Бесконечность

Чтобы узнать об этом символе, см. Символ бесконечности . Чтобы узнать о других значениях слов «Бесконечность» и «Бесконечность», см. «Бесконечность (значения)» . Не путать с Инфинити .

Из-за постоянного отражения света между противоположными зеркалами безграничное пространство и повторение. кажется, что внутри них

Бесконечность — это нечто безграничное, бесконечное или большее, чем любое натуральное число . Его часто обозначают символом бесконечности. $\infty$.

Со времен древних греков философская природа бесконечности была предметом многочисленных дискуссий среди философов. В 17 веке, с появлением символа бесконечности. и исчисление бесконечно малых , математики начали работать с бесконечными рядами и тем, что некоторые математики (в том числе Лопиталь и Бернулли ) рассматривались как бесконечно малые величины, но бесконечность продолжала ассоциироваться с бесконечными процессами. Пока математики боролись за основы исчисления , оставалось неясным, можно ли рассматривать бесконечность как число или величину , и если да, то как это можно сделать. В конце XIX века Георг Кантор расширил математическое исследование бесконечности, изучая бесконечные множества и бесконечные числа , показав, что они могут быть разных размеров. Например, если линию рассматривать как совокупность всех ее точек, их бесконечное число (т. е. мощность линии ) больше числа целых чисел . В таком использовании бесконечность — это математическое понятие, и бесконечные математические объекты можно изучать, манипулировать ими и использовать так же, как и любой другой математический объект.

Математическая концепция бесконечности уточняет и расширяет старую философскую концепцию, в частности, вводя бесконечное множество бесконечных множеств различных размеров. Среди аксиом теории множеств Цермело–Френкеля , на которых может быть развита большая часть современной математики, есть аксиома бесконечности , гарантирующая существование бесконечных множеств. Математическая концепция бесконечности и манипуляция бесконечными множествами широко используются в математике, даже в таких областях, как комбинаторика , которые, казалось бы, не имеют к ним никакого отношения. Например, доказательство Уайлсом Великой теоремы Ферма неявно опирается на существование вселенных Гротендика , очень больших бесконечных множеств, для решения давней проблемы, сформулированной в терминах элементарной арифметики .

В физике и космологии остается вопрос о том, является ли Вселенная пространственно бесконечной, открытым.

История

Дополнительная информация: Бесконечность (философия).

В древних культурах существовали различные представления о природе бесконечности. Древние индийцы и греки не определяли бесконечность в точном формализме, как это делает современная математика, а вместо этого подходили к бесконечности как к философскому понятию.

Ранний греческий

Самая ранняя зарегистрированная идея бесконечности в Греции, возможно, принадлежала Анаксимандру (ок. 610 – ок. 546 до н.э.), греческому философу -досократику . Он использовал слово апейрон , что означает «неограниченный», «неопределенный» и, возможно, можно перевести как «бесконечный».

Аристотель (350 г. до н.э.) отличал потенциальную бесконечность от фактической бесконечности , которую он считал невозможной из-за различных парадоксов, которые она, казалось, порождала. Утверждалось, что, в соответствии с этой точкой зрения, эллинистические греки испытывали «ужас перед бесконечностью». что, например, объяснило бы, почему Евклид (ок. 300 г. до н.э.) не говорил, что существует бесконечное число простых чисел, а скорее говорил: «Простые числа больше, чем любое заданное множество простых чисел». Утверждалось также, что, доказав бесконечность простых чисел , Евклид «был первым, кто преодолел ужас бесконечности». Аналогичные разногласия ведутся и относительно постулата Евклида о параллельности , который иногда переводят:

Если прямая, пересекающая две [другие] прямые, образует на одной и той же стороне внутренние углы [сама по себе, сумма которых] меньше двух прямых углов, то две [другие] прямые линии, доведенные до бесконечности, встречаются на этой стороне [исходной прямой], что [сумма внутренних углов] меньше двух прямых углов.

Другие переводчики, однако, предпочитают перевод «две прямые линии, если производить их бесконечно…». таким образом избегая предположения, что Евклиду было комфортно с понятием бесконечности. Наконец, утверждалось, что размышления о бесконечности не только не вызывают «ужаса бесконечности», но лежат в основе всей ранней греческой философии и что «потенциальная бесконечность» Аристотеля представляет собой отклонение от общей тенденции этого периода.

черепаха

Основная статья: парадоксы Зенона § Ахиллес и черепаха

Зенон Элейский ( ок. 495 – ок. 430 до н. э.) не выдвигал никаких взглядов относительно бесконечности. Тем не менее, его парадоксы, особенно «Ахиллес и черепаха» были важным вкладом, поскольку они ясно показали неадекватность популярных представлений. описал эти парадоксы Бертран Рассел как «неизмеримо тонкие и глубокие».

Ахиллес мчится на черепахе, давая последней фору.

• Шаг №1: Ахиллес бежит к отправной точке черепахи, а черепаха идет вперед.
• Шаг № 2: Ахиллес продвигается туда, где черепаха была в конце шага № 1, а черепаха идет еще дальше.
• Шаг №3: Ахиллес продвигается туда, где черепаха была в конце шага №2, а черепаха идет еще дальше.
• Шаг №4: Ахиллес продвигается туда, где черепаха была в конце шага №3, а черепаха идет еще дальше.

И т. д.

По-видимому, Ахиллес никогда не догоняет черепаху, так как сколько бы шагов он ни сделал, черепаха остается впереди него.

Зенон не пытался рассуждать о бесконечности. Будучи членом элеатской школы, которая считала движение иллюзией, он считал ошибкой предполагать, что Ахиллес вообще может бежать. Последующие мыслители, находя это решение неприемлемым, на протяжении более двух тысячелетий пытались найти другие слабые места в этом аргументе.

Наконец, в 1821 году Огюстен-Луи Коши дал удовлетворительное определение предела и доказал, что для 0 < x < 1

$$a+ax+ax^{2}+ax^{3}+ax^{4}+ax^{5}+\cdots ={\frac {a}{1-x}}.$$

Предположим, что Ахиллес бежит со скоростью 10 метров в секунду, черепаха идет со скоростью 0,1 метра в секунду, а последняя имеет фору в 100 метров. Продолжительность погони соответствует шаблону Коши с a = 10 секундами и x = 0,01 . Ахиллес догоняет черепаху; это занимает его

$$10+0.1+0.001+0.00001+\cdots ={\frac {10}{1-0.01}}={\frac {10}{0.99}}=10.10101\ldots {\text{ seconds}}.$$

Ранний Индийский

Джайнский математический текст Сурья Праджнапти (ок. 4–3 века до н. э.) делит все числа на три набора: перечислимые , неисчислимые и бесконечные. Каждый из них подразделялся на три порядка:

• Перечислимые: низший, промежуточный и высший.
• Бесчисленные: почти бесчисленные, поистине бесчисленные и бесчисленно бесчисленные.
• Бесконечное: почти бесконечное, истинно бесконечное, бесконечно бесконечное.

17 век

В 17 веке европейские математики начали систематически использовать бесконечные числа и бесконечные выражения. В 1655 году Джон Уоллис впервые использовал обозначения $\infty$ для такого количества в этих конических сечениях , и использовал это при расчете площади, разделив регион на бесконечно малые полосы шириной порядка ${\tfrac {1}{\infty }}.$ Но в «Арифметике бесконечной» (1656 г.) он указывает бесконечные ряды, бесконечные произведения и бесконечные цепные дроби, записывая несколько членов или множителей и затем добавляя «&c.», например «1, 6, 12, 18, 24 и т. д.».

В 1699 году Исаак Ньютон написал об уравнениях с бесконечным числом членов в своей работе «Об анализе с помощью уравнений с бесконечным числом членов» .

Математика

Герман Вейль открыл математико-философское выступление, произнесенное в 1930 году, словами:

Математика – наука о бесконечности.

Символ

Основная статья: Символ бесконечности

Символ бесконечности $\infty$ (иногда называемая лемнискатой ) — математический символ, обозначающий понятие бесконечности. Символ закодирован в Unicode по адресу U+221E ∞ БЕСКОНЕЧНОСТЬ ( &infin; ) и в LaTeX как \infty.

Он был введен в 1655 году Джоном Уоллисом . и с момента своего появления он также использовался за пределами математики в современном мистицизме. и литературная символика .

Исчисление

Готфрид Лейбниц , один из соавторов исчисления бесконечно малых , широко размышлял о бесконечных числах и их использовании в математике. Для Лейбница и бесконечно малые, и бесконечные количества были идеальными сущностями, не имеющими той же природы, что и ощутимые величины, но обладающими теми же свойствами в соответствии с Законом непрерывности .

анализ

В реальном анализе символ $\infty$, называемая «бесконечностью», используется для обозначения неограниченного предела . Обозначения $x\rightarrow \infty$ означает, что $x$ неограниченно возрастает и $x\to -\infty$ означает, что $x$ неограниченно уменьшается. Например, если $f(t)\geq 0$ для каждого $t$, затем

• $\int _{a}^{b}f(t)\,dt=\infty$ означает, что $f(t)$ не ограничивает конечную область из $a$ к $b.$
• $\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\,dt=\infty$ означает, что площадь под $f(t)$ бесконечен.
• $\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\,dt=a$ означает, что общая площадь под $f(t)$ конечно и равно $a.$

Бесконечность также можно использовать для описания бесконечных рядов следующим образом:

• $\sum _{i=0}^{\infty }f(i)=a$ означает, что сумма бесконечного ряда сходится к некоторому действительному значению $a.$
• $\sum _{i=0}^{\infty }f(i)=\infty$ означает, что сумма бесконечного ряда правильно расходится к бесконечности в том смысле, что частичные суммы неограниченно увеличиваются.

Помимо определения предела, бесконечность также может использоваться как значение в расширенной системе действительных чисел. Точки отмечены $+\infty$ и $-\infty$ может быть добавлено в топологическое пространство действительных чисел, производя двухточечную компактификацию действительных чисел. Добавление к этому алгебраических свойств дает нам расширенные действительные числа . Мы также можем лечить $+\infty$ и $-\infty$ то же самое, что приводит к одноточечной компактификации действительных чисел, которая является вещественной проективной линией . Проективная геометрия также относится к бесконечной линии в плоской геометрии, бесконечной плоскости в трехмерном пространстве и бесконечной гиперплоскости для общих размеров , каждая из которых состоит из бесконечных точек .

Комплексный анализ

С помощью стереографической проекции комплексную плоскость можно «обернуть» сферой, причем верхняя точка сферы соответствует бесконечности. Это называется сферой Римана .

В комплексном анализе символ $\infty$, называемый «бесконечностью», обозначает беззнаковый бесконечный предел . Выражение $x\rightarrow \infty$ означает, что величина $|x|$ из $x$ выходит за пределы любого присвоенного значения. Точка с надписью $\infty$ может быть добавлено к комплексной плоскости как топологическое пространство, дающее одноточечную компактификацию комплексной плоскости. Когда это будет сделано, полученное пространство представляет собой одномерное комплексное многообразие или риманову поверхность , называемую расширенной комплексной плоскостью или сферой Римана . Арифметические операции, аналогичные приведенным выше для расширенных действительных чисел, также могут быть определены, хотя нет различия в знаках (что приводит к одному исключению: бесконечность не может быть добавлена ​​сама к себе). С другой стороны, этот вид бесконечности допускает деление на ноль , а именно $z/0=\infty$ для любого ненулевого комплексного числа  $z$. В этом контексте часто бывает полезно рассматривать мероморфные функции как отображения в сфере Римана, принимающие значение $\infty$ на полюсах. Область определения комплексной функции может быть расширена, включив в нее также точку, находящуюся на бесконечности. Одним из важных примеров таких функций является группа преобразований Мёбиуса (см. § Обзор преобразований Мёбиуса ).

Нестандартный анализ

Бесконечно малые (ε) и бесконечности (ω) на гипердействительной числовой прямой (1/ε = ω/1)

В первоначальной формулировке исчисления бесконечно малых Исаака Ньютона и Готфрида Лейбница использовались бесконечно малые величины. Во второй половине 20-го века было показано, что эту трактовку можно поставить на строгую основу с помощью различных логических систем , включая гладкий анализ бесконечно малых и нестандартный анализ . В последнем случае бесконечно малые числа обратимы, а их обратные числа — бесконечные числа. Бесконечности в этом смысле являются частью гиперреального поля ; между ними нет эквивалентности, как в случае с канторовскими трансфинитами . Например, если H — бесконечное число в этом смысле, то H + H = 2H и H + 1 — различные бесконечные числа. Этот подход к нестандартному исчислению полностью развит у Кейслера (1986) .

Теория множеств

Основные статьи: Мощность и порядковый номер

Взаимное соответствие между бесконечным множеством и его собственным подмножеством

Другой формой «бесконечности» являются порядковые и кардинальные бесконечности теории множеств — системы трансфинитных чисел , впервые разработанной Георгом Кантором . В этой системе первый трансфинитный кардинал — это алеф-нуль ( ℵ ₀ ), мощность множества натуральных чисел . Эта современная математическая концепция количественной бесконечности развилась в конце 19 века на основе работ Кантора, Готлоба Фреге , Рихарда Дедекинда и других, используя идею коллекций или множеств.

Подход Дедекинда заключался, по сути, в том, чтобы принять идею взаимно однозначного соответствия в качестве стандарта для сравнения размеров множеств и отвергнуть точку зрения Галилея (заимствованную из Евклида ) о том, что целое не может быть того же размера, что и часть. (Однако см. парадокс Галилея , где Галилей заключает, что положительные целые числа нельзя сравнивать с подмножеством положительных квадратных целых чисел, поскольку оба являются бесконечными множествами.) Бесконечное множество можно просто определить как множество, имеющее тот же размер, что и хотя бы одна из его собственных частей. ; это понятие бесконечности названо Дедекиндом бесконечным . На диаграмме справа показан пример: рассматривая линии как бесконечные наборы точек, левую половину нижней синей линии можно однозначно сопоставить (зеленые соответствия) с более высокой синей линией и, в свою очередь, , до всей нижней синей линии (красные соответствия); поэтому вся нижняя синяя линия и ее левая половина имеют одинаковую мощность, то есть «размер».

Кантор определил два вида бесконечных чисел: порядковые и кардинальные числа . Порядковые числа характеризуют хорошо упорядоченные множества или счет, продолжающийся до любой точки остановки, включая точки после того, как уже подсчитано бесконечное число. Обобщение конечных и (обычных) бесконечных последовательностей , которые являются отображениями натуральных чисел , приводит к отображениям порядковых чисел в трансфинитные последовательности. Кардинальные числа определяют размер наборов, то есть количество элементов, которые они содержат, и могут быть стандартизированы путем выбора первого порядкового числа определенного размера для представления кардинального числа этого размера. Наименьшая порядковая бесконечность — это бесконечность натуральных чисел, и любое множество, мощность которого равна целым числам, счетно бесконечно . Если набор слишком велик, чтобы его можно было поставить во взаимно однозначное соответствие целым положительным числам, его называют несчетным . Взгляды Кантора возобладали, и современная математика принимает фактическую бесконечность как часть последовательной и последовательной теории. Некоторые расширенные системы счисления, такие как гипердействительные числа, включают в себя обычные (конечные) числа и бесконечные числа разных размеров.

Мощность континуума

Основная статья: Мощность континуума

Одним из наиболее важных результатов Кантора было то, что мощность континуума $\mathbf {c}$ больше, чем у натуральных чисел ${\aleph _{0}}$; больше, то есть действительных чисел R натуральных чисел N. чем А именно, Кантор показал, что $\mathbf {c} =2^{\aleph _{0}}>{\aleph _{0}}$.

Дополнительная информация: диагональный аргумент Кантора и первая статья Кантора по теории множеств.

утверждает Гипотеза континуума не существует кардинального числа , то есть: , что между мощностью действительных чисел и мощностью натуральных чисел $\mathbf {c} =\aleph _{1}=\beth _{1}$.

Дополнительная информация: номер Бет § Бет один.

Эту гипотезу нельзя доказать или опровергнуть в рамках широко распространенной теории множеств Цермело-Френкеля , даже если предположить аксиому выбора .

Кардинальную арифметику можно использовать, чтобы показать не только то, что число точек на прямой с действительными числами равно числу точек на любом отрезке этой прямой , но также и то, что оно равно числу точек на плоскости и, более того, , в любом конечномерном пространстве.

Первые три шага фрактальной конструкции, пределом которой является кривая, заполняющая пространство , показывающие, что в одномерной линии столько же точек, сколько и в двумерном квадрате.

Первый из этих результатов становится очевидным, если рассмотреть, например, функцию тангенса , которая обеспечивает взаимно однозначное соответствие между интервалом ( - п / 2 , π / 2 ) и р .

Смотрите также: парадокс Гильберта Гранд-отеля

Второй результат был доказан Кантором в 1878 году, но стал интуитивно очевиден только в 1890 году, когда Джузеппе Пеано ввел кривые, заполняющие пространство , изогнутые линии, которые скручиваются и поворачиваются достаточно, чтобы заполнить весь любой квадрат, или куб , или гиперкуб , или конечномерное пространство. Эти кривые можно использовать для определения взаимно однозначного соответствия между точками на одной стороне квадрата и точками в квадрате.

Геометрия

До конца XIX века бесконечность редко обсуждалась в геометрии , за исключением процессов, которые могли продолжаться без каких-либо ограничений. Например, линия представляла собой то, что сейчас называется отрезком линии , при условии, что ее можно продлить так далеко, как хочется; но о его бесконечном расширении не могло быть и речи. Точно так же линия обычно не считалась состоящей из бесконечного множества точек, а представляла собой место, где можно разместить точку. Даже если возможных позиций бесконечно много, на прямой можно разместить только конечное число точек. Свидетельством этого является выражение « место точки , удовлетворяющее некоторому свойству» (единственное число), где современные математики обычно говорят «множество точек , обладающих этим свойством» (множественное число).

Одним из редких исключений из математической концепции, включающей реальную бесконечность , была проективная геометрия , где точки на бесконечности добавляются к евклидову пространству для моделирования эффекта перспективы , который показывает параллельные линии, пересекающиеся «на бесконечности». С математической точки зрения точки, удаленные от бесконечности, имеют то преимущество, что позволяют не учитывать некоторые особые случаи. Например, на проективной плоскости две различные прямые пересекаются ровно в одной точке, тогда как без точек на бесконечности нет точек пересечения параллельных прямых. Итак, в классической геометрии параллельные и непараллельные прямые необходимо изучать отдельно, а в проективной геометрии их не нужно различать.

До использования теории множеств в качестве основы математики точки и линии рассматривались как отдельные объекты, и точка могла располагаться на линии . С повсеместным использованием теории множеств в математике точка зрения резко изменилась: линия теперь рассматривается как множество ее точек , и говорят, что точка принадлежит линии, а не расположена на линии (однако, последняя фраза используется до сих пор).

В частности, в современной математике линии представляют собой бесконечные множества .

Бесконечное измерение

Векторные пространства , встречающиеся в классической геометрии, всегда имеют конечную размерность , обычно две или три. Однако это не подразумевается абстрактным определением векторного пространства, и можно рассматривать векторные пространства бесконечной размерности. Обычно это имеет место в функциональном анализе , где функциональные пространства обычно представляют собой векторные пространства бесконечной размерности.

В топологии некоторые конструкции могут порождать топологические пространства бесконечной размерности. В частности, это случай итерированных пространств циклов .

Фракталы

Структура фрактального объекта повторяется при увеличении. Фракталы можно увеличивать до бесконечности, не теряя при этом своей структуры и не становясь «гладкими»; они имеют бесконечный периметр и могут иметь бесконечную или конечную площадь. Одной из таких фрактальных кривых с бесконечным периметром и конечной площадью является снежинка Коха .

Математика без бесконечности

Леопольд Кронекер скептически относился к понятию бесконечности и к тому, как его коллеги-математики использовали его в 1870-х и 1880-х годах. Этот скептицизм получил развитие в философии математики , называемой финитизмом — крайней формой математической философии в общефилософских и математических школах конструктивизма и интуиционизма .

Физика

В физике приближения действительных чисел используются для непрерывных измерений, а натуральные числа используются для дискретных измерений (т. е. подсчета). Концепции бесконечных вещей, таких как бесконечная плоская волна, существуют, но нет экспериментальных средств для их создания.

Космология

Первое опубликованное предположение о бесконечности Вселенной было сделано Томасом Диггесом в 1576 году. Восемь лет спустя, в 1584 году, итальянский философ и астроном Джордано Бруно предложил безграничную Вселенную в своей книге «О бесконечной Вселенной и мирах» : «Существует бесчисленное множество солнц; бесчисленные земли вращаются вокруг этих солнц так же, как семь планет вращаются вокруг нашей планеты. Солнце. Живые существа населяют эти миры».

Космологи уже давно пытаются выяснить, существует ли бесконечность в нашей физической Вселенной : существует ли бесконечное количество звезд? Имеет ли Вселенная бесконечный объем? Пространство « продолжается вечно »? Это все еще открытый вопрос космологии . Вопрос о бесконечности логически отделен от вопроса о границах. Например, двумерная поверхность Земли конечна, но не имеет края. Путешествуя по прямой относительно кривизны Земли, человек в конечном итоге вернется в ту же точку, из которой начал. Вселенная, по крайней мере в принципе, могла бы иметь аналогичную топологию . Если это так, то в конечном итоге можно вернуться в исходную точку после достаточно долгого путешествия по прямой через вселенную.

Кривизну Вселенной можно измерить через мультипольные моменты в спектре космического фонового излучения . На сегодняшний день анализ диаграмм направленности, зарегистрированных космическим кораблем WMAP, намекает на то, что Вселенная имеет плоскую топологию. Это соответствовало бы бесконечной физической вселенной.

Однако Вселенная может быть конечной, даже если ее кривизна плоская. Самый простой способ понять это — рассмотреть двумерные примеры, такие как видеоигры, в которых предметы, покидающие один край экрана, снова появляются на другом. Топология таких игр тороидальная , а геометрия плоская. Для трехмерного пространства также существует множество возможных ограниченных, плоских возможностей.

Понятие бесконечности также распространяется на гипотезу мультивселенной , которая, будучи объяснена астрофизиками, такими как Мичио Каку , утверждает, что существует бесконечное число и разнообразие вселенных. Кроме того, циклические модели предполагают бесконечное количество Больших взрывов , что приводит к бесконечному разнообразию вселенных после каждого события Большого взрыва в бесконечном цикле.

Логика

В логике аргумент бесконечного регресса — это «отчетливо философский вид аргумента, претендующий на то, чтобы показать, что тезис ошибочен, поскольку он порождает бесконечный ряд, когда либо (форма А) такого ряда не существует, либо (форма Б) если бы он существовал, тезису не хватило бы той роли (например, обоснования), которую он должен играть».

Вычисление

Стандарт IEEE с плавающей запятой (IEEE 754) определяет положительное и отрицательное значение бесконечности (а также неопределенные значения). Они определяются как результат арифметического переполнения , деления на ноль и других исключительных операций.

Некоторые языки программирования , такие как Java и Дж , предоставить программисту явный доступ к положительным и отрицательным значениям бесконечности как к языковым константам. Их можно использовать как наибольший и наименьший элементы , поскольку они сравнивают (соответственно) больше или меньше всех остальных значений. Они используются в качестве контрольных значений в алгоритмах, включающих сортировку , поиск или работу с окнами .

В языках, которые не имеют наибольших и наименьших элементов, но допускают перегрузку операторов отношения , программист может создавать наибольшие и наименьшие элементы. В языках, которые не обеспечивают явный доступ к таким значениям из начального состояния программы, но реализуют тип данных с плавающей запятой , значения бесконечности все еще могут быть доступны и пригодны для использования в результате определенных операций.

В программировании бесконечный цикл — это цикл , условие выхода которого никогда не выполняется, поэтому он выполняется бесконечно.

и

В перспективных произведениях искусства используется концепция точек схода , примерно соответствующих математическим точкам в бесконечности , расположенным на бесконечном расстоянии от наблюдателя. Это позволяет художникам создавать картины, реалистично передающие пространство, расстояния и формы. Художник М. К. Эшер особенно известен тем, что использовал концепцию бесконечности в своих работах тем и другим способом.

Варианты шахмат, в которые играют на неограниченной доске, называются бесконечными шахматами .

Ученый-когнитивист Джордж Лакофф считает концепцию бесконечности в математике и естественных науках метафорой. Эта точка зрения основана на базовой метафоре бесконечности (ИМТ), определяемой как постоянно возрастающая последовательность <1,2,3,...>.

См. также

• 0.999...
• Число Алеф
• Ананта
• Возведение в степень
• Неопределенная форма
• Названия больших чисел
• Теорема о бесконечных обезьянах
• Бесконечный набор
• бесконечно малый
• Парадоксы бесконечности
• Суперзадача
• Сюрреалистический номер

Ссылки

Библиография

• Каджори, Флориан (1993) [1928 и 1929], История математических обозначений (два тома, связанных как один) , Дувр, ISBN  978-0-486-67766-8
• Джеминьяни, Майкл К. (1990), Элементарная топология (2-е изд.), Дувр, ISBN  978-0-486-66522-1
• Кейслер, Х. Джером (1986), Элементарное исчисление: подход с использованием бесконечно малых (2-е изд.)
• Мэддокс, Рэндалл Б. (2002), Математическое мышление и письмо: переход к абстрактной математике , Academic Press, ISBN  978-0-12-464976-7
• Клайн, Моррис (1972), Математическая мысль от древних до наших дней , Нью-Йорк: Oxford University Press, стр. 1197–1198, ISBN  978-0-19-506135-2
• Рассел, Бертран (1996) [1903], Принципы математики , Нью-Йорк: Нортон, ISBN  978-0-393-31404-5 , OCLC   247299160
• Саган, Ганс (1994), Кривые заполнения пространства , Springer, ISBN  978-1-4612-0871-6
• Своковски, Эрл В. (1983), Исчисление с аналитической геометрией (альтернативное издание), Приндл, Вебер и Шмидт, ISBN  978-0-87150-341-1
• Тейлор, Ангус Э. (1955), Расширенное исчисление , издательство Blaisdell Publishing Company
• Уоллес, Дэвид Фостер (2004), Все и многое другое: компактная история бесконечности , Norton, WW & Company, Inc., ISBN  978-0-393-32629-1

Источники

• Аксель, Амир Д. (2001). Тайна Алеф: математика, каббала и поиск бесконечности . Нью-Йорк: Карманные книги. ISBN  978-0-7434-2299-4 .
• Д. П. Агравал (2000). Древняя джайнская математика: введение , Infinity Foundation .
• Белл, Дж.Л.: Непрерывность и бесконечно малые. Стэнфордская энциклопедия философии. Пересмотрено в 2009 году.
• Коэн, Пол (1963), «Независимость гипотезы континуума», Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America , 50 (6): 1143–1148, Bibcode : 1963PNAS...50.1143C , doi : 10.1073/pnas.50.6.1143 , PMC   221287 , PMID   16578557 .
• Джайн, LC (1982). Точные науки из джайнских источников .
• Джайн, LC (1973). «Теория множеств в джайнской математической школе», Индийский журнал истории науки .
• Джозеф, Джордж Г. (2000). Герб павлина: неевропейские корни математики (2-е изд.). Книги о пингвинах . ISBN  978-0-14-027778-4 .
• Х. Джером Кейслер: Элементарное исчисление: подход с использованием бесконечно малых. Первое издание 1976 г.; 2-е издание 1986 г. Эта книга больше не издается. Издатель вернул авторские права автору, который предоставил второе издание в формате PDF для скачивания по адресу http://www.math.wisc.edu/~keisler/calc.html.
• Эли Маор (1991). Бесконечность не предел . Издательство Принстонского университета. ISBN  978-0-691-02511-7 .
• О'Коннор, Джон Дж. и Эдмунд Ф. Робертсон (1998). «Георг Фердинанд Людвиг Филипп Кантор». Архивировано 16 сентября 2006 г. в Wayback Machine , архив истории математики MacTutor .
• О'Коннор, Джон Дж. и Эдмунд Ф. Робертсон (2000). «Джайнская математика». Архивировано 20 декабря 2008 г. в Wayback Machine , архив истории математики MacTutor .
• Пирс, Ян. (2002). «Джайнизм» , Архив истории математики MacTutor .
• Ракер, Руди (1995). Бесконечность и разум: наука и философия бесконечного . Издательство Принстонского университета. ISBN  978-0-691-00172-2 .
• Сингх, Навджьоти (1988). «Джайнская теория актуальной бесконечности и трансфинитных чисел». Журнал Азиатского общества . 30 .

Внешние ссылки

• «Бесконечное» . Интернет-энциклопедия философии .
• Бесконечность в программе «В наше время » на BBC
• Ускоренный курс математики бесконечных множеств. Архивировано 27 февраля 2010 г. в Wayback Machine , автор Питер Субер. Из журнала St. John's Review, XLIV, 2 (1998) 1–59. Отдельное приложение к Infinite Reflections ниже. Краткое введение в математику бесконечных множеств Кантора.
• Бесконечные размышления. Архивировано 5 ноября 2009 г. в Wayback Machine Питером Субером. Как математика бесконечности Кантора решает несколько древних философских проблем бесконечности. Из журнала St. John's Review, XLIV, 2 (1998) 1–59.
• Грайм, Джеймс. «Бесконечность больше, чем вы думаете» . Числофил . Брэйди Харан . Архивировано из оригинала 22 октября 2017 г. Проверено 6 апреля 2013 г.
• Отель Инфинити
• Джон Дж. О'Коннор и Эдмунд Ф. Робертсон (1998). «Георг Фердинанд Людвиг Филипп Кантор». Архивировано 16 сентября 2006 г. в Wayback Machine , архив истории математики MacTutor .
• Джон Дж. О'Коннор и Эдмунд Ф. Робертсон (2000). «Джайнская математика». Архивировано 20 декабря 2008 г. в Wayback Machine , архив истории математики MacTutor .
• Ян Пирс (2002). «Джайнизм» , Архив истории математики MacTutor .
• Тайна Алефа: математика, каббала и поиск бесконечности
• Словарь бесконечного (сборник статей о бесконечности в физике, математике и философии)