Полярное разложение

В математике полярное разложение квадратной вещественной или комплексной матрицы. $A$ является факторизацией формы $A=UP$, где $U$ является унитарной матрицей и $P$ – положительная полуопределенная эрмитова матрица ( $U$ является ортогональной матрицей и $P$ — положительная полуопределенная симметричная матрица в вещественном случае), квадратная и одинакового размера.

Если настоящий $n\times n$ матрица $A$ интерпретируется как линейное преобразование $n$-мерное пространство $\mathbb {R} ^{n}$, полярное разложение разделяет его на вращение или отражение $U$ из $\mathbb {R} ^{n}$и масштабирование пространства по множеству $n$ ортогональные оси.

Полярное разложение квадратной матрицы $A$ всегда существует. Если $A$ обратима , разложение однозначно и множитель $P$ будет положительно-определенным . В этом случае $A$ можно однозначно записать в виде $A=Ue^{X}$, где $U$ является унитарным и $X$ – единственный самосопряженный логарифм матрицы $P$. Это разложение полезно при вычислении фундаментальной группы (матричных) групп Ли .

Полярное разложение также можно определить как $A=P'U$ где $P'=UPU^{-1}$ представляет собой симметричную положительно определенную матрицу с теми же собственными значениями, что и $P$ но разные собственные векторы.

Полярное разложение матрицы можно рассматривать как матричный аналог полярной формы комплексного числа. $z$ как $z=ur$, где $r$ - его абсолютное значение (неотрицательное действительное число ), и $u$ — комплексное число с единичной нормой (элемент группы кругов ).

Определение $A=UP$ может быть расширено до прямоугольных матриц $A\in \mathbb {C} ^{m\times n}$ требуя $U\in \mathbb {C} ^{m\times n}$ быть полуунитарной матрицей и $P\in \mathbb {C} ^{n\times n}$ быть положительно-полуопределенной эрмитовой матрицей. Разложение всегда существует и $P$ всегда уникален. Матрица $U$ уникально тогда и только тогда, когда $A$ имеет полный ранг.

интерпретация

Настоящая площадь $m\times m$ матрица $A$ можно интерпретировать как преобразование линейное $\mathbb {R} ^{m}$ который принимает вектор-столбец $x$ к $Ax$. Тогда в полярном разложении $A=RP$, фактор $R$ это $m\times m$ реальная ортонормированная матрица. Тогда полярное разложение можно рассматривать как выражение линейного преобразования, определяемого формулой $A$ в масштабирование пространства $\mathbb {R} ^{m}$ вдоль каждого собственного вектора $e_{i}$ из $P$ по масштабному коэффициенту $\sigma _{i}$ (действие $P$), с последующим вращением $\mathbb {R} ^{m}$ (действие $R$).

Альтернативно, разложение $A=PR$ выражает преобразование, определяемое формулой $A$ как вращение( $R$) с последующим масштабированием ( $P$) вдоль определенных ортогональных направлений. Масштабные коэффициенты те же, но направления разные.

Свойства

Полярное разложение комплексно-сопряженного соединения $A$ дается ${\overline {A}}={\overline {U}}{\overline {P}}.$ Обратите внимание, что

$$\det A=\det U\det P=e^{i\theta }r$$

дает соответствующее полярное разложение определителя A , поскольку $\det U=e^{i\theta }$ и $\det P=r=\left|\det A\right|$. В частности, если $A$ имеет определитель 1, то оба $U$ и $P$ есть определитель 1.

Положительно-полуопределенная матрица P всегда уникальна, даже если A сингулярна , и обозначается как

$$P=\left(A^{*}A\right)^{1/2},$$

где $A^{*}$ обозначает транспонирование сопряженное $A$. Уникальность P гарантирует, что это выражение четко определено. Уникальность гарантируется тем, что $A^{*}A$ является положительно-полуопределенной эрмитовой матрицей и, следовательно, имеет единственный положительно-полуопределенный эрмитовский квадратный корень . Если A обратима, то P положительно определена, а значит, также обратима, и матрица U однозначно определяется формулой

$$U=AP^{-1}.$$

СВД

В терминах сингулярного разложения (SVD) $A$, $A=W\Sigma V^{*}$, у одного есть

$${\begin{aligned}P&=V\Sigma V^{*}\\U&=WV^{*}\end{aligned}}$$

где $U$, $V$, и $W$ являются унитарными матрицами (называемыми ортогональными матрицами, если поле представляет собой действительные числа $\mathbb {R}$). Это подтверждает, что $P$ положительно определен и $U$ является унитарным. Таким образом, существование СВД эквивалентно существованию полярного распада.

Можно также разложить $A$ в форме

$$A=P'U$$

Здесь $U$ такой же, как и раньше, и $P'$ дается

$$P'=UPU^{-1}=\left(AA^{*}\right)^{1/2}=W\Sigma W^{*}.$$

Это известно как левополярное разложение, тогда как предыдущее разложение известно как правополярное разложение. Левополярное разложение также известно как обратное полярное разложение.

Полярное разложение квадратной обратимой вещественной матрицы $A$ имеет форму

$$A=|A|R$$

где $|A|=\left(AA^{\textsf {T}}\right)^{1/2}$ является положительно определенной матрицей и $R=|A|^{-1}A$ является ортогональной матрицей.

Отношение к нормальным матрицам

Матрица $A$ с полярным разложением $A=UP$ нормально когда тогда и только тогда, $U$ и $P$ добираться : $UP=PU$или, что то же самое, они одновременно диагонализуемы .

существования

Основная идея построения полярного разложения аналогична той, которая используется для вычисления сингулярного разложения .

Вывод для нормальных матриц

Если $A$ нормальна , то она унитарно эквивалентна диагональной матрице: $A=V\Lambda V^{*}$ для некоторой унитарной матрицы $V$ и некоторая диагональная матрица $\Lambda$. Это делает вывод его полярного разложения особенно простым, поскольку мы можем тогда записать

$$A=V\Phi _{\Lambda }|\Lambda |V^{*}=\underbrace {\left(V\Phi _{\Lambda }V^{*}\right)} _{\equiv U}\underbrace {\left(V|\Lambda |V^{*}\right)} _{\equiv P},$$

где $\Phi _{\Lambda }$ представляет собой диагональную матрицу, содержащую фазы элементов $\Lambda$, то есть, $(\Phi _{\Lambda })_{ii}\equiv \Lambda _{ii}/|\Lambda _{ii}|$ когда $\Lambda _{ii}\neq 0$, и $(\Phi _{\Lambda })_{ii}=0$ когда $\Lambda _{ii}=0$.

Таким образом, полярное разложение $A=UP$, с $U$ и $P$ диагональ в собственном базисе $A$ и имеющие собственные значения, равные фазам и абсолютным значениям $A$, соответственно.

Вывод обратимых матриц

Из разложения по сингулярным значениям можно показать, что матрица $A$ обратима тогда и только тогда, когда $A^{*}A$ (эквивалентно, $AA^{*}$) является. Более того, это верно тогда и только тогда, когда собственные значения $A^{*}A$ все не равны нулю.

В этом случае полярное разложение получается непосредственно записью

$$A=A\left(A^{*}A\right)^{-1/2}\left(A^{*}A\right)^{1/2},$$

и наблюдая за этим $A\left(A^{*}A\right)^{-1/2}$ является унитарным. Чтобы убедиться в этом, мы можем воспользоваться спектральным разложением $A^{*}A$ писать $A\left(A^{*}A\right)^{-1/2}=AVD^{-1/2}V^{*}$.

В этом выражении $V^{*}$ унитарна, потому что $V$ является. Чтобы показать это также $AVD^{-1/2}$ унитарен, мы можем использовать SVD для записи $A=WD^{1/2}V^{*}$, так что

$$AVD^{-1/2}=WD^{1/2}V^{*}VD^{-1/2}=W,$$

где снова $W$ является унитарным по построению.

Еще один способ напрямую показать унитарность $A\left(A^{*}A\right)^{-1/2}$ Следует отметить, что, СВД записывая $A$ в терминах матриц ранга 1 как ${\textstyle A=\sum _{k}s_{k}v_{k}w_{k}^{*}}$, где $s_{k}$являются сингулярными значениями $A$, у нас есть

$$A\left(A^{*}A\right)^{-1/2}=\left(\sum _{j}\lambda _{j}v_{j}w_{j}^{*}\right)\left(\sum _{k}|\lambda _{k}|^{-1}w_{k}w_{k}^{*}\right)=\sum _{k}{\frac {\lambda _{k}}{|\lambda _{k}|}}v_{k}w_{k}^{*},$$

что непосредственно подразумевает унитарность $A\left(A^{*}A\right)^{-1/2}$ потому что матрица унитарна тогда и только тогда, когда ее сингулярные значения имеют унитарное абсолютное значение.

Обратите внимание, что из приведенной выше конструкции следует, что унитарная матрица в полярном разложении обратимой матрицы определена однозначно .

Общий вывод

СВД с квадратной матрицей $A$ читает $A=WD^{1/2}V^{*}$, с $W,V$ унитарные матрицы и $D$ диагональная положительная полуопределенная матрица. Просто вставив дополнительную пару $W$или $V$s, мы получаем две формы полярного разложения $A$:

$$A=WD^{1/2}V^{*}=\underbrace {\left(WD^{1/2}W^{*}\right)} _{P}\underbrace {\left(WV^{*}\right)} _{U}=\underbrace {\left(WV^{*}\right)} _{U}\underbrace {\left(VD^{1/2}V^{*}\right)} _{P'}.$$

В более общем смысле, если $A$ какой-то прямоугольный $n\times m$ матрица, ее СВД можно записать как $A=WD^{1/2}V^{*}$ где сейчас $W$ и $V$ представляют собой изометрии с размерами $n\times r$ и $m\times r$, соответственно, где $r\equiv \operatorname {rank} (A)$, и $D$ снова является диагональной положительной полуопределенной квадратной матрицей с размерами $r\times r$. Теперь мы можем применить те же рассуждения, которые использовались в приведенном выше уравнении, чтобы записать $A=PU=UP'$, но сейчас $U\equiv WV^{*}$ не является вообще унитарным. Тем не менее, $U$ имеет ту же поддержку и диапазон, что и $A$, и это удовлетворяет $U^{*}U=VV^{*}$ и $UU^{*}=WW^{*}$. Это делает $U$ в изометрию, когда его действие ограничено носителем $A$, то есть это означает, что $U$ является частичной изометрией .

В качестве явного примера этого более общего случая рассмотрим SVD следующей матрицы:

$$A\equiv {\begin{pmatrix}1&1\\2&-2\\0&0\end{pmatrix}}=\underbrace {\begin{pmatrix}1&0\\0&1\\0&0\end{pmatrix}} _{\equiv W}\underbrace {\begin{pmatrix}{\sqrt {2}}&0\\0&{\sqrt {8}}\end{pmatrix}} _{\sqrt {D}}\underbrace {\begin{pmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}&-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{pmatrix}} _{V^{\dagger }}.$$

Тогда у нас есть

$$WV^{\dagger }={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\\0&0\end{pmatrix}}$$

что является изометрией, но не унитарно. С другой стороны, если мы рассмотрим разложение

$$A\equiv {\begin{pmatrix}1&0&0\\0&2&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}},$$

мы находим

$$WV^{\dagger }={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}},$$

что является частичной изометрией (но не изометрией).

операторы в

Полярное разложение любого ограниченного линейного оператора A между комплексными гильбертовыми пространствами представляет собой каноническую факторизацию как произведение частичной изометрии и неотрицательного оператора.

Полярное разложение матриц обобщается следующим образом: если A — ограниченный линейный оператор, то существует единственная факторизация A как произведение A = UP , где U — частичная изометрия, P — неотрицательный самосопряженный оператор и исходный пространство U является замыканием диапазона P .

Оператор U необходимо ослабить до частичной изометрии, а не до унитарной, из-за следующих проблем. Если A — односторонний сдвиг на l ² ( N ), тогда | А | = { А ^* А } ^1/2 = Я. ​Итак, если А = U | A |, U должно быть A , которое не является унитарным.

Существование полярного разложения является следствием леммы Дугласа :

Лемма . Если A , B — ограниченные операторы в гильбертовом пространстве H , и A ^* А ≤ Б ^* B , то существует сжатие C такое, что A = CB . Более того, C единственен, если ker( B ^* ) ⊂ ker( C ).

Оператор C может быть определен как C ( Bh ) := Ah для всех h в H , расширен по непрерывности до замыкания Ran ( B ) и нулем на ортогональном дополнении ко H. всему Лемма тогда следует, поскольку A ^* А ≤ Б ^* Из B следует ker( B ) ⊂ ker( A ).

В частности. Если А ^* А = Б ^* B , то C является частичной изометрией, которая единственна, если ker( B ^* ) ⊂ ker( C ).В общем случае для любого ограниченного A оператора

$$A^{*}A=\left(A^{*}A\right)^{1/2}\left(A^{*}A\right)^{1/2},$$

где ( А ^* А ) ^1/2 - уникальный положительный квадратный корень из A ^* Дано обычным функциональным исчислением . Итак, по лемме имеем

$$A=U\left(A^{*}A\right)^{1/2}$$

для некоторой частичной изометрии U , которая единственна, если ker( A ^* ) ⊂ ker( U ). Возьмем P равным ( A ^* А ) ^1/2 и получаем полярное разложение A = UP . Обратите внимание, что аналогичный аргумент можно использовать, чтобы показать A = P'U ' , где P' положителен, а U ' представляет собой частичную изометрию.

Когда H конечномерен, U можно расширить до унитарного оператора; в целом это не так (см. пример выше). Альтернативно, полярное разложение можно показать, используя операторную версию разложения по сингулярным значениям .

По свойству непрерывного функционального исчисления | А | находится в C*-алгебре, порожденной A . Аналогичное, но более слабое утверждение справедливо и для частичной изометрии: U находится в алгебре фон Неймана, порожденной A . Если А обратимо, то полярная часть U будет находиться в С*-алгебре также .

Неограниченные операторы

Если A — замкнутый, плотно определенный неограниченный оператор между комплексными гильбертовыми пространствами, то он все равно имеет (единственное) полярное разложение.

$$A=U|A|$$

где | А | — (возможно, неограниченный) неотрицательный самосопряженный оператор с той же областью определения, что и A , а U — частичная изометрия, исчезающая в ортогональном дополнении диапазона ran(| A |).

В доказательстве используется та же лемма, что и выше, которая справедлива для неограниченных операторов вообще. Если дом( А ^* А ) = dom( B ^* Б ) и А ^* Ах = Б ^* Bh для всех h ∈ dom( A ^* A ), то существует частичная изометрия U такая, что A = UB . U уникален, если run( B ) ^⊥ ⊂ кер( U ). оператора A Замкнутость и плотное определение гарантируют, что оператор A ^* A является самосопряженным (с плотной областью определения) и поэтому позволяет определить ( A ^* А ) ^1/2 . Применение леммы дает полярное разложение.

Если неограниченный оператор A присоединен = к алгебре фон Неймана M и A — UP ее полярное разложение, то U находится в M , как и спектральная проекция P , 1 _B ( P ), для любого борелевского множества B в [ 0, ∞) .

Полярное

Полярное разложение кватернионов $\ \mathbb {H} \$ с ортонормированными базисными кватернионами $\ 1,{\widehat {i}},{\widehat {j}},{\widehat {k}}\$ зависит от единицы двумерной сферы $\ {\widehat {r}}\in \lbrace \ x\ {\widehat {i}}+y\ {\widehat {j}}+z\ {\widehat {k}}\in \mathbb {H} \smallsetminus \mathbb {R} \ :\ x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\ \rbrace \$ квадратных корней из минус единицы , известных как правые версоры . Учитывая любой $\ {\widehat {r}}\$ этой сфере и угол − π < a ≤ π , версор на $\ e^{a\ {\widehat {r}}}{=}\cos(a)+{\widehat {r}}\ \sin(a)\$ находится на единичной 3- сфере $\ \mathbb {H} ~.$ Для a = 0 и a = π r версор равен 1 или -1, независимо от того, какой выбран . Норма евклидово t кватерниона q — это расстояние от начала координат до q . Когда кватернион — это не просто действительное число, происходит уникальное полярное разложение:

$\ q=t\ \exp \left(\ a\ {\widehat {r}}\ \right)~.$

Здесь r , a , t однозначно определены, так что r является правым версором ( r ² –1 , a удовлетворяет 0 <a < π и t > . = условиям ) 0 ​ ​

плоские

В декартовой плоскости альтернативные плоские кольцевые разложения возникают следующим образом:

• Если x ≠ 0 , z = x (1 + ε( y / x )) — полярное разложение двойственного числа z = x + yε , где ε ² = 0 ; е. ε нильпотентна т . . В этом полярном разложении единичный круг был заменен линией x = 1 , полярный угол наклоном y / x , а радиус x отрицателен в левой полуплоскости.
• Если х ² ≠ и ² , то единичная гипербола x ² − и ² = 1 и сопряженное с ним x ² − и ² = −1 можно использовать для формирования полярного разложения на основе ветви единичной гиперболы через (1, 0) . Эта ветвь параметризуется гиперболическим углом а и записывается
  $$\cosh(a)+j\ \sinh(a)=\exp(aj)=e^{aj}$$
  где j ² = +1 и арифметика расщепленных комплексных чисел . Ветвь через (−1, 0) отслеживается по − e ^также . Поскольку операция умножения на j отражает точку на прямой y = x , сопряженная гипербола имеет ветви, очерченные je ^также или - йе ^также . Поэтому точка в одном из квадрантов имеет полярное разложение в одном из видов:
  $$re^{aj},-re^{aj},rje^{aj},-rje^{aj},\quad r>0$$
  Множество { 1, −1, j , − j } имеет произведения, которые делают его изоморфным четырёхгруппе Клейна . Очевидно, в полярном разложении в данном случае участвует элемент из этой группы.

Численное определение матричного полярного разложения

Чтобы вычислить аппроксимацию полярного разложения A = UP унитарный фактор U. , обычно аппроксимируется Итерация основана на методе Герона для извлечения квадратного корня из 1 и вычисляется, начиная с $U_{0}=A$, последовательность

$$U_{k+1}={\frac {1}{2}}\left(U_{k}+\left(U_{k}^{*}\right)^{-1}\right),\qquad k=0,1,2,\ldots$$

Сочетание инверсии и сопряжения Эрмита выбрано таким образом, чтобы при разложении по сингулярным значениям унитарные множители оставались прежними и итерация сводилась к методу Герона по сингулярным значениям.

Эту базовую итерацию можно усовершенствовать, чтобы ускорить процесс:

• На каждом шаге или через равные промежутки времени диапазон сингулярных значений $U_{k}$ оценивается, а затем матрица масштабируется до $\gamma _{k}U_{k}$ центрировать сингулярные значения вокруг 1 . Масштабный коэффициент $\gamma _{k}$ вычисляется с использованием матричных норм матрицы и ее обратной. Примерами таких масштабных оценок являются:
  $$\gamma _{k}={\sqrt[{4}]{\frac {\left\|U_{k}^{-1}\right\|_{1}\left\|U_{k}^{-1}\right\|_{\infty }}{\left\|U_{k}\right\|_{1}\left\|U_{k}\right\|_{\infty }}}}$$
  суммы строк и суммы столбцов используя матричные нормы или
  $$\gamma _{k}={\sqrt {\frac {\left\|U_{k}^{-1}\right\|_{F}}{\left\|U_{k}\right\|_{F}}}}$$
  используя норму Фробениуса . С учетом масштабного коэффициента итерация теперь
  $$U_{k+1}={\frac {1}{2}}\left(\gamma _{k}U_{k}+{\frac {1}{\gamma _{k}}}\left(U_{k}^{*}\right)^{-1}\right),\qquad k=0,1,2,\ldots$$
• QR -разложение можно использовать на подготовительном этапе для сведения сингулярной матрицы A к меньшей регулярной матрице, а также на каждом этапе для ускорения вычисления обратной.
• Метод Герона для вычисления корней $x^{2}-1=0$ можно заменить методами более высокого порядка, например, на основе метода Галлея третьего порядка, в результате чего
  $$U_{k+1}=U_{k}\left(I+3U_{k}^{*}U_{k}\right)^{-1}\left(3I+U_{k}^{*}U_{k}\right),\qquad k=0,1,2,\ldots$$
  Эту итерацию снова можно совместить с изменением масштаба. Преимущество этой конкретной формулы состоит в том, что она также применима к сингулярным или прямоугольным A. матрицам

См. также

• Разложение Картана
• Алгебраическое полярное разложение
• Полярное разложение комплексной меры
• Разложение группы Ли

Ссылки

• Конвей, Дж. Б .: Курс функционального анализа. Тексты для аспирантов по математике . Нью-Йорк: Спрингер, 1990 г.
• Дуглас, Р.Г .: О мажорировании, факторизации и включении диапазонов операторов в гильбертовом пространстве. Учеб. амер. Математика. Соц. 17 , 413–415 (1966)
• Холл, Брайан К. (2015), Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарное введение , Тексты для аспирантов по математике, том. 222 (2-е изд.), Спрингер, ISBN  978-3319134666 .
• Хельгасон, Сигурдур (1978), Дифференциальная геометрия, группы Ли и симметрические пространства , Academic Press, ISBN  0-8218-2848-7