Геометрия

Edit links
Страница полузащищена
Чтобы узнать о других значениях, см. Геометрия (значения) .

Геометрия
Стереографическая проекция вершины сферы на плоскость под ней.
Проецирование сферы ​ на плоскость
Филиалы
  • Концепции
  • Функции
Нульмерный
Одномерный
Двумерный
Трехмерный
Четырех- /другие измерения
Геометры
по имени
по периоду
Часть серии о
Математика
Области
Связь с науками
Математический портал

Геометрия (от древнегреческого γεωμετρία ( geōmetria ) «измерение земли»; от γῆ ( gê ) «земля, земля» и μετρον ( métron ) «мера») [1] — раздел математики, изучающий такие свойства пространства, как расстояние, форма, размер и взаимное расположение фигур. [2] Геометрия, наряду с арифметикой , является одним из древнейших разделов математики. Математика, работающего в области геометрии, называют геометром . До 19 века геометрия была почти исключительно посвящена евклидовой геометрии . [а] который включает в себя понятия точки , линии , плоскости , расстояния , угла , поверхности и кривой как фундаментальные понятия. [3]

Первоначально разработанная для моделирования физического мира, геометрия нашла применение практически во всех науках , а также в искусстве , архитектуре и других видах деятельности, связанных с графикой . [4] Геометрия также имеет приложения в областях математики, которые, по-видимому, не связаны друг с другом. Например, методы алгебраической геометрии имеют основополагающее значение в доказательстве Уайлсом Великой теоремы Ферма — проблемы, которая была сформулирована в терминах элементарной арифметики и оставалась нерешенной в течение нескольких столетий.

В XIX веке несколько открытий резко расширили рамки геометрии. Одним из старейших таких открытий является Фридриха Гаусса Карла «Теорема Egregium» («замечательная теорема»), которая грубо утверждает, что гауссова кривизна поверхности не зависит от какого-либо конкретного вложения в евклидово пространство . Это означает, что поверхности можно изучать внутренне , то есть как отдельные пространства, и это было расширено до теории многообразий и римановой геометрии . Позже, в XIX веке, оказалось, что геометрии без постулата параллельности ( неевклидовы геометрии ) можно развивать, не вводя никакого противоречия. Геометрия, лежащая в основе общей теории относительности, представляет собой известное применение неевклидовой геометрии.

С конца 19 века сфера применения геометрии значительно расширилась, и эта область была разделена на множество подполей, которые зависят от лежащих в ее основе методов — дифференциальной геометрии , алгебраической геометрии , вычислительной геометрии , алгебраической топологии , дискретной геометрии (также известной как комбинаторная геометрия). геометрия ) и т. д. — или о свойствах евклидовых пространств, которые не учитываются — проективная геометрия , учитывающая только выравнивание точек, но не расстояние и параллельность, аффинная геометрия , опускающая понятие угла и расстояния, конечная геометрия , исключающая непрерывность , и другие. . Это расширение рамок геометрии привело к изменению значения слова «пространство», которое первоначально относилось к трехмерному пространству физического мира и его модели , представленной евклидовой геометрией; в настоящее время геометрическое пространство или просто пространство — это математическая структура , на которой определена некоторая геометрия.

История

Основная статья: История геометрии
Европеец занимающиеся и араб, геометрией в 15 веке.

Самые ранние зарегистрированные начала геометрии можно проследить в древней Месопотамии и Египте во 2-м тысячелетии до нашей эры. [5] [6] Ранняя геометрия представляла собой собрание эмпирически открытых принципов, касающихся длин, углов, площадей и объемов, которые были разработаны для удовлетворения некоторых практических потребностей в геодезии , строительстве , астрономии и различных ремеслах. Самыми ранними известными текстами по геометрии являются египетский папирус Ринда (2000–1800 гг. до н. э.) и московский папирус ( ок. 1890 г. до н. э. ), а также вавилонские глиняные таблички , такие как Плимптон 322 (1900 г. до н. э.). Например, Московский папирус дает формулу расчета объема усеченной пирамиды, или усеченной пирамиды . [7] Более поздние глиняные таблички (350–50 гг. До н.э.) демонстрируют, что вавилонские астрономы применили трапециевидные Юпитера процедуры для расчета положения и движения в пространстве времени-скорости. Эти геометрические процедуры предвосхитили появление Оксфордских калькуляторов , включая теорему о средней скорости , на 14 столетий. [8] К югу от Египта древние нубийцы создали систему геометрии, включая ранние версии солнечных часов. [9] [10]

В VII веке до нашей эры греческий математик Фалес Милетский использовал геометрию для решения таких задач, как расчет высоты пирамид и расстояния кораблей от берега. Ему приписывают первое использование дедуктивных рассуждений в применении к геометрии, выведя четыре следствия из теоремы Фалеса . [11] Пифагор основал Пифагорейскую школу , которой приписывают первое доказательство теоремы Пифагора . [12] хотя формулировка теоремы имеет давнюю историю. [13] [14] Евдокс (408– ок. 355 до н. э. ) разработал метод исчерпания , позволявший вычислять площади и объёмы криволинейных фигур, [15] а также теория отношений, которая позволила избежать проблемы несоизмеримых величин , что позволило последующим геометрам добиться значительных успехов. Около 300 г. до н.э. геометрию произвел революцию Евклид, чьи «Начала » считались самым успешным и влиятельным учебником всех времен. [16] ввел математическую строгость посредством аксиоматического метода и является самым ранним примером формата, который до сих пор используется в математике: определения, аксиомы, теоремы и доказательства. Хотя большая часть содержания « Элементов» уже была известна, Евклид организовал их в единую последовательную логическую структуру. [17] «Элементы » были известны всем образованным людям на Западе до середины 20 века, и их содержание до сих пор преподается на уроках геометрии. [18] Архимед ( ок. 287–212 до н. э. ) из Сиракуз, Италия, использовал метод истощения для вычисления площади под дугой параболы с суммированием бесконечного ряда и дал удивительно точные аппроксимации числа Пи . [19] Он также исследовал спираль , носящую его имя, и получил формулы объёмов поверхностей вращения .

Женщина преподает геометрию . Иллюстрация в начале средневекового перевода « Элементов» Евклида ( ок. 1310 г. ).

Индийские математики также внесли большой вклад в геометрию. « Шатапатха-брахман» (3 век до н.э.) содержит правила ритуальных геометрических построений, аналогичные « Сульба-сутрам» . [20] Согласно ( Хаяши 2005 , стр. 363), Сульба-сутры содержат «самое раннее из дошедших до нас словесных выражений теоремы Пифагора в мире, хотя оно было уже известно древним вавилонянам. Они содержат списки пифагорейских троек , [б] которые являются частными случаями диофантовых уравнений . [21] В рукописи Бахшали есть несколько геометрических задач (включая задачи об объёмах неправильных тел). В рукописи Бахшали также «используется десятичная система значений с точкой вместо нуля». [22] Арьябхатия Арьябхаты (499 ) включает вычисление площадей и объемов. Брахмагупта написал свой астрономический труд « Брахмаспхутасиддханта» в 628 году. Глава 12, содержащая 66 санскритских стихов, была разделена на два раздела: «основные операции» (включая кубические корни, дроби, соотношение и пропорции, а также обмен) и «практическая математика» (включая смешение, математические ряды, плоские фигуры, укладка кирпичей, распиловка леса, складывание зерна). [23] В последнем разделе он сформулировал свою знаменитую теорему о диагоналях вписанного четырехугольника . Глава 12 также включала формулу площади вписанного четырехугольника (обобщение формулы Герона ), а также полное описание рациональных треугольников ( т.е. треугольников с рациональными сторонами и рациональными площадями). [23]

В века средние математика в средневековом исламе способствовала развитию геометрии, особенно алгебраической геометрии . [24] [25] Аль-Махани (р. 853) задумал свести геометрические проблемы, такие как копирование куба, к задачам алгебры. [26] Табит ибн Курра (известный как Тебит на латыни ) (836–901) занимался арифметическими операциями, применяемыми к отношениям геометрических величин, и внес вклад в развитие аналитической геометрии . [27] Омар Хайям (1048–1131) нашел геометрические решения кубических уравнений . [28] Теоремы Ибн аль-Хайсама (Альхазена), Омара Хайяма и Насир ад-Дина ат-Туси о четырехугольниках , включая четырехугольник Ламберта и четырехугольник Саккери , были частью направления исследований постулата параллельности, продолженного более поздними европейскими геометрами, в том числе Вителло ( ок. 1230 — ок. 1314 ), Герсонида (1288–1344), Альфонсо, Джона Уоллиса и Джованни Джироламо Саккери , что к 19 веку привело к открытию гиперболической геометрии . [29]

В начале 17 века в геометрии произошли два важных события. Первым было создание аналитической геометрии, или геометрии с координатами и уравнениями , Рене Декартом (1596–1650) и Пьером де Ферма (1601–1665). [30] Это было необходимым предшественником развития исчисления и точной количественной науки физики . [31] Вторым геометрическим достижением этого периода стало систематическое изучение проективной геометрии Жираром Дезаргом (1591–1661). [32] Проективная геометрия изучает свойства форм, неизменяющиеся при проекциях и сечениях , особенно в отношении художественной перспективы . [33]

Два события в геометрии, произошедшие в XIX веке, изменили способ ее изучения ранее. [34] Это были открытие неевклидовой геометрии Николаем Ивановичем Лобачевским, Яношем Бойяи и Карлом Фридрихом Гауссом, а также формулировка симметрии как центрального соображения в эрлангенской программе Феликса Клейна (которая обобщила евклидову и неевклидову геометрию). Двумя мастерами-геометрами того времени были Бернхард Риман (1826–1866), работавший в основном с инструментами математического анализа и представивший риманову поверхность , и Анри Пуанкаре , основатель алгебраической топологии и геометрической теории динамических систем . В результате этих серьезных изменений в концепции геометрии концепция « пространства » стала чем-то богатым и разнообразным и стала естественной основой для таких различных теорий, как комплексный анализ и классическая механика . [35]

Основные понятия

Ниже приведены некоторые из наиболее важных понятий геометрии. [3] [36] [37]

Аксиомы

Иллюстрация постулата Евклида о параллельности.
См. Также: Евклидова геометрия и аксиома.

Евклид использовал абстрактный подход к геометрии в своих «Началах» . [38] одна из самых влиятельных книг, когда-либо написанных. [39] Евклид ввел определенные аксиомы , или постулаты , выражающие первичные или самоочевидные свойства точек, линий и плоскостей. [40] Он приступил к строгому выводу других свойств с помощью математических рассуждений. Характерной чертой подхода Евклида к геометрии была его строгость, и он стал известен как аксиоматическая или синтетическая геометрия. [41] В начале XIX века произошло открытие неевклидовой геометрии Николаем Ивановичем Лобачевским (1792–1856), Яношем Бойяи (1802–1860), Карлом Фридрихом Гауссом (1777–1855) и другими. [42] привело к возрождению интереса к этой дисциплине, и в 20 веке Дэвид Гильберт (1862–1943) применил аксиоматические рассуждения в попытке обеспечить современные основы геометрии. [43]

Объекты

Очки

Основная статья: Точка (геометрия)

Точки обычно считаются фундаментальными объектами для построения геометрии. Их можно определить по свойствам, которыми они должны обладать, как в определении Евклида как «то, что не имеет частей». [44] или в синтетической геометрии . В современной математике их обычно определяют как элементы множества , называемого пространством , которое само по себе аксиоматически определено.

Согласно этим современным определениям, каждая геометрическая фигура определяется как набор точек; в синтетической геометрии дело обстоит иначе, где линия — это еще один фундаментальный объект, который не рассматривается как набор точек, через которые она проходит.

Однако существуют современные геометрии, в которых точки не являются примитивными объектами или даже не являются точками. [45] [46] Одной из старейших таких геометрий является бесточечная геометрия Уайтхеда , сформулированная Альфредом Нортом Уайтхедом в 1919–1920 годах.

Линии

Основная статья: Линия (геометрия)

Евклид описал линию как «длину без ширины», которая «равномерно лежит относительно точек на себе». [44] В современной математике, учитывая множество геометрий, понятие прямой тесно связано со способом описания геометрии. Например, в аналитической геометрии линия на плоскости часто определяется как набор точек, координаты которых удовлетворяют заданному линейному уравнению : [47] но в более абстрактной ситуации, такой как геометрия инцидентности , линия может быть независимым объектом, отличным от множества лежащих на ней точек. [48] В дифференциальной геометрии геодезическая — это обобщение понятия прямой на искривленные пространства . [49]

Самолеты

Основная статья: Евклидова плоскость

В евклидовой геометрии плоскость — это плоская двумерная поверхность, простирающаяся бесконечно; [44] определения других типов геометрии являются их обобщениями. Плоскости используются во многих областях геометрии. Например, плоскости можно изучать как топологическую поверхность без привязки к расстояниям или углам; [50] его можно изучать как аффинное пространство , где можно изучать коллинеарность и отношения, но не расстояния; [51] его можно изучать как комплексную плоскость, используя методы комплексного анализа ; [52] и так далее.

Углы

Основная статья: Угол

Евклид определяет плоский угол как наклон друг к другу в плоскости двух прямых, которые встречаются друг с другом и не лежат прямо по отношению друг к другу. [44] Говоря современным языком, угол — это фигура, образованная двумя лучами , называемыми сторонами угла, имеющими общую конечную точку, называемую вершиной угла. [53]

Острый (а), тупой (б) и прямой (в) углы. Острый и тупой углы еще называют косыми.

В евклидовой геометрии углы используются для изучения многоугольников и треугольников , а также образуют самостоятельный объект исследования. [44] Изучение углов треугольника или углов единичной окружности составляет основу тригонометрии . [54]

В дифференциальной геометрии и исчислении углы между плоскими кривыми или пространственными кривыми или поверхностями могут быть вычислены с использованием производной . [55] [56]

Кривые

Основная статья: Кривая (геометрия)

Кривая ; — это одномерный объект, который может быть прямым (например, линия) или нет кривые в 2-мерном пространстве называются плоскими кривыми , а в 3-мерном пространстве — пространственными кривыми . [57]

В топологии кривая определяется функцией от интервала действительных чисел до другого пространства. [50] В дифференциальной геометрии используется то же определение, но определяющая функция должна быть дифференцируемой. [58] Алгебраическая геометрия изучает алгебраические кривые , которые определяются как алгебраические многообразия размерности один . [59]

Поверхности

Основная статья: Поверхность (математика)
Сфера — это поверхность, которую можно определить параметрически ( x = r sin θ cos φ , y = r sin θ sin φ , z = r cos θ ) или неявно ( x 2 + и 2 + я 2 − р 2 = 0 ).

Поверхность — это двумерный объект, например сфера или параболоид. [60] В дифференциальной геометрии [58] и топология , [50] поверхности описываются двумерными «участками» (или окрестностями ), которые собираются диффеоморфизмами или гомеоморфизмами соответственно. В алгебраической геометрии поверхности описываются полиномиальными уравнениями . [59]

Твердые вещества

Основная статья: Твердотельная геометрия
В евклидовом пространстве шар — это объем, ограниченный сферой.

— Твердое тело это трехмерный объект, ограниченный замкнутой поверхностью; например, шар — это объем, ограниченный сферой.

Коллекторы

Основная статья: Коллектор

Многообразие — это обобщение понятий кривой и поверхности. В топологии многообразие — это топологическое пространство в котором каждая точка имеет окрестность , гомеоморфную , евклидову пространству. [50] В дифференциальной геометрии дифференцируемое многообразие — это пространство, каждая окрестность которого диффеоморфна евклидову пространству. [58]

Многообразия широко используются в физике, в том числе в общей теории относительности и теории струн . [61]

Меры: длина, площадь и объём.

Основные статьи: Длина , Площадь и Объем.
См. также: Площадь § Список формул и Объем § Формулы объема.

Длина , площадь и объем описывают размер или протяженность объекта в одном, двух и трех измерениях соответственно. [62]

В евклидовой и аналитической геометрии длину отрезка часто можно вычислить по теореме Пифагора . [63]

Площадь и объем могут быть определены как фундаментальные величины, отдельные от длины, или они могут быть описаны и рассчитаны в терминах длин на плоскости или в трехмерном пространстве. [62] Математики нашли множество явных формул площади и формул объема различных геометрических объектов. В исчислении площадь и объем можно определить с помощью интегралов , таких как интеграл Римана. [64] или интеграл Лебега . [65]

Другие геометрические меры включают угловую меру , кривизну , меры компактности .

Метрики и меры

Основные статьи: Метрика (математика) и Мера (математика)
Визуальная проверка теоремы Пифагора для треугольника (3, 4, 5) , как в Чжоуби Суаньцзин 500–200 до н.э. Теорема Пифагора является следствием евклидовой метрики .

Понятие длины или расстояния можно обобщить, что приведет к идее метрики . [66] Например, евклидова метрика измеряет расстояние между точками в евклидовой плоскости , а гиперболическая метрика измеряет расстояние в гиперболической плоскости . Другие важные примеры метрик включают метрику Лоренца специальной теории относительности и полуримановы метрики общей теории относительности . [67]

В другом направлении понятия длины, площади и объема расширяются теорией меры , которая изучает методы присвоения размера или меры множествам , где меры подчиняются правилам , аналогичным правилам классической площади и объема. [68]

Соответствие и сходство

Основные статьи: Конгруэнтность (геометрия) и подобие (геометрия)

Конгруэнтность и сходство — это понятия, которые описывают, когда две формы имеют схожие характеристики. [69] В евклидовой геометрии подобие используется для описания объектов, имеющих одинаковую форму, а конгруэнтность используется для описания объектов, одинаковых как по размеру, так и по форме. [70] Гильберт в своей работе по созданию более строгого фундамента геометрии трактовал конгруэнтность как неопределенный термин, свойства которого определяются аксиомами .

Сравнение и подобие обобщаются в геометрии преобразований , изучающей свойства геометрических объектов, сохраняющиеся при различного рода преобразованиях. [71]

Конструкции циркуля и линейки

Основная статья: Конструкции циркуля и линейки

Классические геометры уделяли особое внимание построению геометрических объектов, описанных другим способом. Классически единственными инструментами, используемыми в большинстве геометрических построений, являются циркуль и линейка . [с] Кроме того, каждая конструкция должна была быть завершена за конечное число шагов. Однако некоторые проблемы оказалось трудно или невозможно решить одними этими средствами, и были найдены остроумные конструкции с использованием неусиса , парабол и других кривых или механических устройств.

Вращение и ориентация

Основные статьи: Вращение (геометрия) и Ориентация (геометрия)

Геометрические концепции вращения и ориентации частично определяют размещение объектов, находящихся на плоскости или в пространстве.

Измерение

Для более широкого освещения этой темы см. Измерение (математика) .
Снежинка Коха с фрактальной размерностью =log4/log3 и топологической размерностью =1.

Там, где традиционная геометрия допускала размеры 1 ( линия ), 2 ( плоскость ) и 3 (наш окружающий мир, понимаемый как трехмерное пространство использовали более высокие измерения . ), математики и физики на протяжении почти двух столетий [72] Одним из примеров математического использования более высоких измерений является конфигурационное пространство системы физической системы, размерность которого равна степеням свободы . Например, конфигурацию винта можно описать пятью координатами. [73]

В общей топологии понятие размерности было расширено от натуральных чисел до бесконечной размерности ( гильбертовых пространств например, ) и положительных действительных чисел (во фрактальной геометрии ). [74] В алгебраической геометрии размерность алгебраического многообразия получила ряд, казалось бы, различных определений, все из которых в наиболее распространенных случаях эквивалентны. [75]

Симметрия

Основная статья: Симметрия
Замощение ​ гиперболической плоскости

Тема симметрии в геометрии почти так же стара, как и сама наука геометрия. [76] Симметричные формы, такие как круг , правильные многоугольники и платоновые тела, имели большое значение для многих древних философов. [77] и были подробно исследованы еще до времен Евклида. [40] Симметричные узоры встречаются в природе и были художественно переданы во множестве форм, включая графику Леонардо да Винчи , М.К. Эшера и других. [78] Во второй половине XIX века взаимосвязь между симметрией и геометрией стала объектом пристального внимания. Феликса Кляйна провозгласила Эрлангенская программа , что в очень точном смысле симметрия, выраженная через понятие группы преобразований , определяет, что такое геометрия . [79] Симметрия в классической евклидовой геометрии представлена ​​конгруэнциями и жесткими движениями, тогда как в проективной геометрии аналогичную роль играют коллинеации — геометрические преобразования , превращающие прямые линии в прямые. [80] Однако именно в новых геометриях Бояи и Лобачевского, Римана, Клиффорда и Клейна и Софуса Ли идея Кляйна «определить геометрию через ее группу симметрии » нашла свое вдохновение. [81] Как дискретная, так и непрерывная симметрия играют важную роль в геометрии, первая — в топологии и геометрической теории групп . [82] [83] последнее в теории Ли и римановой геометрии . [84] [85]

Другой тип симметрии — это принцип двойственности в проективной геометрии , среди других областей. Этот метафеномен можно грубо описать следующим образом: в любой теореме обмен точкой с плоскостью , соединение с встречей , лежит в с содержит , и результатом является в равной степени истинная теорема. [86] Похожая и тесно связанная форма двойственности существует между векторным пространством и его двойственным пространством . [87]

Современная геометрия

Евклидова геометрия

Основная статья: Евклидова геометрия

Евклидова геометрия — это геометрия в ее классическом понимании. [88] Поскольку он моделирует пространство физического мира, он используется во многих научных областях, таких как механика , астрономия , кристаллография , [89] и многие технические области, такие как инженерия , [90] архитектура , [91] геодезия , [92] аэродинамика , [93] и навигация . [94] В обязательную учебную программу большинства стран входит изучение таких евклидовых понятий, как точки , прямые , плоскости , углы , треугольники , конгруэнтность , подобие , объемные фигуры , круги , аналитическая геометрия . [36]

Евклидовы векторы

Основная статья: Евклидов вектор

Евклидовы векторы используются во множестве приложений в физике и технике, таких как положение , смещение , деформация , скорость , ускорение , сила и т. д.

Дифференциальная геометрия

Дифференциальная геометрия использует инструменты математического анализа для изучения проблем, связанных с кривизной.
Основная статья: Дифференциальная геометрия

Дифференциальная геометрия использует методы исчисления и линейной алгебры для изучения задач геометрии. [95] Он имеет приложения в физике , [96] эконометрика , [97] и биоинформатика , [98] среди других.

В частности, дифференциальная геометрия важна для математической физики из-за Альберта Эйнштейна о общей теории относительности постулата что Вселенная искривлена том , . [99] Дифференциальная геометрия может быть либо внутренней (это означает, что рассматриваемые ею пространства представляют собой гладкие многообразия, геометрическая структура которых определяется римановой метрикой , которая определяет, как измеряются расстояния вблизи каждой точки), либо внешней (когда изучаемый объект является частью некоторого окружающего пространства). плоское евклидово пространство). [100]

Неевклидова геометрия

Этот раздел представляет собой отрывок из неевклидовой геометрии . [ редактировать ]
Поведение линий с общим перпендикуляром в каждом из трех типов геометрии
В математике тесно неевклидова геометрия состоит из двух геометрий, основанных на аксиомах, связанных с теми, которые определяют евклидову геометрию . Поскольку евклидова геометрия лежит на пересечении метрической геометрии и аффинной геометрии , неевклидова геометрия возникает либо в результате замены постулата параллельности альтернативой, либо в результате ослабления метрических требований. В первом случае получаются гиперболическая геометрия и эллиптическая геометрия , традиционные неевклидовы геометрии. связаны аффинные плоскости Когда метрические требования ослаблены, с планарными алгебрами , которые приводят к кинематической геометрии , которую также называют неевклидовой геометрией.

Топология

Основная статья: Топология
Утолщение узла трилистника

Топология — это область, изучающая свойства непрерывных отображений . [101] и может считаться обобщением евклидовой геометрии. [102] На практике топология часто означает работу с крупномасштабными свойствами пространств, такими как связность и компактность . [50]

Область топологии, получившая массовое развитие в 20 веке, в техническом смысле представляет собой разновидность геометрии преобразований , в которой преобразования являются гомеоморфизмами . [103] Это часто выражалось в форме поговорки: «Топология — это геометрия резинового листа». Подобласти топологии включают геометрическую топологию , дифференциальную топологию , алгебраическую топологию и общую топологию . [104]

Алгебраическая геометрия

Основная статья: Алгебраическая геометрия
Квинтик Калаби – Яу тройной

Алгебраическая геометрия — это, по сути, изучение с помощью алгебраических методов некоторых геометрических фигур, называемых алгебраическими множествами и определяемых как общие нули многочленов многомерных чисел . [105] Алгебраическая геометрия стала автономной областью геометрии c. 1900 , с теоремой под названием Nullstellensatz Гильберта , которая устанавливает строгое соответствие между алгебраическими множествами и идеалами полиномов колец . Это привело к параллельному развитию алгебраической геометрии и ее алгебраического аналога, называемого коммутативной алгеброй . [106] С конца 1950-х до середины 1970-х годов алгебраическая геометрия претерпела серьезное фундаментальное развитие с введением Александром Гротендиком теории схем , которая позволяет использовать топологические методы , включая теории когомологий , в чисто алгебраическом контексте. [106] Теория схем позволила решить множество сложных задач не только в геометрии, но и в теории чисел . Доказательство Уайлса Великой теоремы Ферма является известным примером давней проблемы теории чисел, для решения которой используется теория схем и ее расширения, такие как теория стека . Одна из семи задач Премии тысячелетия , гипотеза Ходжа , является вопросом алгебраической геометрии. [107]

Алгебраическая геометрия имеет приложения во многих областях, включая криптографию. [108] и теория струн . [109]

Сложная геометрия

Основная статья: Сложная геометрия

Сложная геометрия изучает природу геометрических структур, смоделированных на сложной плоскости или возникающих из нее . [110] [111] [112] Комплексная геометрия лежит на стыке дифференциальной геометрии, алгебраической геометрии и анализа нескольких комплексных переменных и нашла применение в теории струн и зеркальной симметрии . [113]

Комплексная геометрия впервые появилась как отдельная область исследования в работах Бернхарда Римана при изучении римановых поверхностей . [114] [115] [116] Работы в духе Римана проводились итальянской школой алгебраической геометрии в начале 1900-х годов. Современное рассмотрение сложной геометрии началось с работы Жана-Пьера Серра , который ввел в предмет понятие пучков и осветил отношения между комплексной геометрией и алгебраической геометрией. [117] [118] Основными объектами изучения комплексной геометрии являются комплексные многообразия , комплексные алгебраические многообразия и комплексные аналитические многообразия , а также голоморфные векторные расслоения и когерентные пучки над этими пространствами. Специальные примеры пространств, изучаемых в комплексной геометрии, включают римановы поверхности и многообразия Калаби – Яу , и эти пространства находят применение в теории струн. В частности, мировые листы струн моделируются римановыми поверхностями, а теория суперструн предсказывает, что дополнительные 6 измерений 10-мерного пространства-времени могут быть смоделированы многообразиями Калаби – Яу.

Дискретная геометрия

Основная статья: Дискретная геометрия
Дискретная геометрия включает изучение различных упаковок сфер .

Дискретная геометрия — предмет, имеющий тесную связь с выпуклой геометрией . [119] [120] [121] В основном он касается вопросов взаимного расположения простых геометрических объектов, таких как точки, линии и круги. Примеры включают изучение упаковок сфер , триангуляции , гипотезы Кнезера-Поульсена и т. д. [122] [123] Она разделяет многие методы и принципы с комбинаторикой .

Вычислительная геометрия

Основная статья: Вычислительная геометрия

Вычислительная геометрия занимается алгоритмами и их реализациями для управления геометрическими объектами. Исторически важные проблемы включали задачу коммивояжера , минимальные связующие деревья , удаление скрытых линий и линейное программирование . [124]

Несмотря на то, что геометрия является молодой областью, она имеет множество применений в компьютерном зрении , обработке изображений , компьютерном проектировании , медицинской визуализации и т. д. [125]

Геометрическая теория групп

Основная статья: Геометрическая теория групп
Граф Кэли свободной группы с двумя образующими a и b

Геометрическая теория групп использует крупномасштабные геометрические методы для изучения конечно порожденных групп . [126] Это тесно связано с низкоразмерной топологией , например, в Григория Перельмана доказательстве гипотезы геометризации , которое включало доказательство гипотезы Пуанкаре , проблемы Премии тысячелетия . [127]

Геометрическая теория групп часто вращается вокруг графа Кэли , который является геометрическим представлением группы. Другие важные темы включают квазиизометрии , гиперболические группы Громова и прямоугольные группы Артина . [126] [128]

Выпуклая геометрия

Основная статья: Выпуклая геометрия

Выпуклая геометрия исследует выпуклые формы в евклидовом пространстве и его более абстрактных аналогах, часто используя методы реального анализа и дискретной математики . [129] Он имеет тесную связь с выпуклым анализом , оптимизацией и функциональным анализом , а также с важными приложениями в теории чисел .

Выпуклая геометрия восходит к античности. [129] Архимед дал первое известное точное определение выпуклости. Изопериметрическая задача , повторяющаяся концепция в выпуклой геометрии, изучалась также греками, в том числе Зенодором . Архимед, Платон , Евклид , а позже Кеплер и Коксетер изучали выпуклые многогранники и их свойства. Начиная с XIX века, математики изучали другие области выпуклой математики, включая многогранники более высокой размерности, объём и площадь поверхности выпуклых тел, гауссову кривизну , алгоритмы , мозаики и решётки .

Приложения

Геометрия нашла применение во многих областях, некоторые из которых описаны ниже.

Искусство

Основная статья: Математика и искусство
Медресе Бу Инания, Фес, Марокко, мозаичные плитки зеллиг, образующие сложные геометрические мозаики.

Математика и искусство связаны по-разному. Например, теория перспективы показала, что геометрия — это нечто большее, чем просто метрические свойства фигур: перспектива является источником проективной геометрии . [130]

Художники издавна использовали концепцию пропорций в дизайне. Витрувий разработал сложную теорию идеальных пропорций человеческой фигуры. [131] Эти концепции использовались и адаптировались художниками от Микеланджело до современных художников комиксов. [132]

Золотое сечение — это особая пропорция, которая сыграла противоречивую роль в искусстве. Часто утверждается, что это наиболее эстетичное соотношение длин, и часто утверждается, что оно включено в известные произведения искусства, хотя наиболее надежные и недвусмысленные примеры были намеренно созданы художниками, знающими об этой легенде. [133]

Плитки или мозаика использовались в искусстве на протяжении всей истории. Исламское искусство часто использует мозаику, как и искусство Эшера . [134] В работе Эшера также использовалась гиперболическая геометрия .

Сезанн выдвинул теорию, согласно которой все изображения могут быть построены из сферы , конуса и цилиндра . Это до сих пор используется в теории искусства, хотя точный список форм варьируется от автора к автору. [135] [136]

Архитектура

Основные статьи: Математика и архитектура и Архитектурная геометрия.

Геометрия имеет множество применений в архитектуре. Фактически, было сказано, что геометрия лежит в основе архитектурного дизайна. [137] [138] Применение геометрии в архитектуре включает использование проективной геометрии для создания принудительной перспективы . [139] использование конических сечений при строительстве куполов и подобных объектов, [91] использование тесселяций , [91] и использование симметрии. [91]

Физика

Основная статья: Математическая физика

Область астрономии , особенно в том, что касается картографирования положения звезд и планет на небесной сфере и описания взаимосвязи между движениями небесных тел, на протяжении всей истории служила важным источником геометрических проблем. [140]

риманова геометрия и псевдориманова используются В общей теории относительности геометрия . [141] Теория струн использует несколько вариантов геометрии. [142] как и квантовая теория информации . [143]

Другие области математики

Пифагорейцы открыли, что стороны треугольника могут иметь несоизмеримую длину.

Исчисление находилось под сильным влиянием геометрии. [30] Например, введение координат Рене Декартом и параллельное развитие алгебры ознаменовали новый этап в геометрии, поскольку геометрические фигуры, такие как плоские кривые , теперь можно было представить аналитически в форме функций и уравнений. Это сыграло ключевую роль в появлении исчисления бесконечно малых в 17 веке. Аналитическая геометрия продолжает оставаться основой учебной программы по математическому анализу и математическому анализу. [144] [145]

Другая важная область применения — теория чисел . [146] В Древней Греции пифагорейцы . рассматривали роль чисел в геометрии Однако открытие несоизмеримых длин противоречило их философским воззрениям. [147] С 19-го века геометрия использовалась для решения задач теории чисел, например, посредством геометрии чисел или, в последнее время, теории схем , которая используется в доказательстве Уайлса Великой теоремы Ферма . [148]

См. также

Основная категория: Геометрия
Списки
Связанные темы
Другие приложения

Примечания

  1. ^ До 19 века в геометрии доминировало предположение, что все геометрические конструкции евклидовы. В 19 веке и позже это было поставлено под сомнение развитием гиперболической геометрии Лобачевским другими и других неевклидовых геометрий Гауссом и . Затем стало понятно, что неявно неевклидова геометрия появлялась на протяжении всей истории, включая работы Дезарга в 17 веке, вплоть до неявного использования сферической геометрии для понимания геодезии Земли и навигации по океанам, начиная с античности.
  2. ^ Тройки Пифагора - это тройки целых чисел. с имуществом: . Таким образом, , , и т. д.
  3. ^ У древних греков были конструкции с использованием других инструментов.

Ссылки

  1. ^ «Геометрия — формулы, примеры | Плоская и объемная геометрия» . Куемат . Проверено 31 августа 2023 г.
  2. ^ Винченцо Де Риси (2015). Математизация пространства: объекты геометрии от античности до раннего Нового времени . Биркхойзер. стр. 1–. ISBN  978-3-319-12102-4 . Архивировано из оригинала 20 февраля 2021 года . Проверено 14 сентября 2019 г.
  3. ^ Jump up to: а б Табак, Джон (2014). Геометрия: язык пространства и формы . Издательство информационной базы. п. xiv. ISBN  978-0-8160-4953-0 .
  4. ^ Уолтер А. Мейер (2006). Геометрия и ее приложения . Эльзевир. ISBN  978-0-08-047803-6 . Архивировано из оригинала 1 сентября 2021 года . Проверено 14 сентября 2019 г.
  5. ^ Фриберг, Йоран (1981). «Методы и традиции вавилонской математики» . История Математики . 8 (3): 277–318. дои : 10.1016/0315-0860(81)90069-0 .
  6. ^ Нойгебауэр, Отто (1969) [1957]. «Глава IV Египетская математика и астрономия» . Точные науки в древности (2-е изд.). Дуврские публикации . стр. 71–96. ISBN  978-0-486-22332-2 . Архивировано из оригинала 14 августа 2020 года . Проверено 27 февраля 2021 г. .
  7. ^ ( Бойер 1991 , «Египет», стр. 19)
  8. ^ Оссендрийвер, Матье (29 января 2016 г.). «Древние вавилонские астрономы рассчитали положение Юпитера по площади под графиком скорости времени». Наука . 351 (6272): 482–484. Бибкод : 2016Sci...351..482O . doi : 10.1126/science.aad8085 . ПМИД   26823423 . S2CID   206644971 .
  9. ^ Депюйдт, Лео (1 января 1998 г.). «Гномоны в Мероэ и ранняя тригонометрия». Журнал египетской археологии . 84 : 171–180. дои : 10.2307/3822211 . JSTOR   3822211 .
  10. ^ Слейман, Эндрю (27 мая 1998 г.). «Неолитические наблюдатели за небом» . Архив журнала «Археология» . Архивировано из оригинала 5 июня 2011 года . Проверено 17 апреля 2011 г.
  11. ^ ( Бойер 1991 , «Иония и пифагорейцы», стр. 43)
  12. ^ Ивс, Ховард, Введение в историю математики , Сондерс, 1990, ISBN   0-03-029558-0 .
  13. ^ Курт фон Фриц (1945). «Открытие несоизмеримости Гиппасом Метапонтумским». Классика в истории греческой математики . Анналы математики; Бостонские исследования в области философии науки. Том. 240. стр. 211–231. дои : 10.1007/978-1-4020-2640-9_11 . ISBN  978-90-481-5850-8 . JSTOR   1969021 .
  14. ^ Джеймс Р. Чойк (1980). «Пентаграмма и открытие иррационального числа» . Двухлетний математический журнал колледжа . 11 (5): 312–316. дои : 10.2307/3026893 . JSTOR   3026893 . Архивировано из оригинала 9 сентября 2022 года . Проверено 9 сентября 2022 г.
  15. ^ ( Бойер 1991 , «Эпоха Платона и Аристотеля», стр. 92)
  16. ^ ( Бойер 1991 , «Евклид Александрийский», стр. 119)
  17. ^ ( Бойер 1991 , «Евклид Александрийский», стр. 104)
  18. ^ Говард Ивс , Введение в историю математики , Сондерс, 1990, ISBN   0-03-029558-0 с. 141: «Ни одно произведение, кроме Библии , не использовалось более широко…»
  19. ^ О'Коннор, Джей-Джей; Робертсон, EF (февраль 1996 г.). «История исчисления» . Университет Сент-Эндрюс . Архивировано из оригинала 15 июля 2007 года . Проверено 7 августа 2007 г.
  20. ^ Стаал, Фриц (1999). «Греческая и ведическая геометрия». Журнал индийской философии . 27 (1–2): 105–127. дои : 10.1023/А:1004364417713 . S2CID   170894641 .
  21. ^ ( Кук 2005 , стр. 198): «Арифметическое содержание Шулва-сутр состоит из правил поиска пифагорейских троек, таких как (3, 4, 5), (5, 12, 13), (8, 15, 17). , и (12, 35, 37). Неизвестно, какое практическое применение имели эти арифметические правила. Лучшее предположение состоит в том, что они были частью религиозного ритуала. В индуистском доме должно было гореть три огня на трех разных алтарях. три алтаря должны были иметь разную форму, но все три должны были иметь одинаковую площадь. Эти условия приводили к определенным «диофантовым» проблемам, частным случаем которых является генерация пифагорейских троек, чтобы одно квадратное целое число было равно. сумма двух других».
  22. ^ ( Хаяши 2005 , стр. 371)
  23. ^ Jump up to: а б ( Хаяси 2003 , стр. 121–122)
  24. ^ Рашид, Рушди (1994). Развитие арабской математики: между арифметикой и алгеброй . Бостонские исследования в области философии науки. Том. 156. с. 35. дои : 10.1007/978-94-017-3274-1 . ISBN  978-0-7923-2565-9 . ОСЛК   29181926 .
  25. ^ ( Boyer 1991 , «Арабская гегемония», стр. 241–242) «Омар Хайям (ок. 1050–1123), «изготовитель палаток», написал алгебру , которая вышла за рамки алгебры аль-Хорезми и включила уравнения третьего порядка. Как и его арабские предшественники, Омар Хайям предлагал для квадратных уравнений как арифметические, так и геометрические решения для общих кубических уравнений, он считал (ошибочно, как позже показал XVI век), что арифметические решения невозможны; Схема использования пересекающихся коник для решения кубических задач ранее использовалась Менехмом, Архимедом и Альхазаном, но Омар Хайям сделал достойный похвалы шаг, обобщив метод на все уравнения третьей степени (имеющие положительные корни... Для уравнений высшей степени). степени выше трех, Омар Хайям, очевидно, не предполагал подобных геометрических методов, поскольку пространство содержит не более трех измерений... Одним из наиболее плодотворных вкладов арабского эклектизма была тенденция сократить разрыв между числовой и геометрической алгеброй. Решающий шаг в этом направлении был сделан гораздо позже Декарта, но Омар Хайям двигался в этом направлении, когда писал: «Кто думает, что алгебра — это уловка для получения неизвестных, тот думал это напрасно. Не следует обращать внимания на тот факт, что алгебра и геометрия внешне различны. Алгебры — это доказанные геометрические факты».
  26. ^ О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. «Аль-Махани» . MacTutor Архив истории математики . Университет Сент-Эндрюс .
  27. ^ О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. «Ас-Саби Сабит ибн Курра аль-Харрани» . MacTutor Архив истории математики . Университет Сент-Эндрюс .
  28. ^ О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. «Омар Хайям» . MacTutor Архив истории математики . Университет Сент-Эндрюс .
  29. ^ Борис А. Розенфельд и Адольф П. Юшкевич (1996), «Геометрия», в Рошди Рашед, изд., Энциклопедия истории арабской науки , Vol. 2, стр. 447–494 [470], Рутледж , Лондон и Нью-Йорк:

    «Три учёных, Ибн аль-Хайсам, Хайям и ат-Туси, внесли наиболее значительный вклад в эту отрасль геометрии, важность которой стала полностью осознаваться только в XIX веке. По существу, их положения о свойствах четырёхугольников которые они считали, предполагая, что некоторые углы этих фигур были острыми или тупыми, воплощали в себе первые несколько теорем гиперболической и эллиптической геометрии. Их другие предложения показали, что различные геометрические утверждения были эквивалентны постулату V Евклида. Важно, что эти ученые установили взаимную связь между этим постулатом и суммой углов треугольника и четырехугольника. Своими работами по теории параллельных прямых арабские математики непосредственно повлияли на соответствующие исследования своих европейских коллег. доказать постулат о параллельных прямых, выдвинутый Витело, польскими учеными XIII века, при пересмотре работы Ибн аль-Хайсама. Книга оптики ( Китаб аль-Маназир ) — несомненно, была навеяна арабскими источниками. Доказательства, выдвинутые в XIV веке еврейским ученым Леви бен Герсоном, жившим на юге Франции, и упомянутым выше Альфонсо из Испании непосредственно граничат с доказательством Ибн аль-Хайсама. Выше мы показали, что «Изложение Евклида» Псевдо-Тузи стимулировало исследования теории параллельных прямых как Дж. Уоллиса, так и Дж. Саккери».

  30. ^ Jump up to: а б Карл Б. Бойер (2012). История аналитической геометрии . Курьерская корпорация. ISBN  978-0-486-15451-0 . Архивировано из оригинала 26 декабря 2019 года . Проверено 18 сентября 2019 г.
  31. ^ CH Эдвардс младший (2012). Историческое развитие исчисления . Springer Science & Business Media. п. 95. ИСБН  978-1-4612-6230-5 . Архивировано из оригинала 29 декабря 2019 года . Проверено 18 сентября 2019 г.
  32. ^ Джудит В. Филд ; Джереми Грей (2012). Геометрические работы Жирара Дезарга . Springer Science & Business Media. п. 43. ИСБН  978-1-4613-8692-6 . Архивировано из оригинала 27 декабря 2019 года . Проверено 18 сентября 2019 г.
  33. ^ CR Уайли (2011). Введение в проективную геометрию . Курьерская корпорация. ISBN  978-0-486-14170-1 . Архивировано из оригинала 28 декабря 2019 года . Проверено 18 сентября 2019 г.
  34. ^ Джереми Грей (2011). Миры из ничего: Курс истории геометрии XIX века . Springer Science & Business Media. ISBN  978-0-85729-060-1 . Архивировано из оригинала 7 декабря 2019 года . Проверено 18 сентября 2019 г.
  35. ^ Эдуардо Байро-Коррошано (2018). Приложения геометрической алгебры Vol. I: Компьютерное зрение, графика и нейрокомпьютеры . Спрингер. п. 4. ISBN  978-3-319-74830-6 . Архивировано из оригинала 28 декабря 2019 года . Проверено 18 сентября 2019 г.
  36. ^ Jump up to: а б Шмидт, В.; Хуанг, Р.; Коган, Лиланд С. (2002). «Последовательная учебная программа: пример математики» . Американский педагог . 26 (2): 10–26. S2CID   118964353 .
  37. ^ Моррис Клайн (1990). Математическая мысль от древности до современности: Том 3 . США: Издательство Оксфордского университета. стр. 1010–. ISBN  978-0-19-506137-6 . Архивировано из оригинала 1 сентября 2021 года . Проверено 14 сентября 2019 г.
  38. ^ Виктор Дж. Кац (2000). Использование истории для преподавания математики: международный взгляд . Издательство Кембриджского университета. стр. 45–. ISBN  978-0-88385-163-0 . Архивировано из оригинала 1 сентября 2021 года . Проверено 14 сентября 2019 г.
  39. ^ Дэвид Берлински (2014). Царь бесконечного пространства: Евклид и его элементы . Основные книги. ISBN  978-0-465-03863-3 .
  40. ^ Jump up to: а б Робин Хартшорн (2013). Геометрия: Евклид и не только . Springer Science & Business Media. стр. 29–. ISBN  978-0-387-22676-7 . Архивировано из оригинала 1 сентября 2021 года . Проверено 14 сентября 2019 г.
  41. ^ Пэт Хербст; Таро Фудзита; Стефан Халвершайд; Майкл Вайс (2017). Изучение и преподавание геометрии в средних школах: перспектива моделирования . Тейлор и Фрэнсис. стр. 20–. ISBN  978-1-351-97353-3 . Архивировано из оригинала 1 сентября 2021 года . Проверено 14 сентября 2019 г.
  42. ^ И.М. Яглом (2012). Простая неевклидова геометрия и ее физическая основа: элементарное описание геометрии Галилея и принципа относительности Галилея . Springer Science & Business Media. стр. 6–. ISBN  978-1-4612-6135-3 . Архивировано из оригинала 1 сентября 2021 года . Проверено 14 сентября 2019 г.
  43. ^ Аудун Холм (2010). Геометрия: наше культурное наследие . Springer Science & Business Media. стр. 254–. ISBN  978-3-642-14441-7 . Архивировано из оригинала 1 сентября 2021 года . Проверено 14 сентября 2019 г.
  44. ^ Jump up to: а б с д и Элементы Евклида - Все тринадцать книг в одном томе , на основе перевода Хита, Green Lion Press. ISBN   1-888009-18-7 .
  45. ^ Герла, Г. (1995). «Бессмысленные геометрии» (PDF) . В Букенхауте, Ф.; Кантор, В. (ред.). Справочник по геометрии падения: здания и фундаменты . Северная Голландия. стр. 1015–1031. Архивировано из оригинала (PDF) 17 июля 2011 года.
  46. ^ Кларк, Боуман Л. (январь 1985 г.). «Люди и очки» . Журнал формальной логики Нотр-Дама . 26 (1): 61–75. дои : 10.1305/ndjfl/1093870761 .
  47. ^ Джон Кейси (1885). Аналитическая геометрия точечных, прямых, окружных и конических сечений .
  48. ^ Фрэнсис Букенхаут, изд. (1995). Справочник по геометрии падения: здания и фундаменты . Амстердам: Эльзевир. ISBN  978-0-444-88355-1 . OCLC   162589397 . Архивировано из оригинала 1 марта 2023 года . Проверено 9 сентября 2022 г.
  49. ^ «геодезический – определение геодезического на английском языке из Оксфордского словаря» . OxfordDictionaries.com . Архивировано из оригинала 15 июля 2016 года . Проверено 20 января 2016 г.
  50. ^ Jump up to: а б с д и Манкрес, Джеймс Р. (2000). Топология . Том. 2 (2-е изд.). Река Аппер-Сэддл, Нью-Джерси: ISBN Prentice Hall, Inc.  0-13-181629-2 . OCLC   42683260 .
  51. ^ Шмелев, Ванда (1983). От аффинной к евклидовой геометрии . Спрингер. ISBN  978-90-277-1243-1 . Архивировано из оригинала 1 марта 2023 года . Проверено 9 сентября 2022 г.
  52. ^ Альфорс, Ларс В. (1979). Комплексный анализ: введение в теорию аналитических функций одной комплексной переменной (3-е изд.). Нью-Йорк: МакГроу-Хилл. ISBN  9780070006577 . OCLC   4036464 . Архивировано из оригинала 1 марта 2023 года . Проверено 9 сентября 2022 г.
  53. ^ Сидоров, Л.А. (2001) [1994]. "Угол" . Энциклопедия математики . ЭМС Пресс .
  54. ^ Гельфанд, И.М. (2001). Тригонометрия . Марк Э. Саул. Бостон: Биркхойзер. стр. 1–20. ISBN  0-8176-3914-4 . OCLC   41355833 . Архивировано из оригинала 1 марта 2023 года . Проверено 10 сентября 2022 г.
  55. ^ Стюарт, Джеймс (2012). Исчисление: ранние трансцендентальные теории , 7-е изд., Brooks Cole Cengage Learning. ISBN   978-0-538-49790-9
  56. ^ Йост, Юрген (2002). Риманова геометрия и геометрический анализ . Берлин: Springer-Verlag. ISBN  978-3-540-42627-1 . .
  57. ^ Бейкер, Генри Фредерик. Принципы геометрии. Том. 2. Архив КУБКА, 1954 год.
  58. ^ Jump up to: а б с Карму, Манфредо Пердиган ду (1976). Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей . Том. 2. Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси: Прентис-Холл. ISBN  0-13-212589-7 . ОСЛК   1529515 . Архивировано из оригинала 1 марта 2023 года . Проверено 9 сентября 2022 г.
  59. ^ Jump up to: а б Мамфорд, Дэвид (1999). Красная книга разновидностей и схем включает Мичиганские лекции о кривых и их якобианах (2-е изд.). Спрингер-Верлаг . ISBN  978-3-540-63293-1 . Збл   0945.14001 .
  60. ^ Бриггс, Уильям Л. и Лайл Кокран Исчисление. «Ранние трансценденталисты». ISBN   978-0-321-57056-7 .
  61. ^ Яу, Шинг-Тунг ; Надис, Стив (2010). Форма внутреннего пространства: теория струн и геометрия скрытых измерений Вселенной . Основные книги. ISBN   978-0-465-02023-2 .
  62. ^ Jump up to: а б Стивен А. Триз (2018). История и измерение базовых и производных единиц . Международное издательство Спрингер. стр. 101–. ISBN  978-3-319-77577-7 . Архивировано из оригинала 30 декабря 2019 года . Проверено 25 сентября 2019 г.
  63. ^ Джеймс В. Кэннон (2017). Геометрия длин, площадей и объемов . Американское математическое соц. п. 11. ISBN  978-1-4704-3714-5 . Архивировано из оригинала 31 декабря 2019 года . Проверено 25 сентября 2019 г.
  64. ^ Гилберт Стрэнг (1991). Исчисление . СИАМ. ISBN  978-0-9614088-2-4 . Архивировано из оригинала 24 декабря 2019 года . Проверено 25 сентября 2019 г.
  65. ^ HS Медведь (2002). Основы интеграции Лебега . Академическая пресса. ISBN  978-0-12-083971-1 . Архивировано из оригинала 25 декабря 2019 года . Проверено 25 сентября 2019 г.
  66. ^ Дмитрий Бураго, Ю. Д. Бураго , Сергей Иванов, Курс метрической геометрии , Американское математическое общество, 2001, ISBN   0-8218-2129-6 .
  67. ^ Уолд, Роберт М. (1984). Общая теория относительности . Издательство Чикагского университета. ISBN  978-0-226-87033-5 .
  68. ^ Теренс Тао (2011). Введение в теорию меры . Американское математическое соц. ISBN  978-0-8218-6919-2 . Архивировано из оригинала 27 декабря 2019 года . Проверено 25 сентября 2019 г.
  69. ^ Шломо Либескинд (2008). Евклидова и трансформационная геометрия: дедуктивное исследование . Джонс и Бартлетт Обучение. п. 255. ИСБН  978-0-7637-4366-6 . Архивировано из оригинала 25 декабря 2019 года . Проверено 25 сентября 2019 г.
  70. ^ Марк А. Фрайтаг (2013). Математика для учителей начальных классов: процессный подход . Cengage Обучение. п. 614. ИСБН  978-0-618-61008-2 . Архивировано из оригинала 28 декабря 2019 года . Проверено 25 сентября 2019 г.
  71. ^ Джордж Э. Мартин (2012). Геометрия преобразований: введение в симметрию . Springer Science & Business Media. ISBN  978-1-4612-5680-9 . Архивировано из оригинала 7 декабря 2019 года . Проверено 25 сентября 2019 г.
  72. ^ Марк Блэклок (2018). Появление четвертого измерения: высшее пространственное мышление в конце века . Издательство Оксфордского университета. ISBN  978-0-19-875548-7 . Архивировано из оригинала 27 декабря 2019 года . Проверено 18 сентября 2019 г.
  73. ^ Чарльз Джаспер Джоли (1895). Бумаги . Академия. стр. 62–. Архивировано из оригинала 27 декабря 2019 года . Проверено 18 сентября 2019 г.
  74. ^ Роджер Темам (2013). Бесконечномерные динамические системы в механике и физике . Springer Science & Business Media. п. 367. ИСБН  978-1-4612-0645-3 . Архивировано из оригинала 24 декабря 2019 года . Проверено 18 сентября 2019 г.
  75. ^ Билл Джейкоб; Цит-Юэнь Лам (1994). Последние достижения в области реальной алгебраической геометрии и квадратичных форм: материалы года RAGSQUAD, Беркли, 1990–1991 гг . Американское математическое соц. п. 111. ИСБН  978-0-8218-5154-8 . Архивировано из оригинала 28 декабря 2019 года . Проверено 18 сентября 2019 г.
  76. ^ Ян Стюарт (2008). Почему красота — это истина: история симметрии . Основные книги. п. 14. ISBN  978-0-465-08237-7 . Архивировано из оригинала 25 декабря 2019 года . Проверено 23 сентября 2019 г.
  77. ^ Стахов Алексей (2009). Математика гармонии: от Евклида к современной математике и информатике . Всемирная научная. п. 144. ИСБН  978-981-4472-57-9 . Архивировано из оригинала 29 декабря 2019 года . Проверено 23 сентября 2019 г.
  78. ^ Вернер Хан (1998). Симметрия как принцип развития в природе и искусстве . Всемирная научная. ISBN  978-981-02-2363-2 . Архивировано из оригинала 1 января 2020 года . Проверено 23 сентября 2019 г.
  79. ^ Брайан Дж. Кантвелл (2002). Введение в анализ симметрии . Издательство Кембриджского университета. п. 34. ISBN  978-1-139-43171-2 . Архивировано из оригинала 27 декабря 2019 года . Проверено 23 сентября 2019 г.
  80. ^ Б. Розенфельд; Билл Вибе (2013). Геометрия групп Ли . Springer Science & Business Media. стр. 158 и далее. ISBN  978-1-4757-5325-7 . Архивировано из оригинала 24 декабря 2019 года . Проверено 23 сентября 2019 г.
  81. ^ Питер Пешич (2007). За пределами геометрии: классические статьи от Римана до Эйнштейна . Курьерская корпорация. ISBN  978-0-486-45350-7 . Архивировано из оригинала 1 сентября 2021 года . Проверено 23 сентября 2019 г.
  82. ^ Мичио Каку (2012). Струны, конформные поля и топология: введение . Springer Science & Business Media. п. 151. ИСБН  978-1-4684-0397-8 . Архивировано из оригинала 24 декабря 2019 года . Проверено 23 сентября 2019 г.
  83. ^ Младен Бествина; Миха Сагеев; Карен Фогтманн (2014). Геометрическая теория групп . Американское математическое соц. п. 132. ИСБН  978-1-4704-1227-2 . Архивировано из оригинала 29 декабря 2019 года . Проверено 23 сентября 2019 г.
  84. ^ БХ. Стеб (1996). Непрерывные симметрии, алгебры Ли, дифференциальные уравнения и компьютерная алгебра . Мировое научное издательство. ISBN  978-981-310-503-4 . Архивировано из оригинала 26 декабря 2019 года . Проверено 23 сентября 2019 г.
  85. ^ Чарльз В. Миснер (2005). Направления общей теории относительности: Том 1: Материалы Международного симпозиума 1993 года, Мэриленд: Статьи в честь Чарльза Миснера . Издательство Кембриджского университета. п. 272. ИСБН  978-0-521-02139-5 . Архивировано из оригинала 26 декабря 2019 года . Проверено 23 сентября 2019 г.
  86. ^ Линней Вэйланд Даулинг (1917). Проективная геометрия . Книжная компания McGraw-Hill, Incorporated. п. 10 .
  87. ^ Г. Гирц (2006). Расслоения топологических векторных пространств и их двойственность . Спрингер. п. 252. ИСБН  978-3-540-39437-2 . Архивировано из оригинала 27 декабря 2019 года . Проверено 23 сентября 2019 г.
  88. ^ Роберт Э. Баттс; Дж. Р. Браун (2012). Конструктивизм и наука: очерки новейшей немецкой философии . Springer Science & Business Media. стр. 127–. ISBN  978-94-009-0959-5 . Архивировано из оригинала 1 сентября 2021 года . Проверено 20 сентября 2019 г.
  89. ^ Наука . Моисей Царь. 1886. стр. 181–. Архивировано из оригинала 27 декабря 2019 года . Проверено 20 сентября 2019 г.
  90. ^ В. Эббот (2013). Практическая геометрия и инженерная графика: Учебник для инженеров и других студентов . Springer Science & Business Media. стр. 6–. ISBN  978-94-017-2742-6 . Архивировано из оригинала 25 декабря 2019 года . Проверено 20 сентября 2019 г.
  91. ^ Jump up to: а б с д Джордж Л. Херси (2001). Архитектура и геометрия в эпоху барокко . Издательство Чикагского университета. ISBN  978-0-226-32783-9 . Архивировано из оригинала 25 декабря 2019 года . Проверено 20 сентября 2019 г.
  92. ^ П. Ваничек; Э. Я. Краковский (2015). Геодезия: Концепции . Эльзевир. п. 23. ISBN  978-1-4832-9079-9 . Архивировано из оригинала 31 декабря 2019 года . Проверено 20 сентября 2019 г.
  93. ^ Рассел М. Каммингс; Скотт А. Мортон; Уильям Х. Мейсон; Дэвид Р. МакДэниел (2015). Прикладная вычислительная аэродинамика . Издательство Кембриджского университета. п. 449. ИСБН  978-1-107-05374-8 . Архивировано из оригинала 1 сентября 2021 года . Проверено 20 сентября 2019 г.
  94. ^ Рой Уильямс (1998). Геометрия навигации . Хорвуд Паб. ISBN  978-1-898563-46-4 . Архивировано из оригинала 7 декабря 2019 года . Проверено 20 сентября 2019 г.
  95. ^ Джерард Уолшап (2015). Многомерное исчисление и дифференциальная геометрия . Де Грютер. ISBN  978-3-11-036954-0 . Архивировано из оригинала 27 декабря 2019 года . Проверено 23 сентября 2019 г.
  96. ^ Харли Фландерс (2012). Дифференциальные формы с приложениями к физическим наукам . Курьерская корпорация. ISBN  978-0-486-13961-6 . Архивировано из оригинала 1 сентября 2021 года . Проверено 23 сентября 2019 г.
  97. ^ Пол Марриотт; Марк Салмон (2000). Приложения дифференциальной геометрии к эконометрике . Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-65116-5 . Архивировано из оригинала 1 сентября 2021 года . Проверено 23 сентября 2019 г.
  98. ^ Мэтью Хе; Сергей Петухов (2011). Математика биоинформатики: теория, методы и приложения . Джон Уайли и сыновья. п. 106. ИСБН  978-1-118-09952-0 . Архивировано из оригинала 27 декабря 2019 года . Проверено 23 сентября 2019 г.
  99. ^ ПАМ Дирак (2016). Общая теория относительности . Издательство Принстонского университета. ISBN  978-1-4008-8419-3 . Архивировано из оригинала 26 декабря 2019 года . Проверено 23 сентября 2019 г.
  100. ^ Нихат Ай; Юрген Йост; Хонг Ван Ле; Лоренц Шваххофер (2017). Информационная геометрия . Спрингер. п. 185. ИСБН  978-3-319-56478-4 . Архивировано из оригинала 24 декабря 2019 года . Проверено 23 сентября 2019 г.
  101. ^ Мартин Д. Кроссли (2011). Существенная топология . Springer Science & Business Media. ISBN  978-1-85233-782-7 . Архивировано из оригинала 28 декабря 2019 года . Проверено 24 сентября 2019 г.
  102. ^ Чарльз Нэш; Сиддхартха Сен (1988). Топология и геометрия для физиков . Эльзевир. п. 1. ISBN  978-0-08-057085-3 . Архивировано из оригинала 26 декабря 2019 года . Проверено 24 сентября 2019 г.
  103. ^ Джордж Э. Мартин (1996). Геометрия преобразований: введение в симметрию . Springer Science & Business Media. ISBN  978-0-387-90636-2 . Архивировано из оригинала 22 декабря 2019 года . Проверено 24 сентября 2019 г.
  104. ^ Дж. П. Мэй (1999). Краткий курс алгебраической топологии . Издательство Чикагского университета. ISBN  978-0-226-51183-2 . Архивировано из оригинала 23 декабря 2019 года . Проверено 24 сентября 2019 г.
  105. ^ Робин Хартшорн (2013). Алгебраическая геометрия . Springer Science & Business Media. ISBN  978-1-4757-3849-0 . Архивировано из оригинала 27 декабря 2019 года . Проверено 24 сентября 2019 г.
  106. ^ Jump up to: а б Жан Дьедонн (1985). История алгебраической геометрии . Перевод Джудит Д. Салли. ЦРК Пресс. ISBN  978-0-412-99371-8 . Архивировано из оригинала 25 декабря 2019 года . Проверено 24 сентября 2019 г.
  107. ^ Джеймс Карлсон; Джеймс А. Карлсон; Артур Джаффе; Эндрю Уайлс (2006). Проблемы премии тысячелетия . Американское математическое соц. ISBN  978-0-8218-3679-8 . Архивировано из оригинала 30 мая 2016 года . Проверено 24 сентября 2019 г.
  108. ^ Эверетт В. Хау; Кристин Э. Лаутер ; Джуди Л. Уокер (2017). Алгебраическая геометрия для теории кодирования и криптографии: IPAM, Лос-Анджелес, Калифорния, февраль 2016 г. Спрингер. ISBN  978-3-319-63931-4 . Архивировано из оригинала 27 декабря 2019 года . Проверено 24 сентября 2019 г.
  109. ^ Маркос Марино; Майкл Таддеус; Рави Вакил (2008). Перечислительные инварианты в алгебраической геометрии и теории струн: лекции, прочитанные на летней школе CIME, проходившей в Четраро, Италия, 6–11 июня 2005 г. Спрингер. ISBN  978-3-540-79814-9 . Архивировано из оригинала 27 декабря 2019 года . Проверено 24 сентября 2019 г.
  110. ^ Хайбрехтс, Дэниел (2005). Сложная геометрия: введение . Берлин: Шпрингер. ISBN  9783540266877 . OCLC   209857590 . Архивировано из оригинала 1 марта 2023 года . Проверено 10 сентября 2022 г.
  111. ^ Гриффитс П. и Харрис Дж. (2014). Основы алгебраической геометрии. Джон Уайли и сыновья.
  112. ^ Уэллс, Р.О. младший (2008). Дифференциальный анализ на комплексных многообразиях . Тексты для аспирантов по математике. Том. 65. О. Гарсиа-Прада (3-е изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag. дои : 10.1007/978-0-387-73892-5 . ISBN  9780387738918 . OCLC   233971394 . Архивировано из оригинала 1 марта 2023 года . Проверено 9 сентября 2022 г.
  113. ^ Хори К., Томас Р., Кац С., Вафа К., Пандхарипанде Р., Клемм А., ... и Заслоу Э. (2003). Зеркальная симметрия (Том 1). Американское математическое соц.
  114. ^ Форстер, О. (2012). Лекции по римановым поверхностям (т. 81). Springer Science & Business Media.
  115. ^ Миранда, Р. (1995). Алгебраические кривые и римановы поверхности (Том 5). Американское математическое соц.
  116. ^ Дональдсон, СК (2011). Римановы поверхности . Оксфорд: Издательство Оксфордского университета. ISBN  978-0-19-154584-9 . ОСЛК   861200296 . Архивировано из оригинала 1 марта 2023 года . Проверено 9 сентября 2022 г.
  117. ^ Greenhouse, JP (1955). Когерентные алгебраические пучки. Анналы математики, 197–278.
  118. ^ Greenhouse, JP (1956). Алгебраическая геометрия и аналитическая геометрия. В Анналах Института Фурье (т. 6, стр. 1–42).
  119. ^ Иржи Матушек (2013). Лекции по дискретной геометрии . Springer Science & Business Media. ISBN  978-1-4613-0039-7 . Архивировано из оригинала 27 декабря 2019 года . Проверено 25 сентября 2019 г.
  120. ^ Чуаньмин Цзун (2006). Куб – окно в выпуклую и дискретную геометрию . Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-85535-8 . Архивировано из оригинала 23 декабря 2019 года . Проверено 25 сентября 2019 г.
  121. ^ Питер М. Грубер (2007). Выпуклая и дискретная геометрия . Springer Science & Business Media. ISBN  978-3-540-71133-9 . Архивировано из оригинала 24 декабря 2019 года . Проверено 25 сентября 2019 г.
  122. ^ Сатьян Л. Девадосс ; Джозеф О'Рурк (2011). Дискретная и вычислительная геометрия . Издательство Принстонского университета. ISBN  978-1-4008-3898-1 . Архивировано из оригинала 27 декабря 2019 года . Проверено 25 сентября 2019 г.
  123. ^ Карой Бездек (2010). Классические темы дискретной геометрии . Springer Science & Business Media. ISBN  978-1-4419-0600-7 . Архивировано из оригинала 28 декабря 2019 года . Проверено 25 сентября 2019 г.
  124. ^ Франко П. Препарата ; Майкл И. Шамос (2012). Вычислительная геометрия: Введение . Springer Science & Business Media. ISBN  978-1-4612-1098-6 . Архивировано из оригинала 28 декабря 2019 года . Проверено 25 сентября 2019 г.
  125. ^ Сяньфэн Дэвид Гу; Шинг-Тунг Яу (2008). Вычислительная конформная геометрия . Международная пресса. ISBN  978-1-57146-171-1 . Архивировано из оригинала 24 декабря 2019 года . Проверено 25 сентября 2019 г.
  126. ^ Jump up to: а б Клара Лё (2017). Геометрическая теория групп: Введение . Спрингер. ISBN  978-3-319-72254-2 . Архивировано из оригинала 29 декабря 2019 года . Проверено 25 сентября 2019 г.
  127. ^ Джон Морган; Банда Тянь (2014). Гипотеза геометризации . Американское математическое соц. ISBN  978-0-8218-5201-9 . Архивировано из оригинала 24 декабря 2019 года . Проверено 25 сентября 2019 г.
  128. ^ Дэниел Т. Уайз (2012). От богатства до рага: 3-многообразия, прямоугольные группы Артина и кубическая геометрия: 3-многообразия, прямоугольные группы Артина и кубическая геометрия . Американское математическое соц. ISBN  978-0-8218-8800-1 . Архивировано из оригинала 28 декабря 2019 года . Проверено 25 сентября 2019 г.
  129. ^ Jump up to: а б Жерар Меран (2014). Справочник по выпуклой геометрии . Эльзевир Наука. ISBN  978-0-08-093439-6 . Архивировано из оригинала 1 сентября 2021 года . Проверено 24 сентября 2019 г.
  130. ^ Юрген Рихтер-Геберт (2011). Перспективы проективной геометрии: экскурсия по реальной и сложной геометрии . Springer Science & Business Media. ISBN  978-3-642-17286-1 . Архивировано из оригинала 29 декабря 2019 года . Проверено 25 сентября 2019 г.
  131. ^ Кимберли Элам (2001). Геометрия дизайна: исследования пропорций и композиции . Принстонская архитектурная пресса. ISBN  978-1-56898-249-6 . Архивировано из оригинала 31 декабря 2019 года . Проверено 25 сентября 2019 г.
  132. ^ Брэд Дж. Гигар (2004). Книга «Все о мультфильмах»: создавайте уникальные и вдохновляющие мультфильмы для развлечения и прибыли . Адамс Медиа. стр. 82–. ISBN  978-1-4405-2305-2 . Архивировано из оригинала 27 декабря 2019 года . Проверено 25 сентября 2019 г.
  133. ^ Марио Ливио (2008). Золотое сечение: история PHI, самого удивительного числа в мире . Корона/Архетип. п. 166. ИСБН  978-0-307-48552-6 . Архивировано из оригинала 30 декабря 2019 года . Проверено 25 сентября 2019 г.
  134. ^ Мишель Эммер; Дорис Шатшнайдер (2007). Наследие MC Эшера: празднование столетия . Спрингер. п. 107. ИСБН  978-3-540-28849-7 . Архивировано из оригинала 22 декабря 2019 года . Проверено 25 сентября 2019 г.
  135. ^ Роберт Капитоло; Кен Шваб (2004). Курс рисования 101 . Стерлинг Паблишинг Компани, Инк. 22 . ISBN  978-1-4027-0383-6 .
  136. ^ Филлис Гелино (2011). Интеграция искусств в учебную программу начальной школы . Cengage Обучение. п. 55. ИСБН  978-1-111-30126-2 . Архивировано из оригинала 7 декабря 2019 года . Проверено 25 сентября 2019 г.
  137. ^ Криштиану Чеккато; Ларс Хессельгрен; Марк Поли; Хельмут Поттманн, Йоханнес Вальнер (2016). Достижения в архитектурной геометрии 2010 . Биркхойзер. п. 6. ISBN  978-3-99043-371-3 . Архивировано из оригинала 25 декабря 2019 года . Проверено 25 сентября 2019 г.
  138. ^ Хельмут Поттманн (2007). Архитектурная геометрия . Издательство Института Бентли. ISBN  978-1-934493-04-5 . Архивировано из оригинала 24 декабря 2019 года . Проверено 25 сентября 2019 г.
  139. ^ Мэриан Моффетт; Майкл В. Фасио; Лоуренс Вудхаус (2003). Всемирная история архитектуры . Издательство Лоуренса Кинга. п. 371. ИСБН  978-1-85669-371-4 . Архивировано из оригинала 27 декабря 2019 года . Проверено 25 сентября 2019 г.
  140. ^ Робин М. Грин; Робин Майкл Грин (1985). Сферическая астрономия . Издательство Кембриджского университета. п. 1. ISBN  978-0-521-31779-5 . Архивировано из оригинала 21 декабря 2019 года . Проверено 25 сентября 2019 г.
  141. ^ Алексеевский Дмитрий Владимирович (2008 г.). Последние достижения в псевдоримановой геометрии . Европейское математическое общество. ISBN  978-3-03719-051-7 . Архивировано из оригинала 28 декабря 2019 года . Проверено 25 сентября 2019 г.
  142. ^ Шинг-Тунг Яу; Стив Надис (2010). Форма внутреннего пространства: теория струн и геометрия скрытых измерений Вселенной . Основные книги. ISBN  978-0-465-02266-3 . Архивировано из оригинала 24 декабря 2019 года . Проверено 25 сентября 2019 г.
  143. ^ Бенгтссон, Ингемар; Жичковский, Кароль (2017). Геометрия квантовых состояний: введение в квантовую запутанность (2-е изд.). Издательство Кембриджского университета . ISBN  978-1-107-02625-4 . OCLC   1004572791 .
  144. ^ Харли Фландерс; Джастин Дж. Прайс (2014). Исчисление с аналитической геометрией . Эльзевир Наука. ISBN  978-1-4832-6240-6 . Архивировано из оригинала 24 декабря 2019 года . Проверено 25 сентября 2019 г.
  145. ^ Джон Рогавски; Колин Адамс (2015). Исчисление . У. Х. Фриман. ISBN  978-1-4641-7499-5 . Архивировано из оригинала 1 января 2020 года . Проверено 25 сентября 2019 г.
  146. ^ Альваро Лосано-Робледо (2019). Теория чисел и геометрия: введение в арифметическую геометрию . Американское математическое соц. ISBN  978-1-4704-5016-8 . Архивировано из оригинала 27 декабря 2019 года . Проверено 25 сентября 2019 г.
  147. ^ Артуро Сангалли (2009). Месть Пифагора: математическая загадка . Издательство Принстонского университета. п. 57 . ISBN  978-0-691-04955-7 .
  148. ^ Гэри Корнелл; Джозеф Х. Сильверман; Гленн Стивенс (2013). Модульные формы и Великая теорема Ферма . Springer Science & Business Media. ISBN  978-1-4612-1974-3 . Архивировано из оригинала 30 декабря 2019 года . Проверено 25 сентября 2019 г.

Источники

Дальнейшее чтение

Внешние ссылки

В Wikibooks есть дополнительная информация по теме: Геометрия.
Ресурсы библиотеки о
Геометрия
Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Geometry&oldid=1222500023"