Квази-изометрия

В математике квазиизометрия , — это функция между двумя метрическими пространствами которая учитывает крупномасштабную геометрию этих пространств и игнорирует их мелкомасштабные детали. Два метрических пространства называются квазиизометрическими, если между ними существует квазиизометрия. Свойство квазиизометричности ведет себя как отношение эквивалентности в классе метрических пространств.

Понятие квазиизометрии особенно важно в геометрической теории групп , вслед за работами Громова .

Эта решетка квазиизометрична плоскости.

Определение

Предположим, что $f$ — это (не обязательно непрерывная) функция из одного метрического пространства $(M_{1},d_{1})$ во второе метрическое пространство $(M_{2},d_{2})$. Затем $f$ называется квазиизометрией из $(M_{1},d_{1})$ к $(M_{2},d_{2})$ если существуют константы $A\geq 1$, $B\geq 0$, и $C\geq 0$ такие, что выполняются следующие два свойства:

1. За каждые два балла $x$ и $y$ в $M_{1}$, расстояние между их изображениями с точностью до аддитивной константы $B$ в пределах фактора $A$ их первоначального расстояния. Более формально:

   $\forall x,y\in M_{1}:{\frac {1}{A}}\;d_{1}(x,y)-B\leq d_{2}(f(x),f(y))\leq A\;d_{1}(x,y)+B.$

2. Каждая точка $M_{2}$ находится на постоянном расстоянии $C$ точки изображения. Более формально:

   $\forall z\in M_{2}:\exists x\in M_{1}:d_{2}(z,f(x))\leq C.$

Два метрических пространства $(M_{1},d_{1})$ и $(M_{2},d_{2})$ называются квазиизометрическими, если существует квазиизометрия $f$ от $(M_{1},d_{1})$ к $(M_{2},d_{2})$.

Отображение называется квазиизометрическим вложением , если оно удовлетворяет первому условию, но не обязательно второму (т. е. оно грубо липшицево , но может не быть грубо сюръективным). Другими словами, если через карту, $(M_{1},d_{1})$ квазиизометрично подпространству $(M_{2},d_{2})$.

Два метрических пространства M ₁ и M ₂ называются квазиизометрическими и обозначаются $M_{1}{\underset {q.i.}{\sim }}M_{2}$, если существует квазиизометрия $f:M_{1}\to M_{2}$.

Примеры

Карта между евклидовой плоскостью и плоскостью с манхэттенским расстоянием , отправляющая каждую точку сама в себя, представляет собой квазиизометрию: в ней расстояния умножаются не более чем на коэффициент ${\sqrt {2}}$. Заметим, что изометрии быть не может, так как, например, точки $(1,0),(-1,0),(0,1),(0,-1)$ находятся на одинаковом расстоянии друг от друга на манхэттенском расстоянии, но на евклидовой плоскости нет четырех точек, находящихся на равном расстоянии друг от друга.

Карта $f:\mathbb {Z} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$ (оба с евклидовой метрикой ), который отправляет каждый $n$-кортеж целых чисел сам по себе является квазиизометрией: расстояния сохраняются точно, и каждый реальный кортеж находится в пределах расстояния ${\sqrt {n/4}}$ целочисленного кортежа. В другом направлении разрывная функция, которая округляет каждый кортеж действительных чисел до ближайшего целочисленного кортежа, также является квазиизометрией: каждая точка переносится этим отображением в точку на расстоянии ${\sqrt {n/4}}$ этого, поэтому округление изменяет расстояние между парами точек, добавляя или вычитая не более $2{\sqrt {n/4}}$.

Любая пара конечных или ограниченных метрических пространств квазиизометрична. В этом случае каждая функция из одного пространства в другое является квазиизометрией.

Отношение эквивалентности

Если $f:M_{1}\mapsto M_{2}$ является квазиизометрией, то существует квазиизометрия $g:M_{2}\mapsto M_{1}$. Действительно, $g(x)$ можно определить, позволив $y$ быть любой точкой изображения $f$ это на расстоянии $C$ из $x$и позволяя $g(x)$ быть любой точкой $f^{-1}(y)$.

Поскольку тождественное отображение является квазиизометрией, а композиция двух квазиизометрий является квазиизометрией, отсюда следует, что свойство квазиизометричности ведет себя как отношение эквивалентности на классе метрических пространств.

в геометрической

Учитывая конечный порождающий набор конечно порожденной группы G можем сформировать соответствующий граф Кэли S и G. , мы S Этот граф становится метрическим пространством, если мы объявим длину каждого ребра равной 1. Выбор другого конечного порождающего набора T приводит к получению другого графа и другого метрического пространства, однако эти два пространства являются квазиизометрическими. Таким образом, этот класс квазиизометрии является инвариантом группы G . Любое свойство метрических пространств, которое зависит только от класса квазиизометрии пространства, немедленно дает другой инвариант групп, открывая область теории групп для геометрических методов.

В более общем смысле, лемма Шварца–Милнора утверждает, что если группа G действует правильно разрывно с компактным фактором на собственном геодезическом пространстве X , то G квазиизометрична X (это означает, что любой граф Кэли для G таков). Это дает новые примеры групп, квазиизометричных друг другу:

• Если G' — подгруппа конечного индекса в G , то G' квазиизометрична G ;
• Если G и H — фундаментальные группы двух компактных гиперболических многообразий одной и той же размерности d, то они обе квазиизометричны гиперболическому пространству H. ^д и, следовательно, друг к другу; с другой стороны, существует бесконечно много классов квазиизометрий фундаментальных групп конечного объема.

Морса

Квазигеодезическая в метрическом пространстве $(X,d)$ является квазиизометрическим вложением $\mathbb {R}$ в $X$. Точнее карта $\phi :\mathbb {R} \to X$ такой, что существует $C,K>0$ так что

$\forall s,t\in \mathbb {R} :C^{-1}|s-t|-K\leq d(\phi (t),\phi (s))\leq C|s-t|+K$

называется $(C,K)$-квазигеодезический. Очевидно, что геодезические (параметризованные длиной дуги) являются квазигеодезическими. Тот факт, что в некоторых пространствах обратное утверждение грубо верно, т. е. что каждая квазигеодезическая остается на ограниченном расстоянии от истинной геодезической, называется леммой Морса (не путать с леммой Морса в дифференциальной топологии). Формально заявление таково:

Позволять $\delta ,C,K>0$ и $X$ собственное δ-гиперболическое пространство . Существует $M$ такой, что для любого $(C,K)$-квазигеодезический $\phi$ существует геодезическая $L$ в $X$ такой, что $d(\phi (t),L)\leq M$ для всех $t\in \mathbb {R}$.

Это важный инструмент в геометрической теории групп. Непосредственное применение состоит в том, что любая квазиизометрия между собственными гиперболическими пространствами индуцирует гомеоморфизм между их границами. Этот результат является первым шагом в доказательстве теоремы Мостоу о жесткости .

Кроме того, этот результат нашел применение при анализе дизайна взаимодействия с пользователем в приложениях, подобных Google Maps .

Примеры квазиизометрических инвариантов групп

Ниже приведены некоторые примеры свойств групповых графов Кэли, инвариантных относительно квазиизометрии:

Гиперболичность

Основная статья: Гиперболическая группа

Группа называется гиперболической , если один из ее графов Кэли является δ-гиперболическим пространством для некоторого δ. При переводе между различными определениями гиперболичности конкретное значение δ может меняться, но полученные понятия гиперболической группы оказываются эквивалентными.

Гиперболические группы имеют разрешимую проблему слов . Они бывают биавтоматическими и автоматическими .: действительно, они в значительной степени геодезически автоматические , то есть в группе существует автоматическая структура, где язык, принимаемый акцептором слов, представляет собой набор всех геодезических слов.

Рост

Основная статья: Темпы роста (теория групп)

Скорость роста группы описывает по отношению к симметричному порождающему набору размер шаров в группе. Каждый элемент в группе можно записать как произведение образующих, а скорость роста подсчитывает количество элементов, которые можно записать как произведение длины n .

По теореме Громова группа полиномиального роста практически нильпотентна , т. е. имеет нильпотентную подгруппу конечного индекса . В частности, порядок полиномиального роста $k_{0}$ должно быть натуральным числом и фактически $\#(n)\sim n^{k_{0}}$.

Если $\#(n)$ растет медленнее, чем любая экспоненциальная функция, G имеет субэкспоненциальную скорость роста . Любая такая группа является приемлемой .

Заканчивается

Основная статья: Конец (топология)

Концы — топологического пространства это, грубо говоря, компоненты связности «идеальной границы» пространства. То есть каждый конец представляет собой топологически отличный способ перемещения в бесконечность внутри пространства. Добавление точки на каждом конце приводит к компактификации исходного пространства, известной как конечная компактификация .

Концы конечно порожденной группы определяются как концы соответствующего графа Кэли ; это определение не зависит от выбора конечного порождающего набора. Каждая конечно порожденная бесконечная группа имеет либо 0, 1, 2, либо бесконечно много концов, а теорема Столлингса о концах групп обеспечивает разложение для групп с более чем одним концом.

Если два связных локально конечных графа квазиизометричны, то они имеют одинаковое число концов. В частности, две квазиизометрические конечно порожденные группы имеют одинаковое число концов.

Аменабельность

Основная статья: Аменабельная группа

Аменабельная группа — это локально компактная топологическая группа G, выполняющая своего рода операцию усреднения над ограниченными функциями, инвариантную относительно переноса на элементы группы. Первоначальное определение в терминах конечно-аддитивной инвариантной меры (или среднего) на подмножествах G было введено Джоном фон Нейманом в 1929 году под немецким названием «messbar» («измеримый» на английском языке) в ответ на правило Банаха-Тарского. парадокс . В 1949 году Махлон М. Дэй ввел английский перевод «поддающийся», очевидно, как каламбур.

В дискретной теории групп , где G имеет дискретную топологию , используется более простое определение. В этом случае группа является управляемой, если можно сказать, какую долю G занимает то или иное подмножество.

Если группа имеет последовательность Фёльнера , она автоматически становится доступной.

конус

Основная статья: Ultralimit § Асимптотические конусы

Ультрапредел — это геометрическая конструкция, которая ставит в соответствие последовательности метрических пространств X _n предельное метрическое пространство. Важным классом ультрапределов являются так называемые асимптотические конусы метрических пространств. Пусть ( X , d ) — метрическое пространство, пусть ω — неглавный ультрафильтр на $\mathbb {N}$ и пусть p _n ∈ X — последовательность базовых точек. Тогда ω –ультрапредел последовательности $(X,{\frac {d}{n}},p_{n})$ называется асимптотическим конусом X относительно ω и $(p_{n})_{n}\,$ и обозначается $Cone_{\omega }(X,d,(p_{n})_{n})\,$. Часто последовательность базовых точек считают постоянной, pn _; = p для некоторого X p ∈ в этом случае асимптотический конус не зависит от выбора p ∈ X и обозначается через $Cone_{\omega }(X,d)\,$ или просто $Cone_{\omega }(X)\,$.

Понятие асимптотического конуса играет важную роль в геометрической теории групп, поскольку асимптотические конусы (или, точнее, их топологические типы и билипшицевы типы ) обеспечивают инварианты квазиизометрии метрических пространств вообще и конечно порожденных групп в частности. Асимптотические конусы также оказываются полезным инструментом при изучении относительно гиперболических групп и их обобщений.

См. также

• Изометрия
• Грубая структура