Принцип порочного круга

Принцип порочного круга — это принцип, который был одобрен многими математиками- предикативистами в начале 20 века для предотвращения противоречий. Принцип гласит, что ни один объект или свойство не может быть введен посредством определения, которое зависит от самого этого объекта или свойства. В дополнение к исключению определений, которые являются явно циклическими (например, «объект имеет свойство P , если только он не находится рядом с чем-либо, имеющим свойство P »), этот принцип исключает определения, которые количественно оценивают домены, которые включают определяемую сущность. Таким образом, он блокирует парадокс Рассела , который определяет множество R , содержащее все множества, которые не содержат самих себя. Это определение заблокировано, поскольку оно определяет новый набор в терминах совокупности всех наборов, членом которых сам этот новый набор будет.

Однако он также блокирует одно стандартное определение натуральных чисел . Во-первых, мы определяем свойство как « наследственное », если всякий раз, когда число n обладает этим свойством, то же самое имеет и n +1. Тогда мы говорим, что x обладает свойством быть натуральным числом тогда и только тогда, когда оно обладает всеми наследственными свойствами, которыми обладает 0. Это определение заблокировано, поскольку оно определяет «натуральное число» в терминах совокупности всех наследственных свойств, но «натуральное число» само по себе будет таким наследственным свойством, поэтому в этом смысле определение является закольцованным.

Большинство современных математиков и философов математики считают, что это конкретное определение не является круговым в каком-либо проблемном смысле, и поэтому отвергают принцип порочного круга. Но ее поддержали многие исследователи начала 20-го века, в том числе Бертран Рассел и Анри Пуанкаре . С другой стороны, Фрэнк П. Рэмси и Рудольф Карнап приняли запрет на явную цикличность, но выступили против запрета на круговую количественную оценку. В конце концов, определение «пусть Т будет самым высоким мужчиной в комнате» определяет Т посредством количественной оценки области (мужчины в комнате), которой Т членом является. Но это не проблема, полагают они, потому что определение на самом деле не создает человека, а просто показывает, как выделить его из совокупности. Точно так же, предполагают они, определения на самом деле не создают наборы, свойства или объекты, а, скорее, просто дают один из способов выбрать уже существующую сущность из коллекции, частью которой она является. Таким образом, такого рода цикличность с точки зрения количественной оценки не может вызвать никаких проблем.

Этот принцип стал причиной разработки Расселом разветвленной теории типов, а не теории простых типов . (См. «Разветвленная иерархия и импредикативные принципы». )

Анализ парадоксов, которых следует избегать, показывает, что все они являются результатом своего рода порочного круга. Рассматриваемые порочные круги возникают из-за предположения, что коллекция объектов может содержать элементы, которые могут быть определены только посредством коллекции в целом. Так, например, предполагается, что совокупность пропозиций содержит пропозицию, утверждающую, что «все пропозиции либо истинны, либо ложны». Казалось бы, однако, что такое утверждение не могло бы быть легитимным, если бы «все предложения» не относились к некоторой уже определенной совокупности, чего оно не может сделать, если новые предложения создаются утверждениями обо «всех предложениях». Поэтому нам придется сказать, что утверждения обо «всех предложениях» бессмысленны… Принцип, который позволяет нам избегать незаконных тотальностей, можно сформулировать следующим образом: «Все, что включает в себя всю совокупность, не должно быть частью совокупности»; или, наоборот: «Если бы определенная коллекция имела сумму, в ней были бы члены, определяемые только через эту сумму, то указанная коллекция не имеет суммы». Мы назовем это «принципом порочного круга», потому что он позволяет нам избежать порочных кругов, возникающих при допущении нелегитимных целостностей. (Уайтхед и Рассел 1910, 37) (цитируется по в Стэнфордской энциклопедии философии Статья о парадоксе Рассела )

См. также

• Самоссылка
• Круговое определение (например, закон Хофштадтера )

Внешние ссылки

• Разветвленная иерархия и импредикативные принципы