Непредикативность
В математике , логике и математики непредикативным . является самоотносящееся определение философии Грубо говоря, определение является непредикативным, если оно вызывает (упоминает или дает количественную оценку) определяемый набор или (чаще) другой набор, который содержит определяемую вещь. Не существует общепринятого точного определения того, что значит быть предикативным или непредикативным. Авторы дали разные, но связанные определения.
Противоположностью непредикативности является предикативность, которая, по сути, влечет за собой построение стратифицированных (или разветвленных) теорий, в которых количественная оценка типа на одном «уровне» приводит к появлению типов на новом, более высоком уровне. Прототипическим примером является интуиционистская теория типов , которая сохраняет разветвление (без явных уровней), чтобы отказаться от непредикативности. «Уровни» здесь соответствуют количеству уровней зависимости в определении термина.
Парадокс Рассела — известный пример непредикативной конструкции, а именно множества всех множеств, которые не содержат самих себя. Парадокс заключается в том , что такое множество не может существовать: если бы оно существовало, можно было бы задать вопрос, содержит ли оно самого себя или нет: если оно есть, то по определению оно не должно существовать, а если нет, то по определению должно.
Самая большая нижняя граница множества X , glb( X ) , также имеет непредикативное определение: y = glb( X ) когда для всех элементов x из X y тогда и только тогда , меньше или равен x , а любой z меньше больше или равно всем элементам X меньше или равно y . Это определение дает количественную оценку множества (потенциально бесконечного , в зависимости от рассматриваемого порядка ), члены которого являются нижними границами X , одним из которых является сам glb. Следовательно, предикативизм отверг бы это определение. [1]
История [ править ]
Нормы (содержащие одну переменную), не определяющие классы, я предлагаю называть непредикативными ; те, которые определяют классы, я назову предикативными .
( Рассел 1907 , стр.34) (Рассел использовал слово «норма» для обозначения суждения: примерно чего-то, что может принимать значения «истинно» или «ложно».)
Термины «предикативный» и «импредикативный» были введены Расселом (1907) , хотя их значение с тех пор немного изменилось.
Соломон Феферман представляет исторический обзор предикативности, связывая ее с актуальными нерешенными исследовательскими проблемами. [2]
Принцип порочного круга был предложен Анри Пуанкаре (1905–6, 1908). [3] и Бертран Рассел после парадоксов как требование легитимных спецификаций множества. Множества, не удовлетворяющие этому требованию, называются непредикативными .
Первый современный парадокс появился в книге Чезаре Бурали-Форти « в 1897 году. Вопрос о трансфинитных числах» [4] и стал известен как парадокс Бурали-Форти . Георг Кантор, по-видимому, обнаружил тот же парадокс в своей «наивной» теории множеств , и это стало известно как парадокс Кантора . Осознание проблемы Расселом зародилось в июне 1901 года. [5] с чтением трактата Фреге по математической логике , его Begriffsschrift 1879 года ; оскорбительное предложение в деле Фреге следующее:
С другой стороны, может оказаться и так, что аргумент определен, а функция неопределенна. [6]
Другими словами, для данного f ( a ) функция f является переменной, а a — инвариантной частью. Так почему бы не заменить само значение f ( a ) значением f ? Рассел сразу же написал Фреге письмо, в котором указывалось, что:
Вы утверждаете... что функция тоже может выступать в роли неопределенного элемента. В это я раньше верил, но теперь эта точка зрения кажется мне сомнительной из-за следующего противоречия. Пусть w будет предикатом: быть предикатом, который не может быть предикатом сам по себе. Может ли w быть высказанным о самом себе? Из каждого ответа следует противоположное. Следовательно, мы должны заключить, что w не является предикатом. Точно так же не существует класса (как совокупности) тех классов, каждый из которых, взятый как совокупность, не принадлежал бы самому себе. Из этого я делаю вывод, что при определенных обстоятельствах определимая совокупность не образует целостности. [7]
Фреге тут же ответил Расселу, признав наличие проблемы:
Ваше открытие противоречия вызвало у меня величайшее удивление и, я бы даже сказал, ужас, поскольку оно пошатнуло основу, на которой я намеревался строить арифметику. [8]
Хотя эта проблема имела неблагоприятные личные последствия для обоих мужчин (у обоих были работы в типографиях, которые пришлось исправлять), ван Хейеноорт отмечает, что «Парадокс потряс мир логиков, и грохот ощущается до сих пор... Парадокс Рассела Парадокс, который использует простые понятия множества и элемента, непосредственно относится к области логики. Парадокс был впервые опубликован Расселом в « Принципах математики» (1903) и обсуждается там очень подробно...». [9] Рассел, после шести лет фальстартов, в конечном итоге ответил на этот вопрос своей теорией типов 1908 года, «предложив свою аксиому сводимости . Она гласит, что любая функция соразмерна тому, что он называет предикативной функцией: функцией, в которой типы кажущиеся переменные не превышают типов аргументов». [10] Но эта «аксиома» встретила сопротивление со всех сторон.
Отказ от непредикативно определенных математических объектов (при принятии натуральных чисел в их классическом понимании) приводит к позиции в философии математики , известной как предикативизм, которую отстаивают Анри Пуанкаре и Герман Вейль в его «Континууме» . Пуанкаре и Вейль утверждали, что непредикативные определения проблематичны только тогда, когда одно или несколько основных множеств бесконечны.
Эрнст Цермело в своей работе 1908 года «Новое доказательство возможности хорошего порядка». [11] представляет целый раздел «Б. Возражение относительно непредикативного определения », где он выступал против «Пуанкаре (1906, стр. 307) [который утверждает, что] определение является «предикативным» и логически допустимым только в том случае, если оно исключает все объекты, которые зависят от понятие определенное, то есть то, что может каким-либо образом определяться им». [12] Он приводит два примера непредикативных определений - (i) понятие цепей Дедекинда и (ii) «в анализе, где максимум или минимум ранее определенного «завершенного» набора чисел Z используется для дальнейших выводов. Это происходит, например, , в известном доказательстве Коши...". [13] Он заканчивает свой раздел следующим наблюдением: «Определение вполне может опираться на понятия, эквивалентные определяемому; действительно, в каждом определении definiens и definiendum являются эквивалентными понятиями, и строгое соблюдение требования Пуанкаре сделало бы каждое определение , следовательно, вся наука невозможна». [14]
Пример минимума и максимума ранее определенного «завершенного» набора чисел, приведенный Цермело, снова появляется в Kleene 1952:42-42, где Клини использует пример наименьшей верхней границы в своем обсуждении непредикативных определений; Клини не решает эту проблему. В следующих параграфах он обсуждает попытку Вейля в его Континууме « , имеющее верхнюю границу , » 1918 года устранить непредикативные определения и его неспособность сохранить «теорему о том, что произвольное непустое множество М действительных чисел имеет наименьшую верхнюю границу ( ср. также Вейль 1919)». [15]
Рэмси утверждал, что «импредикативные» определения могут быть безвредными: например, определение «самый высокий человек в комнате» непредикативно, поскольку оно зависит от набора вещей, элементом которых оно является, а именно от набора всех людей в комнате. комната. Что касается математики, примером непредикативного определения является наименьшее число в наборе, которое формально определяется как: y = min( X ) когда для всех элементов x из X тогда и только тогда , y меньше или равен x , и y находится X. в
Берджесс (2005) довольно подробно обсуждает предикативные и импредикативные теории в контексте логики Фреге , арифметики Пеано , арифметики второго порядка и аксиоматической теории множеств .
См. также [ править ]
Примечания [ править ]
- ^ Клини 1952: 42–43
- ^ Соломон Феферман, « Предикативность » (2002).
- ^ даты взяты из Клини 1952:42.
- ^ Комментарий ван Хейеноорта перед Бурали-Форти (1897). Вопрос о трансфинитных числах в ван Хейеноорте 1967: 104; Георга Кантора Дедекинду» (1899) см. также его комментарий к « Письму в van Heijenoort 1967:113.
- ↑ Комментарий ван Хейеноорта перед письмом Бертрана Рассела Фреге в ван Хейеноорте 1967:124
- ^ Готтлоб Фреге (1879) концептуальное письмо в ван Хейеноорте 1967:23
- ^ Письмо Бертрана Рассела Фреге 1902 года в ван Хейеноорте 1967: 124-125
- ↑ Письмо Готлоба Фреге (1902) Расселу в ван Хидженоорте 1967:127
- ^ Комментарий Ван Хейеноорта перед письмом Бертрана Рассела (1902) Фреге 1967: 124
- ^ Комментарий Уилларда В. Куайна к книге Бертрана Рассела 1908 года « Математическая логика, основанная на теории типов».
- ^ Цермело 1908 .
- ^ ван Хейеноорт 1967:190
- ^ ван Хейеноорт 1967: 190–191
- ^ ван Хейеноорт 1967:191
- ^ Клини 1952:43
Ссылки [ править ]
- «Предикативные и импредикативные определения» , Интернет-энциклопедия философии.
- Статья PlanetMath о предикативизме
- Джон Берджесс , 2005. Исправляем Фреге . Принстонский университет. Нажимать.
- Соломон Феферман , 2005, « Предикативность » в Оксфордском справочнике по философии математики и логики . Издательство Оксфордского университета: 590–624.
- Рассел, Б. (1907), «О некоторых трудностях теории трансфинитных чисел и порядковых типов» , Proc. Лондонская математика. Соц. , с2–4 (1): 29–53, doi : 10.1112/plms/s2-4.1.29
- Стивен К. Клини, 1952 (издание 1971 года), «Введение в метаматематику» , издательство North-Holland Publishing Company, Амстердам, штат Нью-Йорк, ISBN 0-7204-2103-9 . В частности, см. его §11 «Парадоксы» (стр. 36–40) и §12 «Первые выводы из парадоксов ИМПРЕДИКАТИВНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ» (стр. 42). Он заявляет, что все его шесть (знаменитых) примеров парадоксов (антиномий) являются примерами непредикативных определений, и говорит, что Пуанкаре (1905–6, 1908) и Рассел (1906, 1910) «объявили причину парадоксов ложью». Однако в этих непредикативных определениях» (стр. 42) «части математики, которые мы хотим сохранить, особенно анализ, также содержат непредикативные определения». (там же). Вейль в своей книге 1918 года («Das Kontinuum») попытался получить как можно больше результатов анализа без использования непредикативных определений, «но не теорему о том, что произвольное непустое множество M действительных чисел, имеющее верхнюю границу, имеет наименьшее верхняя граница (ср. также Weyl 1919)» (стр. 43).
- Ганс Райхенбах, 1947, Элементы символической логики , Dover Publications, Inc., Нью-Йорк, ISBN 0-486-24004-5 . См. его §40. Антиномии и теория типов (стр. 218 - где он демонстрирует, как создавать антиномии, включая определение самого непредсказуемого («Непредсказуемо ли определение «непредсказуемого»?»). Он утверждает, что показывает методы устранения «парадоксов». синтаксиса» («логические парадоксы») — с помощью теории типов — и «парадоксы семантики» — с помощью метаязыка (его «теории уровней языка»). Расселу и, более конкретно, Рэмси.
- Жан ван Хейенорт 1967, третье издание 1976 г., От Фреге до Гёделя: справочник по математической логике, 1879–1931 , издательство Гарвардского университета, Кембридж, Массачусетс, ISBN 0-674-32449-8 (пбк.)
- Цермело, Э. (1908), «Новое доказательство возможности хорошего порядка» , Mathematical Annals (на немецком языке), 65 : 107–128, doi : 10.1007/BF01450054 , JFM 38.0096.02