Частичная изометрия

В математическом функциональном анализе частичная изометрия — это линейное отображение гильбертовых пространств, такое, что оно является изометрией ортогонального дополнения к своему ядру .

Ортогональное дополнение его ядра называется начальным подпространством , а его диапазон называется конечным подпространством .

Частичные изометрии появляются при полярном разложении .

Общее определение

Понятие частичной изометрии можно определить другими эквивалентными способами. Если U — изометрическое отображение, определенное на замкнутом подмножестве 1 _{гильбертова} пространства H, то мы можем определить расширение W U H на все H при условии, что W равно нулю в ортогональном дополнении к H ₁ . Таким образом, частичная изометрия также иногда определяется как замкнутое частично определенное изометрическое отображение.

Частичные изометрии (и проекции) могут быть определены в более абстрактном контексте полугруппы с инволюцией ; определение совпадает с приведенным здесь.

Характеризация в конечных размерах

В конечномерных векторных пространствах матрица $A$ является частичной изометрией тогда и только тогда, когда $A^{*}A$ является проекцией на его опору. Сравните это с более требовательным определением изометрии : матрица $V$ является изометрией тогда и только тогда, когда $V^{*}V=I$ . Другими словами, изометрия — это инъективная частичная изометрия.

Любую конечномерную частичную изометрию при некотором выборе базиса можно представить как матрицу вида $A={\begin{pmatrix}V&0\end{pmatrix}}$ , то есть как матрица, первая $\operatorname {rank} (A)$ столбцы образуют изометрию, а все остальные столбцы тождественно равны 0.

Заметим, что для любой изометрии $V$ , эрмитово сопряжение $V^{*}$ является частичной изометрией, хотя не всякая частичная изометрия имеет такую форму, как это явно показано в приведенных примерах.

Операторные алгебры

Для операторных алгебр вводятся начальное и конечное подпространства:

{\mathcal {I}}W:={\mathcal {R}}W^{*}W,\,{\mathcal {F}}W:={\mathcal {R}}WW^{*}

C*-алгебры

Для С*-алгебр имеется цепочка эквивалентностей, обусловленная С*-свойством:

(W^{*}W)^{2}=W^{*}W\iff WW^{*}W=W\iff W^{*}WW^{*}=W^{*}\iff (WW^{*})^{2}=WW^{*}

Таким образом, можно определить частичные изометрии любым из вышеперечисленных способов и объявить начальную соотв. окончательный прогноз будет W*W соотв. WW* .

Пара проекций разбивается отношением эквивалентности :

P=W^{*}W,\,Q=WW^{*}

Оно играет важную роль в К-теории для С*-алгебр и в Мюррея — фон Неймана теории проекций в алгебре фон Неймана .

Специальные классы

Прогнозы

Любая ортогональная проекция имеет общее начальное и конечное подпространство:

P:{\mathcal {H}}\rightarrow {\mathcal {H}}:\quad {\mathcal {I}}P={\mathcal {F}}P

Вложения

Любое изометрическое вложение — это вложение с полным начальным подпространством:

J:{\mathcal {H}}\hookrightarrow {\mathcal {K}}:\quad {\mathcal {I}}J={\mathcal {H}}

Унитарии

Любой унитарный оператор имеет полное начальное и конечное подпространство:

U:{\mathcal {H}}\leftrightarrow {\mathcal {K}}:\quad {\mathcal {I}}U={\mathcal {H}},\,{\mathcal {F}}U={\mathcal {K}}

(Помимо них существует гораздо больше частичных изометрий.)

Примеры

Нильпотенты

В двумерном комплексном гильбертовом пространстве матрица

{\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}

представляет собой частичную изометрию с начальным подпространством

\{0\}\oplus \mathbb {C}

и последнее подпространство

\mathbb {C} \oplus \{0\}.

Общие конечномерные примеры

Другие возможные примеры в конечных размерах: $A\equiv {\begin{pmatrix}1&0&0\\0&{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\0&0&0\end{pmatrix}}.$ Это явно не изометрия, поскольку столбцы не ортонормированы. Однако его поддержка охватывает период $\mathbf {e} _{1}\equiv (1,0,0)$ и ${\frac {1}{\sqrt {2}}}(\mathbf {e} _{2}+\mathbf {e} _{3})\equiv (0,1/{\sqrt {2}},1/{\sqrt {2}})$ и ограничение действия $A$ на этом пространстве она становится изометрией (и, в частности, унитарной). Аналогично можно убедиться, что $A^{*}A=\Pi _{\operatorname {supp} (A)}$ , то есть, что $A^{*}A$ является проекцией на его опору.

Частичные изометрии не обязательно соответствуют квадратам матриц. Рассмотрим, например, $A\equiv {\begin{pmatrix}1&0&0\\0&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\\0&0&0\\0&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}}.$ Эта матрица поддерживает диапазон $\mathbf {e} _{1}\equiv (1,0,0)$ и $\mathbf {e} _{2}+\mathbf {e} _{3}\equiv (0,1,1)$ , и действует как изометрия (и, в частности, как тождество) на этом пространстве.

Еще один пример, в котором на этот раз $A$ действует как нетривиальная изометрия на своем носителе, $A={\begin{pmatrix}0&{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}.$ В этом можно легко убедиться $A\mathbf {e} _{1}=\mathbf {e} _{2}$ , и $A\left({\frac {\mathbf {e} _{2}+\mathbf {e} _{3}}{\sqrt {2}}}\right)=\mathbf {e} _{1}$ , демонстрируя изометрическое поведение $A$ между его поддержкой $\operatorname {span} (\{\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2}+\mathbf {e} _{3}\})$ и его диапазон $\operatorname {span} (\{\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2}\})$ .