухода от занятий:

в его сведении номинальных предложений о классах к предложениям об их определяющих функциях. Избегание классов как сущностей с помощью этого метода, казалось бы, должно быть в принципе разумным, однако детали все же могут потребовать корректировки. (стр. 155)

Сколем 1922 г.

Торальф Скулем в своей книге « Некоторые замечания по аксиоматизированной теории множеств» ( 1922 г. ) выражал далеко не положительное отношение к «Расселу и Уайтхеду» (т.е. к их работе Principia Mathematica ):

До сих пор, насколько мне известно, достаточно общее признание нашла только одна такая система аксиом, а именно система, построенная Цермело (1908). Рассел и Уайтхед также построили систему логики, которая обеспечивает основу теории множеств; однако, если я не ошибаюсь, математики мало этим интересовались.

Затем Скулем рассматривает проблемы того, что он назвал «непредикативным определением» в теории множеств Цермело:

трудность состоит в том, что нам приходится формировать некоторые множества, существование которых зависит от всех множеств... Пуанкаре назвал этот вид определения и считал его настоящей логической слабостью теории множеств.

Хотя Скулем в основном решает проблему теории множеств Цермело, он делает следующее наблюдение об аксиоме сводимости :

они [Рассел и Уайтхед] тоже просто довольствуются обходом этой трудности путем введения оговорки, аксиомы сводимости . На самом деле эта аксиома утверждает, что непредикативные условия будут выполнены. Этому нет никаких доказательств; кроме того, насколько я понимаю, такое доказательство должно быть невозможно с точки зрения Рассела и Уайтхеда, так же как и с точки зрения Цермело. [курсив добавлен]

Рассел, 1927 г.

В своем «Введении» ко второму изданию Principia Mathematica 1927 года Рассел критикует свою собственную аксиому:

Одним из моментов, в отношении которого очевидно желательно улучшение, является аксиома сводимости (*12.1.11). Эта аксиома имеет чисто прагматическое обоснование: она приводит к желаемым результатам и ни к каким другим. Но очевидно, что это не та аксиома, которой мы можем довольствоваться. Однако по этому вопросу нельзя сказать, что удовлетворительное решение пока достигнуто. ... Есть еще один курс, рекомендованный Витгенштейном † [† Tractatus Logico-Philosophicus , *5.54ff] по философским причинам. Это значит предположить, что функции предложений всегда являются функциями истинности и что функция может проявляться, как и в предложении, только через его значения. Есть трудности... Отсюда следует, что все функции функций экстенсиональны. ... [Но последствия его логики заключаются в том, что] теория бесконечного дедекиндизма и хорошего порядка рушится, так что иррациональные числа и действительные числа в целом больше не могут быть адекватно рассмотрены. Также доказательство Кантора, что 2 ^н > n нарушается, если n не конечно. Возможно, какая-то дополнительная аксиома, менее спорная, чем аксиома сводимости, могла бы дать эти результаты, но нам не удалось найти такую ​​аксиому.

5.54ff Витгенштейна больше сосредоточен на понятии функции :

5.54

В общей пропозициональной форме предложения встречаются в предложении только как основания операций истинности.

5.541

На первый взгляд кажется, что существует и другой способ, которым одно предложение может произойти в другом. ¶ Особенно в некоторых пропозициональных формах психологии, таких как «А думает, что р имеет место » или «А думает, что р » и т. д. ¶ Здесь поверхностно кажется, будто пропозиция р находится по отношению к объекту А в своего рода отношении . ¶ (И в современной эпистемологии [Рассел, Мур и т. д.] эти положения были сформулированы именно таким образом.)

5.542

Но ясно, что «А полагает, что р» , «А думает р », «А говорит р » имеют форму «' р ' думает р »; и здесь мы не имеем координации факта и объекта, а координация фактов посредством координации их объектов.

5.5421 [и т. д.: «Составная душа больше не будет душой».]5.5422

Правильное объяснение формы предложения «А судит р » должно показать, что о бессмыслице судить нельзя. (Теория Рассела этому условию не удовлетворяет).

Возможная интерпретация позиции Витгенштейна состоит в том, что мыслитель A ie ' p ' тождественно мысли p , таким образом, «душа» остается единицей, а не составной частью. Таким образом, произносить «мысль думает мысль» — это нонсенс, потому что согласно 5.542 высказывание ничего не конкретизирует.

фон Нейман 1925 г.

Джон фон Нейман в своей книге «Аксиоматизация теории множеств» 1925 года боролся с теми же проблемами, что и Рассел, Цермело, Сколем и Френкель. Он категорически отверг попытку Рассела:

Здесь следует упомянуть Рассела, Дж. Кенига, Вейля и Брауэра. Они пришли к совершенно иным результатам [от теоретиков множеств], но общий эффект от их деятельности кажется мне совершенно разрушительным. У Рассела вся математика и теория множеств, похоже, опираются на весьма проблематичную «аксиому сводимости», в то время как Вейль и Брауэр систематически отвергают большую часть математики и теории множеств как совершенно бессмысленную.

Затем он отмечает работу теоретиков множеств Цермело, Френкеля и Шенфлиса, в которых «под «множеством» понимают не что иное, как объект, о котором мы не знаем больше и не хотим знать больше, чем то, что следует о нем из постулатов. постулаты [теории множеств] должны быть сформулированы таким образом, чтобы из них следовали все желаемые теоремы теории множеств Кантора, но не антиномии.

Хотя он упоминает попытки Давида Гильберта доказать последовательность его аксиоматизации математики. фон Нейман поместил его в одну группу с Расселом. Скорее, фон Нейман считал свое предложение «соответствующим духу второй группы... Однако мы должны избегать образования множеств путем сбора или разделения элементов [durch Zusammenfassung oder Aussonderung von Elementen] и т. д., а также избегать неясный принцип «определенности», который все еще можно найти у Цермело [...] Мы предпочитаем, однако, аксиоматизировать не «множество», а «функцию».

Ван Хейеноорт отмечает, что в конечном итоге эта аксиоматическая система фон Неймана «была упрощена, пересмотрена и расширена... и стала известна как теория множеств фон Неймана-Бернейса-Гёделя ».

Дэвид Гильберт, 1927 г.

Дэвида Гильберта , Аксиоматическая система которую он представляет в своей книге «Основы математики» 1925 года , представляет собой зрелое выражение задачи, которую он поставил перед собой в начале 1900-х годов, но на некоторое время отложил ее (ср. его работу « Об основах логики и арифметики» 1904 года ). Его система не является ни теоретико-множественной, ни полученной непосредственно от Рассела и Уайтхеда. Скорее, он вызывает 13 аксиом логики — четыре аксиомы импликации, шесть аксиом логического И и логического ИЛИ, 2 аксиомы логического отрицания и 1 ε-аксиому («аксиома существования») — плюс версию аксиом Пеано в 4 аксиомы, включая математическую индукцию , некоторые определения, которые «имеют характер аксиом, и некоторые аксиомы рекурсии , которые являются результатом общей схемы рекурсии». плюс некоторые правила формирования, которые «регулируют использование аксиом».

Гильберт утверждает, что в отношении этой системы, то есть «теории оснований Рассела и Уайтхеда [,] ... основа, которую она обеспечивает математике, опирается сначала на аксиому бесконечности, а затем на то, что называется аксиомой сводимость, и обе эти аксиомы являются подлинными содержательными предположениями, не подкрепленными доказательством непротиворечивости, это предположения, достоверность которых на самом деле остается сомнительной и которые, во всяком случае, моя теория не требует... сводимости в моей не предполагается; теории... выполнение редукции потребовалось бы только в том случае, если было бы дано доказательство противоречия, и тогда, согласно моей теории доказательства, эта редукция всегда была бы обязательно успешной».

Именно на этом фундаменте зиждется современная теория рекурсии .

Рэмси 1925 г.

В 1925 году Фрэнк Пламптон Рэмси утверждал, что в этом нет необходимости. Однако во втором издании Principia Mathematica (1927, стр. xiv) и в статье Рэмси 1926 года утверждается, что некоторые теоремы о действительных числах не могут быть доказаны с использованием подхода Рамсея. Гильберта формализм или Брауэра Большинство более поздних математических формализмов (например , интуиционизм ) не используют его.

Рэмзи показал, что можно переформулировать определение предикатива , используя определения из Витгенштейна » «Логико-философского трактата . В результате все функции данного порядка предикативны , независимо от того, как они выражены. Далее он показывает, что его формулировка все еще избегает парадоксов. Однако теория «Трактата» оказалась недостаточно сильной, чтобы доказать некоторые математические результаты.

Гёдель 1944 г.

Курт Гёдель в своей «Математической логике Рассела» 1944 года предлагает, по словам своего комментатора Чарльза Парсонса, «[что] можно рассматривать как защиту этих [реалистических] взглядов Рассела против редукционизма, заметного в его философии и подразумеваемого в большей части его фактических взглядов. Это была, пожалуй, самая надежная защита реализма в отношении математики и ее объектов со времен парадоксов, дошедших до сознания математического мира после 1900 года».

В целом Гёдель симпатизирует идее о том, что пропозициональную функцию можно свести (отождествить с) с реальными объектами , которые ей удовлетворяют, но это вызывает проблемы в отношении теории действительных чисел и даже целых чисел (стр. 134). Он отмечает, что первое издание ПМ «отказалось» от реалистической (конструктивистской) «позиции» своим предложением аксиомы сводимости (стр. 133). Однако во введении ко второму изданию PM (1927) Гёдель утверждает, что «конструктивистская позиция снова возобновляется» (стр. 133), когда Рассел «отказался» от аксиомы сводимости в пользу матричной (истинно-функциональной) теории. ; Рассел «явно заявил, что все примитивные предикаты принадлежат к низшему типу и что единственная цель переменных (и, очевидно, также и констант) состоит в том, чтобы сделать возможным утверждение более сложных функций истинности атомарных предложений... [т.е.] типы и порядки — это исключительно façon de parler » (с. 134). Но это работает только тогда, когда число индивидов и примитивных предикатов конечно, поскольку можно построить конечные строки символов, такие как:

$x=a_{1}\vee x=a_{2}\vee \dots \vee x=a_{k}$ [пример на странице 134]

И из таких строк можно формировать строки строк, получая эквивалент классов классов, причем возможно смешение типов. Однако из таких конечных строк невозможно построить всю математику, поскольку они не могут быть «анализированы», т.е. сведены к закону тождества или опровергнуты отрицанием закона:

Даже теория целых чисел является неаналитической, если от правил исключения требовать, чтобы они позволяли реально осуществлять исключение за конечное число шагов в каждом случае. ⁴⁴ ( ⁴⁴ Потому что это подразумевало бы существование процедуры решения для всех арифметических предложений. См. Тьюринг 1937. ) ... [Таким образом] вся математика применительно к предложениям бесконечной длины должна предполагаться для доказательства аналитичности [теории целых чисел], например, можно доказать, что аксиома выбора равна аналитична только в том случае, если предполагается, что она истинна. (стр. 139)

Но он отмечает, что «эта процедура, по-видимому, предполагает арифметику в той или иной форме» (стр. 134), и в следующем абзаце он заявляет, что «вопрос о том, может ли (и в какой степени) теория целых чисел быть получена на основе основу разветвленной иерархии следует считать неразгаданной». (стр. 135)

Гёдель предложил придерживаться «более консервативного подхода»:

уточнить значение терминов «класс» и «понятие» и создать непротиворечивую теорию классов и понятий как объективно существующих сущностей. Именно по этому пути шло фактическое развитие математической логики... Основными попытками в этом направлении... являются простая теория типов... и аксиоматическая теория множеств, обе из которых оказались успешными, по крайней мере, в в такой степени, что они позволяют вывести современную математику и в то же время избежать всех известных парадоксов. Однако многие симптомы слишком ясно показывают, что примитивные понятия нуждаются в дальнейшем разъяснении. (стр. 140)

Куайн 1967

В критике, в которой также обсуждаются плюсы и минусы Рэмси (1931). У.В.О. Куайн называет формулировку «типов» Рассела «проблемной… путаница сохраняется, пока он пытается определить « предложения n- го порядка»… метод действительно странно коварный… аксиома сводимости скромна. ", и т. д.

Как и Стивен Клини , Куайн отмечает, что Рэмси (1926) разделил различные парадоксы на две разновидности (i) «парадоксы чистой теории множеств» и (ii) те, которые получены из «семантических концепций, таких как ложность и конкретизируемость», и Рэмси считал, что вторую разновидность следовало исключить из решения Рассела. Куайн заканчивает мнением, что «из-за смешения предложений с предложениями и атрибутов с их выражениями предполагаемое Расселом решение семантических парадоксов в любом случае было загадочным».

Клини 1952

В своем разделе «§12. Первые выводы из парадоксов» (подраздел «ЛОГИЦИЗМ») Стивен Клини (1952) прослеживает развитие теории типов Рассела:

Чтобы адаптировать логистическое [sic] построение математики к ситуации, возникшей в результате открытия парадоксов, Рассел исключил непредикативные определения своей разветвленной теорией типов (1908, 1910).

Клини отмечает, что «чтобы исключить непредикативные определения внутри типа, типы выше типа 0 [первичные объекты или индивидуумы, «не подвергнутые логическому анализу»] далее разделяются на порядки. Таким образом, для типа 1 [свойства индивидов, т.е. логические результаты исчисление высказываний ], свойства, определенные без упоминания какой-либо совокупности, принадлежат порядку 0, а свойства, определенные с использованием совокупности свойств данного порядка ниже до следующего более высокого порядка)».

Клини, однако, в скобках замечает, что «логистическое определение натурального числа теперь становится предикативным, когда [свойство] P в нем указано, что оно распространяется только на свойства заданного порядка; в [этом] случае свойство быть натуральным числом равно следующего более высокого порядка». Но такое разделение на порядки делает невозможным построение привычного анализа, который (см. пример Клини в «Непредикативности ») содержит непредикативные определения. Чтобы избежать такого исхода, Рассел постулировал свою аксиому сводимости . Но, задается вопросом Клини, «на каком основании мы должны верить в аксиому сводимости?» Он отмечает, что, хотя Principia Mathematica представлена ​​как производная от интуитивно выведенных аксиом, которые «предназначались для того, чтобы в них верили о мире или, по крайней мере, принимали их как правдоподобные гипотезы относительно мира [,] ... если свойства должны быть построено, дело должно решаться на основе построений, а не аксиомы». Действительно, он цитирует Уайтхеда и Рассела (1927), ставящих под сомнение свою собственную аксиому: «очевидно, что это не та аксиома, которой мы можем довольствоваться».

Клини ссылается на работу Рэмси 1926, но отмечает, что «ни Уайтхеду, Расселу, ни Рэмси не удалось конструктивно достичь логистической цели» и «интересное предложение... Лэнгфорда 1927 и Карнапа 1931-2 также не лишено трудностей. " Клини заканчивает это обсуждение цитатами из Вейля (1946), что «система Principia Mathematica ... [основана] на своего рода рае для логиков», и любой, «кто готов поверить в этот «трансцендентальный мир», может также принять система аксиоматической теории множеств (Цермело, Френкель и т. д.), которая с точки зрения математики имеет то преимущество, что она проще по структуре».

Ссылки

• ван Хейеноорт, Жан (1967, 3-е издание 1976 г.), От Фреге до Геделя: справочник по математической логике, 1879–1931 , издательство Гарвардского университета, Кембридж, Массачусетс, ISBN   0-674-32449-8 (пбк)
• Рассел, Бертран (1903) Принципы математики: Vol. 1 , Кембридж в University Press, Кембридж, Великобритания, переиздано в виде книги Google.
• Уайтхед, Альфред Норт и Рассел, Бертран (1910–1913, 2-е издание 1927 г., переиздание 1962 г.), Principia Mathematica до *56 , Кембридж в University Press, Лондон, Великобритания, нет ISBN или номера карточного каталога США.
• Марио Ливио (2009), Бог — математик? , Саймон и Шустер, Нью-Йорк, штат Нью-Йорк, ISBN   978-0-7432-9405-8 .

Внешние ссылки

• Аксиома сводимости в PhilPapers