Тор Клифтона – Пола

В геометрии тор Клифтона -Поля является примером компактного лоренцева многообразия , которое не является геодезически полным . Хотя каждое компактное риманово многообразие также является геодезически полным (по теореме Хопфа–Ринова ), это пространство показывает, что та же импликация не обобщается на псевдоримановы многообразия . Он назван в честь Йитона Х. Клифтона и Уильяма Ф. Пола , которые описали его в 1962 году, но не опубликовали свои результаты.

Определение

Рассмотрим многообразие $\mathrm {M} =\mathbb {R} ^{2}\setminus \{0\}$ с метрикой

$g={\frac {2\,dx\,dy}{x^{2}+y^{2}}}$

Любая гомотетия есть изометрия ​ $M$, в частности включая карту:

$\lambda (x,y)=(2x,2y)$

Позволять $\Gamma$ быть подгруппой группы изометрий, порожденной $\lambda$. Затем $\Gamma$ оказывает правильное, прерывистое действие на $M$. Следовательно, частное $T=M/\Gamma ,$ который топологически является тором , является поверхностью Лоренца, называемой тором Клифтона – Пола. Иногда, в более широком смысле, поверхность называют тором Клифтона–Поля, если она является конечным покрытием фактора $M$ любой гомотетией отношения, отличной от $\pm 1$.

Геодезическая незавершенность

Можно убедиться, что кривая

$\sigma (t):=\left({\frac {1}{1-t}},0\right)$

является нулевой геодезической M , которая не является полной (поскольку она не определена в точке $t=1$). Следовательно, $M$ (отсюда и $T$) геодезически неполна, несмотря на то, что $T$ компактен. Аналогично, кривая

$\sigma (t):=(\tan(t),1)$

также является нулевой геодезической, которая является неполной. Фактически, каждая нулевая геодезическая на $M$ или $T$ является неполным.

Геодезическую неполноту тора Клифтона – Пола лучше рассматривать как прямое следствие того факта, что $(M,g)$ является расширяемым, то есть его можно рассматривать как подмножество большей лоренцевой поверхности. Это прямое следствие простой замены координат. С

$N=\left(-\pi /2,\pi /2\right)^{2}\smallsetminus \{0\};$

учитывать

$F:N\to M$

$F(u,v):=(\tan(u),\tan(v)).$

Метрика $F^{*}g$ (т.е. метрика $g$ выражается в координатах $(u,v)$) читает

${\widehat {g\,}}={\frac {du\,dv}{{\tfrac {1}{2}}(\cos(u)^{2}\sin(v)^{2}+\sin(u)^{2}\cos(v)^{2})}}.$

Но эта метрика естественным образом вытекает из $N$ к $\mathbb {R} ^{2}\smallsetminus \Lambda$, где

$\Lambda =\left\{{\tfrac {\pi }{2}}(k,\ell )\ \mid \ (k,\ell )\in \mathbb {Z} ^{2},k+\ell \equiv 0{\pmod {2}}\right\}.$

Поверхность $(\mathbb {R} ^{2}\smallsetminus \Lambda ,{\widehat {g\,}})$, известная как расширенная плоскость Клифтона – Пола, является геодезически полной.

Сопряженные точки

Торы Клифтона – Пола примечательны еще и тем, что они были первыми известными неплоскими лоренцевыми торами без сопряженных точек . Расширенная плоскость Клифтона–Поля содержит множество пар сопряженных точек, некоторые из них находятся на границе $(-\pi /2,\pi /2)^{2}$ то есть «на бесконечности» в $M$. Напомним также, что по теореме Хопфа–Ринова в римановой ситуации таких торов не существует.