Относительно гиперболическая группа

В математике понятие относительно гиперболической группы является важным обобщением группы из геометрической теории групп концепции гиперболической . Мотивирующими примерами относительно гиперболических групп являются фундаментальные группы полных некомпактных конечного гиперболических многообразий объема.

Интуитивное определение

Группа и , G является относительно гиперболической относительно подгруппы H , если после стягивания графа Кэли группы G по H - смежным классам полученный граф, снабженный обычной метрикой графа, становится δ-гиперболическим пространством кроме того, удовлетворяет техническому условию что означает, что квазигеодезические с общими конечными точками проходят примерно через один и тот же набор смежных классов, входят и выходят из этих смежных классов примерно в одном и том же месте.

Формальное определение

Учитывая конечно порожденную группу G с графом Кэли Γ ( G ), снабженным метрикой пути и подгруппой H группы G , можно построить конусный граф Кэли ${\hat {\Gamma }}(G,H)$ следующим образом: для каждого левого смежного класса gH добавьте вершину v ( gH ) в граф Кэли Γ ( G ) и для каждого элемента x из gH добавьте ребро e ( x ) длины 1/2 от x к вершине v ( гХ ). В результате получается метрическое пространство, которое может быть несобственным ( т. е. замкнутые шары не обязательно должны быть компактными).

Определение относительно гиперболической группы, сформулированное Боудичем , выглядит следующим образом. Группа G называется гиперболической относительно подгруппы H, если конус графа Кэли ${\hat {\Gamma }}(G,H)$ имеет свойства:

Это δ-гиперболический и
это нормально : для каждого целого числа L каждое ребро принадлежит только конечному числу простых циклов длины L.

Если выполнено только первое условие, то группа G называется слабо относительно гиперболической относительно H .

Определение конусного графа Кэли можно обобщить на случай набора подгрупп и дает соответствующее понятие относительной гиперболичности. Группа G , не содержащая набора подгрупп, относительно которых она относительно гиперболична, называется неотносительно гиперболической группой.

Характеристики

Если группа G относительно гиперболична по отношению к гиперболической группе H , то G сама гиперболична.

Если группа G относительно гиперболична по отношению к группе H , то она действует как геометрически конечная группа сходимости на компактном пространстве, ее граница Боудича

Если группа G относительно гиперболична по отношению к группе H , имеющей разрешимую проблему слов , то G имеет разрешимую проблему слов (Фарб), а если H имеет разрешимую проблему сопряженности , то G имеет разрешимую проблему сопряженности (Бумагин)

Если группа G без кручения относительно гиперболична относительно группы H и H имеет конечное классификационное пространство , то то же самое делает и G (Дамани)

Если группа G относительно гиперболична по отношению к группе H , удовлетворяющей гипотезе Фаррелла-Джонса , то G удовлетворяет гипотезе Фаррелла-Джонса (Бартельса).

В более общем смысле, во многих случаях (но не во всех, и не легко и не систематически) можно подозревать, что свойство, которому удовлетворяют все гиперболические группы и H , удовлетворяется G.

относительно Проблема изоморфизма гиперболических групп практически без кручения, когда периферийные подгруппы конечно порождены нильпотентны (Дамани, Туикан)

Примеры

Любая гиперболическая группа , такая как свободная группа конечного ранга или фундаментальная группа гиперболической поверхности, является гиперболической относительно тривиальной подгруппы.
Фундаментальная группа полного гиперболического многообразия конечного объема гиперболична относительно своей подгруппы сборки . Аналогичный результат верен для любого полного риманова многообразия конечного объема с защемленной отрицательной секционной кривизной .
Свободная абелева группа Z ² ранга 2 является слабо гиперболическим, но не гиперболическим относительно циклической подгруппы Z : даже несмотря на то, что граф ${\hat {\Gamma }}(\mathbb {Z} ^{2},\mathbb {Z} )$ гиперболично, это не нормально.
Свободное произведение группы H с любой гиперболической группой является относительно гиперболическим относительно H.
Предельные группы, возникающие как пределы свободных групп, относительно гиперболичны относительно некоторых свободных абелевых подгрупп.
Полупрямое произведение свободной группы на бесконечную циклическую группу относительно гиперболично относительно некоторых канонических подгрупп.
Теоремы комбинирования и методы малых сокращений позволяют строить новые примеры на основе предыдущих.
Группа классов отображений ориентируемой поверхности конечного типа либо гиперболична (когда 3 g + n <5, где g — род , а n — количество проколов), либо не является относительно гиперболической относительно какой-либо подгруппы.
Группа автоморфизмов и внешняя группа автоморфизмов свободной группы конечного ранга не ниже 3 не являются относительно гиперболическими.

Ссылки

Михаил Громов , Гиперболические группы , Очерки по теории групп, Матем. наук. Рез. Инст. Publ., 8, 75-263, Спрингер, Нью-Йорк, 1987.
Денис Осин , Относительно гиперболические группы: внутренняя геометрия, алгебраические свойства и алгоритмические проблемы , arXiv:math/0404040v1 (math.GR), апрель 2004 г.
Бенсон Фарб, Относительно гиперболические группы , Геом. Функц. Анальный. 8 (1998), 810–840.
Джейсон Берсток , Корнелия Друцу , Ли Мошер, Толстые метрические пространства, относительная гиперболичность и квазиизометрическая жесткость , arXiv:math/0512592v5 (math.GT), декабрь 2005 г.
Дэниел Гроувс и Джейсон Фокс Мэннинг, Ден, заполняющий относительно гиперболические группы , arXiv:math/0601311v4 [math.GR], январь 2007 г.