Гиперплоскость на бесконечности
В геометрии любую гиперплоскость H проективного пространства P можно рассматривать как гиперплоскость на бесконечности . Тогда дополнение множества P ∖ H называется аффинным пространством . Например, если ( x 1 , ..., x n , x n +1 ) являются однородными координатами для n -мерного проективного пространства, то уравнение x n +1 = 0 определяет гиперплоскость на бесконечности для n -мерного аффинного пространства. пространство с координатами ( x 1 , ..., x n ) . H также называют идеальной гиперплоскостью .
Аналогично, начиная с аффинного пространства A , каждый класс параллельных прямых может быть связан с бесконечно удаленной точкой . Объединение всех классов параллелей образует точки гиперплоскости на бесконечности. Присоединение точек этой гиперплоскости (называемых идеальными точками ) к A преобразует ее в n -мерное проективное пространство, такое как вещественное проективное пространство R P н .
Добавляя эти идеальные точки, все аффинное пространство дополняется до проективного пространства P можно назвать проективным пополнением A. A , которое Каждое аффинное подпространство S в A дополняется до проективного подпространства в P добавлением к S всех идеальных точек, соответствующих направлениям прямых, содержащихся S. в Полученные проективные подпространства часто называют аффинными подпространствами проективного пространства P в отличие от бесконечных или идеальных подпространств, которые являются подпространствами гиперплоскости на бесконечности (однако это проективные пространства, а не аффинные пространства).
В проективном пространстве каждое проективное подпространство размерности k пересекает идеальную гиперплоскость в проективном подпространстве «на бесконечности», размерность которого равна k - 1 .
Пара непараллельных аффинных гиперплоскостей пересекается в аффинном подпространстве размерности n - 2 , а параллельная пара аффинных гиперплоскостей пересекается в проективном подпространстве идеальной гиперплоскости (пересечение лежит на идеальной гиперплоскости). Таким образом, параллельные гиперплоскости, не пересекающиеся в аффинном пространстве, пересекаются в проективном пополнении за счет добавления гиперплоскости на бесконечности.
См. также
[ редактировать ]Ссылки
[ редактировать ]- Альбрехт Бойтельспахер и Уте Розенбаум (1998) Проективная геометрия: от основ к приложениям , стр. 27, Cambridge University Press ISBN 0-521-48277-1 .