Изометрия

Эта статья о функциях сохранения расстояния. Чтобы узнать о других математических применениях, см. изометрию (значения) . Для нематематического использования см. Изометрию .

Не путать с изометрической проекцией .

Композиция изометрий двух противоположных является прямой изометрией. Отражение в линии — это противоположная изометрия, как R ₁ или R ₂ на изображении. Перевод Т — это прямая изометрия: жесткое движение .

В математике изометрия (или конгруэнтность , или конгруэнтное преобразование ) — это сохраняющее расстояние преобразование между метрическими пространствами , которое обычно считается биективным . Слово изометрия происходит от древнегреческого : ἴσος isos, что означает «равный», и μέτρον Metron, что означает «мера». Если преобразование происходит из метрического пространства в себя, это своего рода геометрическое преобразование, известное как движение .

Введение

Учитывая метрическое пространство (проще говоря, набор и схему назначения расстояний между элементами набора), изометрия — это преобразование , которое отображает элементы в то же или другое метрическое пространство так, что расстояние между элементами изображения в новом метрическом пространстве равно расстоянию между элементами исходного метрического пространства. В двумерном или трехмерном евклидовом пространстве две геометрические фигуры конгруэнтны , если они связаны изометрией; изометрия, которая их связывает, представляет собой либо жесткое движение (перенос или вращение), либо смесь жесткого движения и отражения .

Изометрии часто используются в конструкциях, где одно пространство встроено в другое. Например, пополнение метрического пространства $M$ включает в себя изометрию от $M$ в $M',$ фактормножество на пространства Коши последовательностей $M.$ Оригинальное пространство $M$ таким образом, изометрически изоморфно подпространству полного метрического пространства и обычно отождествляется с этим подпространством. Другие конструкции вложения показывают, что каждое метрическое пространство изометрически изоморфно замкнутому подмножеству некоторого нормированного векторного пространства и что каждое полное метрическое пространство изометрически изоморфно замкнутому подмножеству некоторого банахова пространства .

Изометрический сюръективный линейный оператор в гильбертовом пространстве называется унитарным оператором .

Определение

Позволять $X$ и $Y$ быть метрическими пространствами с метриками (например, расстояниями) ${\textstyle d_{X}}$ и ${\textstyle d_{Y}.}$ Карта ​ ${\textstyle f\colon X\to Y}$ называется изометрией или картой, сохраняющей расстояние, если для любого $a,b\in X$у одного есть

$d_{X}(a,b)=d_{Y}\!\left(f(a),f(b)\right).$

Изометрия автоматически инъективна ; в противном случае две различные точки a и b могли бы быть отображены в одну и ту же точку, что противоречит тем самым аксиоме совпадения метрики d , т. е. $d(a,b)=0$ тогда и только тогда, когда $a=b$. Это доказательство аналогично доказательству того, что упорядоченное вложение между частично упорядоченными множествами инъективно. Ясно, что каждая изометрия между метрическими пространствами является топологическим вложением .

, Глобальная изометрия изометрический изоморфизм или конгруэнтное отображение — это биективная изометрия. Как и любая другая биекция, глобальная изометрия имеет обратную функцию . Обратная глобальная изометрия также является глобальной изометрией.

Два метрических пространства X и Y называются изометрическими, если существует биективная изометрия X в Y . Набор биективных изометрий метрического пространства самому себе образует группу относительно композиции функций , называемую группой изометрий .

Существует также более слабое понятие изометрии пути или дуговой изометрии :

Изометрия пути или дуговая изометрия — это карта, которая сохраняет длины кривых ; такое отображение не обязательно является изометрией в смысле сохранения расстояния, и оно не обязательно должно быть биективным или даже инъективным. Этот термин часто сокращают до просто изометрии , поэтому следует позаботиться о том, чтобы определить из контекста, какой тип имеется в виду.

Примеры

• Любое отражение , перенос и вращение являются глобальной изометрией евклидовых пространств . См. также Евклидову группу и Евклидово пространство § Изометрии .
• Карта $x\mapsto |x|$ в $\mathbb {R}$ является изометрией пути , но не (общей) изометрией. Обратите внимание, что в отличие от изометрии, эта изометрия пути не обязательно должна быть инъективной.

Изометрии между нормированными пространствами

Следующая теорема принадлежит Мазуру и Уламу.

Определение : Середина x двух элементов и y в векторном пространстве - это вектор ⁠ 1 / 2 ⁠ ( Икс + у ) .

Теорема — Пусть A : X → Y — сюръективная изометрия между нормированными пространствами которая отображает 0 в 0 ( Стефан Банах назвал такие отображения вращениями ), где обратите внимание, что A не предполагается линейной , изометрией. Тогда A отображает средние точки в средние точки и является линейным как отображение действительных чисел. $\mathbb {R}$. Если X и Y — комплексные векторные пространства, то A может не быть линейным как отображение над $\mathbb {C}$.

Линейная изометрия

Учитывая два нормированных векторных пространства $V$ и $W,$ линейная изометрия - это линейная карта $A:V\to W$ что сохраняет нормы:

$\|Av\|=\|v\|$

для всех $v\in V.$ Линейные изометрии — это карты, сохраняющие расстояние в указанном выше смысле. Они являются глобальными изометриями тогда и только тогда, когда они сюръективны .

Во внутреннем пространстве продукта приведенное выше определение сводится к

$\langle v,v\rangle =\langle Av,Av\rangle$

для всех $v\in V,$ что эквивалентно тому, что $A^{\dagger }A=\operatorname {I} _{V}.$ Это также означает, что изометрии сохраняют внутренние продукты, поскольку

$\langle Au,Av\rangle =\langle u,A^{\dagger }Av\rangle =\langle u,v\rangle .$

Однако линейные изометрии не всегда являются унитарными операторами , поскольку для них дополнительно требуется, чтобы $V=W$ и $AA^{\dagger }=\operatorname {I} _{V}.$

По теореме Мазура–Улама любая изометрия нормированных векторных пространств над $\mathbb {R}$ является аффинным .

Линейная изометрия также обязательно сохраняет углы, поэтому преобразование линейной изометрии является конформным линейным преобразованием .

Примеры

• карта Линейная из $\mathbb {C} ^{n}$ сама по себе является изометрией (для скалярного произведения ) тогда и только тогда, когда ее матрица унитарна .

Коллектор

Изометрия многообразия — это любое (гладкое) отображение этого многообразия в себя или в другое многообразие, сохраняющее понятие расстояния между точками. Определение изометрии требует понятия метрики на многообразии; многообразие с (положительно определенной) метрикой является римановым многообразием , многообразие с неопределенной метрикой — псевдоримановым многообразием . Таким образом, изометрии изучаются в римановой геометрии .

одного Локальная изометрия ( псевдо- ) риманова многообразия в другое — это отображение, которое возвращает метрический тензор второго многообразия к метрическому тензору первого. Когда такое отображение также является диффеоморфизмом , такое отображение называется изометрией (или изометрическим изоморфизмом ) и дает понятие изоморфизма («идентичности») в категории Rm римановых многообразий.

Определение

Позволять $R=(M,g)$ и $R'=(M',g')$ — два (псевдо)римановых многообразия, и пусть $f:R\to R'$ быть диффеоморфизмом. Затем $f$ называется изометрией (или изометрическим изоморфизмом ), если

$g=f^{*}g',$

где $f^{*}g'$ обозначает обратный образ метрического тензора ранга (0, 2) $g'$ к $f$. Аналогично, с точки зрения продвижения вперед $f_{*},$ у нас это есть для любых двух векторных полей $v,w$ на $M$ (т.е. сечения касательного расслоения $\mathrm {T} M$),

$g(v,w)=g'\left(f_{*}v,f_{*}w\right).$

Если $f$ является локальным диффеоморфизмом таким, что $g=f^{*}g',$ затем $f$ называется локальной изометрией .

Характеристики

Набор изометрий обычно образует группу — группу изометрий . Когда группа является непрерывной группой , бесконечно малыми генераторами группы являются векторные поля Киллинга .

Теорема Майерса -Стинрода утверждает, что каждая изометрия между двумя связными римановыми многообразиями является гладкой (дифференцируемой). Вторая форма этой теоремы утверждает, что группа изометрий риманова многообразия является группой Ли .

Римановы многообразия , изометрии которых определены в каждой точке, называются симметрическими пространствами .

Обобщения

• Учитывая положительное действительное число ε, ε-изометрия или почти изометрия (также называемая Хаусдорфа приближением ) является отображением $f\colon X\to Y$ между метрическими пространствами такими, что
  1. для $x,x'\in X$ у одного есть $|d_{Y}(f(x),f(x'))-d_{X}(x,x')|<\varepsilon ,$ и
  2. для любой точки $y\in Y$ существует точка $x\in X$ с $d_{Y}(y,f(x))<\varepsilon$

То есть ε -изометрия сохраняет расстояния с точностью до ε и не оставляет ни одного элемента кодомена дальше, чем ε, от образа элемента области. Заметим, что ε -изометрии не считаются непрерывными .

• Свойство ограниченной изометрии характеризует почти изометрические матрицы для разреженных векторов.
• Квазиизометрия — еще одно полезное обобщение.
• Можно также определить элемент в абстрактной единичной C*-алгебре как изометрию:

  $a\in {\mathfrak {A}}$ является изометрией тогда и только тогда, когда $a^{*}\cdot a=1.$

Обратите внимание, что, как упоминалось во введении, это не обязательно унитарный элемент, поскольку, как правило, не существует того, что левый инверсный является правым инверсным.

• В псевдоевклидовом пространстве термин изометрия означает величину, сохраняющую линейную биекцию. См. также Квадратичные пространства .

См. также

• Теорема Бекмана – Куорлза
• Конформное отображение - математическая функция, сохраняющая углы.
• Второе двойственное банахово пространство как изометрический изоморфизм
• Изометрия евклидовой плоскости
• Плоский (геометрия)
• Группа гомеоморфизмов
• Инволюция
• Группа изометрии
• Движение (геометрия)
• Теорема Майерса – Стинрода
• 3D-изометрии, оставляющие начало координат фиксированным
• Частичная изометрия
• Масштабирование (геометрия)
• Полуопределенное вложение
• Космическая группа
• Симметрия в математике

Библиография

• Рудин, Уолтер (1991). Функциональный анализ . Международная серия по чистой и прикладной математике. Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN  978-0-07-054236-5 . OCLC   21163277 .
• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN  978-1584888666 . OCLC   144216834 .
• Шефер, Хельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . ГТМ . Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN  978-1-4612-7155-0 . OCLC   840278135 .
• Тревес, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN  978-0-486-45352-1 . OCLC   853623322 .
• Вилански, Альберт (2013). Современные методы в топологических векторных пространствах . Минеола, Нью-Йорк: ISBN Dover Publications, Inc.  978-0-486-49353-4 . OCLC   849801114 .
• Коксетер, HSM (1969). Введение в геометрию, второе издание . Уайли . ISBN  9780471504580 .
• Ли, Джеффри М. (2009). Многообразия и дифференциальная геометрия . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. ISBN  978-0-8218-4815-9 .