Полный коллектор

В математике ( полное многообразие или геодезически полное многообразие ) $M$ — это ( псевдо- ) риманово многообразие , для которого, начиная с любой точки $p$ , существуют прямые пути, бесконечно простирающиеся во всех направлениях.

Формально многообразие $M$ является (геодезически) полным, если для любой максимальной геодезической $\ell :I\to M$ , он утверждает, что $I=(-\infty ,\infty )$ . ^[1] Геодезическая называется максимальной , если ее область действия не может быть расширена.

Эквивалентно, $M$ является (геодезически) полным, если для всех точек $p\in M$ , экспоненциальное отображение в $p$ определяется на $T_{p}M$ , все касательное пространство в $p$ . ^[1]

Теорема Хопфа-Ринова

Теорема Хопфа – Ринова дает альтернативные характеристики полноты. Позволять $(M,g)$ — связное риманово многообразие и пусть $d_{g}:M\times M\to [0,\infty )$ быть его римановой функцией расстояния .

Теорема Хопфа – Ринова утверждает, что $(M,g)$ является (геодезически) полным тогда и только тогда, когда оно удовлетворяет одному из следующих эквивалентных условий: ^[2]

Метрическое пространство $(M,d_{g})$ завершено каждое ( $d_{g}$ - последовательность Коши сходится),
Все замкнутые и ограниченные подмножества $M$ компактны.

Примеры и не примеры

Евклидово пространство $\mathbb {R} ^{n}$ , сфера $\mathbb {S} ^{n}$ и торы $\mathbb {T} ^{n}$ (со своими естественными римановыми метриками ) все являются полными многообразиями.

Все компактные римановы многообразия и все однородные многообразия геодезически полны. Все симметрические пространства геодезически полны.

Непримеры

Простой пример неполного многообразия даёт проколотая плоскость. $\mathbb {R} ^{2}\smallsetminus \lbrace 0\rbrace$ (со своей индуцированной метрикой). Геодезические, идущие в начало координат, не могут быть определены на всей вещественной линии. По теореме Хопфа–Ринова мы также можем заметить, что это не полное метрическое пространство: любая последовательность в плоскости, сходящаяся к началу координат, является несходящейся последовательностью Коши в проколотой плоскости.

Существуют негеодезически полные компактные псевдоримановы (но не римановы) многообразия. Примером этого является тор Клифтона-Поля .

В общей теории относительности , которая описывает гравитацию в терминах псевдоримановой геометрии, возникает множество важных примеров геодезически неполных пространств, например, невращающиеся незаряженные черные дыры или космологии с Большим взрывом . Тот факт, что такая неполнота является довольно общим явлением в общей теории относительности, показан в теоремах Пенроуза–Хокинга о сингулярности .

Расширяемость

Если $M$ геодезически полно, то оно не изометрично открытому собственному подмногообразию любого другого риманова многообразия. Обратное неверно. ^[3]

Ссылки

Примечания

Источники

ду Карму, Манфредо Пердигао (1992), Риманова геометрия , Математика: теория и приложения, Бостон: Биркхойзер, стр. xvi + 300, ISBN 0-8176-3490-8

Ли, Джон (2018). Введение в римановы многообразия . Тексты для аспирантов по математике. Спрингер Интернэшнл Паблишинг АГ.

О'Нил, Барретт (1983). Полуриманова геометрия . Академическая пресса . Глава 3. ISBN 0-12-526740-1 .

[FOOTNOTELee2018131-1] Jump up to: ^а ^б Ли 2018 , с. 131.

[FOOTNOTEdo_Carmo1992146-147-2] ду Кармо 1992 , с. 146-147.

[FOOTNOTEdo_Carmo1992145-3] ду Кармо 1992 , с. 145.

[1]

[2]

[3]

v т и Риманова геометрия ( Глоссарий )
Basic concepts	Curvature tensor Scalar Ricci Sectional Exponential map Geodesic Inner product Metric tensor Levi-Civita connection Covariant derivative Signature Raising and lowering indices/Musical isomorphism Parallel transport Riemannian manifold Pseudo-Riemannian manifold Riemannian volume form
Types of manifolds	Hermitian Hyperbolic Kähler Kenmotsu
Main results	Fundamental theorem of Riemannian geometry Gauss's lemma Gauss–Bonnet theorem Hopf–Rinow theorem Nash embedding theorem Ricci flow Schur's lemma
Generalizations	Finsler Hilbert Sub-Riemannian
Applications	General relativity Geometrization conjecture Poincaré conjecture Uniformization theorem