~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Arc.Ask3.Ru ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 
Номер скриншота №:
✰ 4C779F3E5B510383D4101BE75D54A645__1711330500 ✰
Заголовок документа оригинал.:
✰ Infinite set - Wikipedia ✰
Заголовок документа перевод.:
✰ Бесконечное множество — Википедия ✰
Снимок документа находящегося по адресу (URL):
✰ https://en.wikipedia.org/wiki/Infinite_set ✰
Адрес хранения снимка оригинал (URL):
✰ https://arc.ask3.ru/arc/aa/4c/45/4c779f3e5b510383d4101be75d54a645.html ✰
Адрес хранения снимка перевод (URL):
✰ https://arc.ask3.ru/arc/aa/4c/45/4c779f3e5b510383d4101be75d54a645__translat.html ✰
Дата и время сохранения документа:
✰ 08.06.2024 20:12:53 (GMT+3, MSK) ✰
Дата и время изменения документа (по данным источника):
✰ 25 March 2024, at 04:35 (UTC). ✰ 

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Ask3.Ru ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 
Сервисы Ask3.ru: 
 Архив документов (Снимки документов, в формате HTML, PDF, PNG - подписанные ЭЦП, доказывающие существование документа в момент подписи. Перевод сохраненных документов на русский язык.)https://arc.ask3.ruОтветы на вопросы (Сервис ответов на вопросы, в основном, научной направленности)https://ask3.ru/answer2questionТоварный сопоставитель (Сервис сравнения и выбора товаров) ✰✰
✰ https://ask3.ru/product2collationПартнерыhttps://comrades.ask3.ru


Совет. Чтобы искать на странице, нажмите Ctrl+F или ⌘-F (для MacOS) и введите запрос в поле поиска.
Бесконечное множество Jump to content

Бесконечный набор

Из Википедии, бесплатной энциклопедии
Изображение теории множеств
Изображение теории множеств

В теории множеств бесконечное множество это множество , которое не является конечным . Бесконечные множества могут быть счетными и несчетными . [1]

Свойства [ править ]

Множество натуральных чисел (существование которых постулируется аксиомой бесконечности ) бесконечно. [1] Это единственное множество, которого прямо требуется аксиомами бесконечность . Существование любого другого бесконечного множества можно доказать в теории множеств Цермело–Френкеля (ZFC), но только показав, что оно следует из существования натуральных чисел.

Множество бесконечно тогда и только тогда, когда для каждого натурального числа существует подмножество, мощность этому которого равна натуральному числу. [2]

Если аксиома выбора верна, то множество бесконечно тогда и только тогда, когда оно включает счетное бесконечное подмножество.

Если множество множеств бесконечно или содержит бесконечный элемент, то его объединение бесконечно. Набор мощности бесконечного множества бесконечен. [3] Любое надмножество бесконечного множества бесконечно. Если бесконечное множество разбить на конечное число подмножеств, то хотя бы одно из них должно быть бесконечным. Любое множество, которое можно отобразить в бесконечное множество, является бесконечным. Декартово произведение бесконечного множества и непустого множества бесконечно. Декартово произведение бесконечного числа множеств, каждое из которых содержит не менее двух элементов, либо пусто, либо бесконечно; если аксиома выбора верна, то оно бесконечно.

Если бесконечное множество является хорошо упорядоченным , то оно должно иметь непустое, нетривиальное подмножество, не имеющее наибольшего элемента.

В ZF набор бесконечен тогда и только тогда, когда набор степеней его набора степеней является дедекиндовым бесконечным множеством , имеющим собственное подмножество, равное самому себе. [4] Если аксиома выбора также верна, то бесконечные множества - это в точности бесконечные по Дедекинду множества.

Если бесконечное множество является хорошо упорядочиваемым , то оно имеет множество неизоморфных правильных порядков.

История [ править ]

Важные идеи, обсуждаемые Дэвидом Бертоном в его книге « История математики: введение», включают в себя то, как определять «элементы» или части набора, как определять уникальные элементы в наборе и как доказывать бесконечность. [5] Бертон также обсуждает доказательства различных типов бесконечности, включая счетные и несчетные множества. [5] Темы, используемые при сравнении бесконечных и конечных множеств, включают упорядоченные множества , мощность, эквивалентность, координатные плоскости , универсальные множества , отображение, подмножества, непрерывность и трансцендентность . [5] На идеи Кантора повлияли тригонометрия и иррациональные числа. Другие ключевые идеи теории бесконечных множеств, упомянутые Бертоном, Паулой, Нарли и Роджером, включают действительные числа, такие как π , целые числа и число Эйлера . [5] [6] [7]

И Бертон, и Роджерс используют конечные множества, чтобы начать объяснять бесконечные множества, используя такие концепции доказательства, как отображение, доказательство по индукции или доказательство от противного. [5] [7] Математические деревья также можно использовать для понимания бесконечных множеств. [8] Бертон также обсуждает доказательства бесконечных множеств, включая такие идеи, как объединения и подмножества. [5]

В главе 12 книги « История математики: введение» Бертон подчеркивает, как такие математики, как Цермело , Дедекинд , Галилей , Кронекер , Кантор и Больцано , исследовали теорию бесконечных множеств и повлияли на нее. Многие из этих математиков либо обсуждали бесконечность, либо иным образом дополняли идеи бесконечных множеств. Потенциальные исторические влияния, такие как история Пруссии в 1800-х годах, привели к увеличению научных математических знаний, включая теорию бесконечных множеств Кантора. [5]

Одним из потенциальных применений теории бесконечных множеств является генетика и биология. [9]

Примеры [ править ]

Счётно-бесконечные множества [ править ]

Множество всех целых чисел , {..., -1, 0, 1, 2, ...} является счётным бесконечным множеством. Множество всех четных целых чисел также является счетным множеством, даже если оно является собственным подмножеством целых чисел. [3]

Множество всех рациональных чисел является счетным множеством, поскольку существует биекция множества целых чисел. [3]

Неисчисляемые бесконечные множества [ править ]

Множество всех действительных чисел представляет собой несчетно бесконечное множество. Множество всех иррациональных чисел также является несчетно бесконечным. [3]

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

  1. ^ Перейти обратно: а б Багария, Джоан (2019), «Теория множеств» , в Залте, Эдвард Н. (редактор), Стэнфордская энциклопедия философии (изд. осени 2019 г.), Лаборатория метафизических исследований, Стэнфордский университет , получено 30 ноября 2019 г.
  2. ^ Булос, Джордж (1998). Логика, логика и логика (иллюстрированное изд.). Издательство Гарвардского университета. п. 262. ИСБН  978-0-674-53766-8 .
  3. ^ Перейти обратно: а б с д Колдуэлл, Крис. «Основной глоссарий — бесконечность» . primes.utm.edu . Проверено 29 ноября 2019 г.
  4. ^ Булос, Джордж (1994), «Преимущества честного труда перед воровством», Математика и разум (Амхерст, Массачусетс, 1991) , Logic Comput. Философия, Оксфордский университет. Пресс, Нью-Йорк, стр. 27–44, MR   1373892 . См., в частности , стр. 32–33 .
  5. ^ Перейти обратно: а б с д Это ж г Бертон, Дэвид (2007). История математики: Введение (6-е изд.). Бостон: МакГроу Хилл. стр. 100-1 666–689. ISBN  9780073051895 .
  6. ^ Пала, Озан; Нарли, Серкан (15 декабря 2020 г.). «Роль формальных знаний в формировании доказательного образа: пример в контексте бесконечных множеств» . Турецкий журнал компьютерного и математического образования (TURCOMAT) . 11 (3): 584–618. дои : 10.16949/turkbilmat.702540 . S2CID   225253469 .
  7. ^ Перейти обратно: а б Роджерс, Нэнси (2000). Учимся рассуждать: введение в логику, множества и отношения . Нью-Йорк: Уайли. ISBN  978-1-118-16570-6 . OCLC   757394919 .
  8. ^ Голлин, Дж. Паскаль; Кнайп, Якоб (01 апреля 2021 г.). «Представления бесконечных древесных множеств» . Заказ . 38 (1): 79–96. arXiv : 1908.10327 . дои : 10.1007/s11083-020-09529-0 . ISSN   1572-9273 . S2CID   201646182 .
  9. ^ Шела, Сахарон; Стрюнгманн, Лутц (01 июня 2021 г.). «Бесконечная комбинаторика в математической биологии» . Биосистемы . 204 : 104392. doi : 10.1016/j.biosystems.2021.104392 . ISSN   0303-2647 . ПМИД   33731280 . S2CID   232298447 .

Внешние ссылки [ править ]

Arc.Ask3.Ru: конец оригинального документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: 4C779F3E5B510383D4101BE75D54A645__1711330500
URL1:https://en.wikipedia.org/wiki/Infinite_set
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Infinite set - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть, любые претензии не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, денежную единицу можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)