Спектральная геометрия

Спектральная геометрия — это область математики , которая касается отношений между геометрическими структурами многообразий и спектрами канонически определенных дифференциальных операторов . случай оператора Лапласа–Бельтрами на замкнутом римановом многообразии Наиболее интенсивно изучался другие операторы Лапласа в дифференциальной геометрии , хотя изучались и . Эта область касается двух видов вопросов: прямых проблем и обратных проблем.

Обратные задачи направлены на выявление особенностей геометрии на основе информации о собственных значениях лапласиана. Один из первых результатов такого рода был принадлежит Герману Вейлю , который использовал Дэвида Гильберта теорию интегральных уравнений в 1911 году, чтобы показать, что объем ограниченной области в евклидовом пространстве может быть определен из асимптотического поведения собственных значений уравнения Дирихле. Краевая задача оператора Лапласа . Этот вопрос обычно выражается как « Можно ли услышать форму барабана? », популярной фразой Марка Каца . Уточнение асимптотической формулы Вейля, полученное Плейелем и Минакшисундарамом, дает ряд локальных спектральных инвариантов , включающих ковариантные дифференцирования тензора кривизны , которые можно использовать для установления спектральной жесткости для специального класса многообразий. Однако, как говорит нам пример, приведенный Джоном Милнором , информации о собственных значениях недостаточно для определения класса изометрии многообразия (см. Изоспектральное ). Общий и систематический метод, Тошиказу Сунада дал начало множеству таких примеров, проясняющих явление изоспектральных многообразий.

Прямые задачи пытаются вывести поведение собственных значений риманова многообразия на основе знаний геометрии. Решения прямых задач характеризуются неравенством Чигера , которое устанавливает связь между первым положительным собственным значением и изопериметрической константой ( константой Чигера ). Со времени работы Чигера было установлено множество версий неравенства ( Р. Бруксом например, и П. Бузером).

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

Бергер, Марсель ; Годюшон, Поль; Мазе, Эдмонд (1971), Спектр риманова многообразия , Конспект лекций по математике (на французском языке), том. 194, Берлин-Нью-Йорк: Springer-Verlag .
Сунада, Тошикадзу (1985), "Римановы накрытия и изоспектральные многообразия", Ann. математики. , 121 (1): 169–186, номер документа : 10.2307/1971195 , JSTOR 1971195 .

Эта римановой геометрии статья, посвященная , незавершена . Вы можете помочь Википедии, расширив ее .

v т и Спектральная теория и ^*-алгебры
Basic concepts	Involution/-algebra Banach algebra B-algebra C-algebra Noncommutative topology Projection-valued measure Spectrum Spectrum of a C-algebra Spectral radius Operator space
Main results	Gelfand–Mazur theorem Gelfand–Naimark theorem Gelfand representation Polar decomposition Singular value decomposition Spectral theorem Spectral theory of normal C*-algebras
Special Elements/Operators	Isospectral Normal operator Hermitian/Self-adjoint operator Unitary operator Unit
Spectrum	Krein–Rutman theorem Normal eigenvalue Spectrum of a C*-algebra Spectral radius Spectral asymmetry Spectral gap
Decomposition	Decomposition of a spectrum Continuous Point Residual Approximate point Compression Direct integral Discrete Spectral abscissa
Spectral Theorem	Borel functional calculus Min-max theorem Positive operator-valued measure Projection-valued measure Riesz projector Rigged Hilbert space Spectral theorem Spectral theory of compact operators Spectral theory of normal C*-algebras
Special algebras	Amenable Banach algebra With an Approximate identity Banach function algebra Disk algebra Nuclear C*-algebra Uniform algebra Von Neumann algebra Tomita–Takesaki theory
Finite-Dimensional	Alon–Boppana bound Bauer–Fike theorem Numerical range Schur–Horn theorem
Generalizations	Dirac spectrum Essential spectrum Pseudospectrum Structure space (Shilov boundary)
Miscellaneous	Abstract index group Banach algebra cohomology Cohen–Hewitt factorization theorem Extensions of symmetric operators Fredholm theory Limiting absorption principle Schröder–Bernstein theorems for operator algebras Sherman–Takeda theorem Unbounded operator
Examples	Wiener algebra
Applications	Almost Mathieu operator Corona theorem Hearing the shape of a drum (Dirichlet eigenvalue) Heat kernel Kuznetsov trace formula Lax pair Proto-value function Ramanujan graph Rayleigh–Faber–Krahn inequality Spectral geometry Spectral method Spectral theory of ordinary differential equations Sturm–Liouville theory Superstrong approximation Transfer operator Transform theory Weyl law Wiener–Khinchin theorem