ПОВМ

В функциональном анализе и квантовой информатике положительная операторно-значная мера ( POVM ) — это мера , значения которой являются положительными полуопределенными операторами в гильбертовом пространстве . POVM представляют собой обобщение проекционнозначных мер (PVM) и, соответственно, квантовые измерения, описываемые POVM, являются обобщением квантовых измерений, описываемых PVM (называемых проективными измерениями).

Грубо говоря, POVM по отношению к PVM — то же самое, что смешанное состояние по отношению к чистому состоянию . Смешанные состояния необходимы для определения состояния подсистемы более крупной системы (см. Очистка квантового состояния ); аналогично, POVM необходимы для описания воздействия на подсистему проективного измерения, выполненного в более крупной системе.

POVM — это наиболее общий вид измерений в квантовой механике, который также может использоваться в квантовой теории поля . ^[1] Они широко используются в области квантовой информации .

Определение

Позволять ${\mathcal {H}}$ обозначаем гильбертово пространство и $(X,M)$ пространство измеримое с $M$ борелевская σ-алгебра на $X$ . POVM — это функция $F$ определено на $M$ значениями которых являются положительные ограниченные самосопряженные операторы на ${\mathcal {H}}$ такой, что для каждого $\psi \in {\mathcal {H}}$

E\mapsto \langle F(E)\psi \mid \psi \rangle ,

является неотрицательной счетно-аддитивной мерой на σ-алгебре $M$ и $F(X)=\operatorname {I} _{\mathcal {H}}$ является идентификационным оператором . ^[2]

В простейшем случае POVM представляет собой набор положительных полуопределенных эрмитовых матриц. $\{F_{i}\}$ в конечномерном гильбертовом пространстве ${\mathcal {H}}$ эта сумма равна единичной матрице , ^[3]^: 90

\sum _{i=1}^{n}F_{i}=\operatorname {I} .

POVM отличается от проекционной меры тем, что для проекционных мер значения $F$ должны быть ортогональными проекциями .

В квантовой механике ключевым свойством POVM является то, что она определяет вероятностную меру в пространстве результатов, так что $\langle F(E)\psi \mid \psi \rangle$ можно интерпретировать как вероятность (плотность) исхода $E$ при измерении квантового состояния $|\psi \rangle$ . То есть элемент POVM $F_{i}$ связан с результатом измерения $i$ , такой, что вероятность его получения при квантовом измерении квантового состояния $\rho$ дается

{\text{Prob}}(i)=\operatorname {tr} (\rho F_{i})

,

где $\operatorname {tr}$ является оператором трассировки . Когда измеряемое квантовое состояние является чистым состоянием $|\psi \rangle$ эта формула сводится к

{\text{Prob}}(i)=\operatorname {tr} (|\psi \rangle \langle \psi |F_{i})=\langle \psi |F_{i}|\psi \rangle

.

Простейший случай POVM обобщает простейший случай PVM, который представляет собой набор ортогональных проекторов. $\{\Pi _{i}\}$ эта сумма равна единичной матрице :

\sum _{i=1}^{N}\Pi _{i}=\operatorname {I} ,\quad \Pi _{i}\Pi _{j}=\delta _{ij}\Pi _{i}.

Формулы вероятности для PVM такие же, как и для POVM. Важным отличием является то, что элементы POVM не обязательно ортогональны. В результате количество элементов $n$ POVM может быть больше размерности гильбертова пространства, в котором они действуют. С другой стороны, количество элементов $N$ PVM не превышает размерность гильбертова пространства.

Теорема Наймарка о расширении

Примечание. Альтернативное написание этого слова — «Теорема Ноймарка».

Теорема Наймарка о расширении ^[4] показывает, как POVM можно получить из PVM, действующих на большее пространство. Этот результат имеет решающее значение в квантовой механике, поскольку он дает возможность физически реализовать измерения POVM. ^[5]^: 285

В простейшем случае POVM с конечным числом элементов, действующих в конечномерном гильбертовом пространстве, теорема Наймарка гласит, что если $\{F_{i}\}_{i=1}^{n}$ - это POVM, действующая в гильбертовом пространстве. ${\mathcal {H}}_{A}$ размера $d_{A}$ , то существует PVM $\{\Pi _{i}\}_{i=1}^{n}$ действующий в гильбертовом пространстве ${\mathcal {H}}_{A'}$ размера $d_{A'}$ и изометрия $V:{\mathcal {H}}_{A}\to {\mathcal {H}}_{A'}$ такой, что для всех $i$ ,

F_{i}=V^{\dagger }\Pi _{i}V.

Для частного случая ПОВМ ранга 1, т.е. когда $F_{i}=|f_{i}\rangle \langle f_{i}|$ для некоторых (ненормализованных) векторов $|f_{i}\rangle$ , эта изометрия может быть построена как ^[5]^: 285

V=\sum _{i=1}^{n}|i\rangle _{A'}\langle f_{i}|_{A}

и PVM задается просто $\Pi _{i}=|i\rangle \langle i|_{A'}$ . Обратите внимание, что здесь $d_{A'}=n$ .

В общем случае изометрию и PVM можно построить, определив ^[6]^[7] ${\mathcal {H}}_{A'}={\mathcal {H}}_{A}\otimes {\mathcal {H}}_{B}$ , $\Pi _{i}=\operatorname {I} _{A}\otimes |i\rangle \langle i|_{B}$ , и

V=\sum _{i=1}^{n}{\sqrt {F_{i}}}_{A}\otimes {|i\rangle }_{B}.

Обратите внимание, что здесь $d_{A'}=nd_{A}$ , так что это более расточительная конструкция.

В любом случае вероятность получения результата $i$ с этим PVM и состоянием, соответствующим образом преобразованным с помощью изометрии, такое же, как вероятность его получения с исходным POVM:

{\text{Prob}}(i)=\operatorname {tr} \left(V\rho _{A}V^{\dagger }\Pi _{i}\right)=\operatorname {tr} \left(\rho _{A}V^{\dagger }\Pi _{i}V\right)=\operatorname {tr} (\rho _{A}F_{i})

Эту конструкцию можно превратить в рецепт физической реализации POVM, расширив изометрию. $V$ в унитарный $U$ , то есть найти $U$ такой, что

V|i\rangle _{A}=U|i\rangle _{A'}

для $i$ от 1 до $d_{A}$ . Это всегда можно сделать.

Рецепт реализации POVM, описанный $\{F_{i}\}_{i=1}^{n}$ в квантовом состоянии $\rho$ тогда нужно встроить квантовое состояние в гильбертово пространство ${\mathcal {H}}_{A'}$ , развивайте его с помощью унитарного $U$ и проведем проективное измерение, описанное PVM $\{\Pi _{i}\}_{i=1}^{n}$ .

Состояние после измерения

Состояние после измерения определяется не самой POVM, а скорее PVM, которая его физически реализует. Поскольку существует бесконечно много различных PVM, реализующих одну и ту же POVM, операторы $\{F_{i}\}_{i=1}^{n}$ сами по себе не определяют, каким будет состояние после измерения. Чтобы убедиться в этом, заметим, что для любого унитарного $W$ операторы

M_{i}=W{\sqrt {F_{i}}}

также будет иметь свойство, которое $M_{i}^{\dagger }M_{i}=F_{i}$ , так что используя изометрию

V_{W}=\sum _{i=1}^{n}{M_{i}}_{A}\otimes {|i\rangle }_{B}

во второй конструкции выше также будет реализован тот же POVM. В случае, когда измеряемое состояние находится в чистом состоянии $|\psi \rangle _{A}$ , результирующая унитарная $U_{W}$ принимает это вместе с помощницей, чтобы заявить

U_{W}(|\psi \rangle _{A}|0\rangle _{B})=\sum _{i=1}^{n}M_{i}|\psi \rangle _{A}|i\rangle _{B},

и проективное измерение на вспомогательной колонке рухнет $|\psi \rangle _{A}$ государству ^[3]^: 84

|\psi '\rangle _{A}={\frac {M_{i_{0}}|\psi \rangle }{\sqrt {\langle \psi |M_{i_{0}}^{\dagger }M_{i_{0}}|\psi \rangle }}}

о получении результата $i_{0}$ . Когда измеряемое состояние описывается матрицей плотности $\rho _{A}$ , соответствующее состояние после измерения определяется выражением

\rho '_{A}={M_{i_{0}}\rho M_{i_{0}}^{\dagger } \over {\rm {tr}}(M_{i_{0}}\rho M_{i_{0}}^{\dagger })}

.

Таким образом, мы видим, что состояние после измерения явно зависит от унитарного $W$ . Обратите внимание, что пока $M_{i}^{\dagger }M_{i}=F_{i}$ всегда эрмитово, вообще говоря, $M_{i}$ не обязательно должен быть эрмитовым.

Еще одно отличие от проективных измерений заключается в том, что измерения POVM, как правило, не повторяются. Если по первому результату измерения $i_{0}$ получено, вероятность получения другого результата $i_{1}$ при втором измерении

{\text{Prob}}(i_{1}|i_{0})={\operatorname {tr} (M_{i_{1}}M_{i_{0}}\rho M_{i_{0}}^{\dagger }M_{i_{1}}^{\dagger }) \over {\rm {tr}}(M_{i_{0}}\rho M_{i_{0}}^{\dagger })}

,

которое может быть отличным от нуля, если $M_{i_{0}}$ и $M_{i_{1}}$ не ортогональны. В проективном измерении эти операторы всегда ортогональны, и поэтому измерение всегда повторяемо.

Пример: однозначная дискриминация квантовых состояний.

Предположим, у вас есть квантовая система с двумерным гильбертовым пространством, которая, как вы знаете, находится либо в состоянии $|\psi \rangle$ или государство $|\varphi \rangle$ , и вы хотите определить, какой именно. Если $|\psi \rangle$ и $|\varphi \rangle$ ортогональны, эта задача проста: множество $\{|\psi \rangle \langle \psi |,|\varphi \rangle \langle \varphi |\}$ сформирует ПВМ, и проективное измерение в этом базисе позволит с уверенностью определить состояние. Если, однако, $|\psi \rangle$ и $|\varphi \rangle$ не ортогональны, то эта задача невыполнима , в том смысле, что не существует измерения ни ПВМ, ни ПОВМ, которое позволило бы их достоверно различить. ^[3]^: 87 Невозможность идеально различать неортогональные состояния лежит в основе протоколов квантовой информации , таких как квантовая криптография , подбрасывание квантовой монеты и квантовые деньги .

Задача однозначного распознавания квантовых состояний (UQSD) — следующая лучшая вещь: никогда не допустить ошибки относительно того, является ли состояние $|\psi \rangle$ или $|\varphi \rangle$ , ценой иногда неубедительного результата. Это можно сделать с помощью проекционных измерений. ^[8] Например, если вы измеряете PVM $\{|\psi \rangle \langle \psi |,|\psi ^{\perp }\rangle \langle \psi ^{\perp }|\}$ , где $|\psi ^{\perp }\rangle$ квантовое состояние ортогонально $|\psi \rangle$ и получить результат $|\psi ^{\perp }\rangle \langle \psi ^{\perp }|$ , то вы точно знаете, что государство было $|\varphi \rangle$ . Если результат был $|\psi \rangle \langle \psi |$ , то это безрезультатно. Аналогичные рассуждения справедливы и для PVM. $\{|\varphi \rangle \langle \varphi |,|\varphi ^{\perp }\rangle \langle \varphi ^{\perp }|\}$ , где $|\varphi ^{\perp }\rangle$ является ли состояние ортогональным $|\varphi \rangle$ .

Однако это неудовлетворительно, поскольку вы не можете обнаружить оба $|\psi \rangle$ и $|\varphi \rangle$ при одном измерении, и вероятность получения окончательного результата меньше, чем при использовании POVM. POVM, который дает наибольшую вероятность окончательного результата в этой задаче, определяется выражением ^[8]^[9]

F_{\psi }={\frac {1}{1+|\langle \varphi |\psi \rangle |}}|\varphi ^{\perp }\rangle \langle \varphi ^{\perp }|

F_{\varphi }={\frac {1}{1+|\langle \varphi |\psi \rangle |}}|\psi ^{\perp }\rangle \langle \psi ^{\perp }|

F_{?}=\operatorname {I} -F_{\psi }-F_{\varphi }={\frac {2|\langle \varphi |\psi \rangle |}{1+|\langle \varphi |\psi \rangle |}}|\gamma \rangle \langle \gamma |,

где

|\gamma \rangle ={\frac {1}{\sqrt {2(1+|\langle \varphi |\psi \rangle |)}}}(|\psi \rangle +e^{i\arg(\langle \varphi |\psi \rangle )}|\varphi \rangle ).

Обратите внимание, что $\operatorname {tr} (|\varphi \rangle \langle \varphi |F_{\psi })=\operatorname {tr} (|\psi \rangle \langle \psi |F_{\varphi })=0$ , поэтому, когда результат $\psi$ мы уверены, что квантовое состояние $|\psi \rangle$ , и когда результат $\varphi$ мы уверены, что квантовое состояние $|\varphi \rangle$ .

Вероятность получения окончательного результата определяется выражением

1-|\langle \varphi |\psi \rangle |,

когда квантовая система находится в состоянии $|\psi \rangle$ или $|\varphi \rangle$ с той же вероятностью. Этот результат известен как предел Ивановича-Дикса-Переса, названный в честь авторов, которые стали пионерами исследования UQSD. ^[10]^[11]^[12]

Поскольку POVM имеют ранг 1, мы можем использовать простой случай приведенной выше конструкции, чтобы получить проективное измерение, которое физически реализует эту POVM. Обозначая три возможных состояния расширенного гильбертова пространства как $|{\text{result ψ}}\rangle$ , $|{\text{result φ}}\rangle$ , и $|{\text{result ?}}\rangle$ , мы видим, что полученное унитарное $U_{\text{UQSD}}$ берет государство $|\psi \rangle$ к

U_{\text{UQSD}}|\psi \rangle ={\sqrt {1-|\langle \varphi |\psi \rangle |}}|{\text{result ψ}}\rangle +{\sqrt {|\langle \varphi |\psi \rangle |}}|{\text{result ?}}\rangle ,

и аналогично требуется состояние $|\varphi \rangle$ к

U_{\text{UQSD}}|\varphi \rangle ={\sqrt {1-|\langle \varphi |\psi \rangle |}}|{\text{result φ}}\rangle +e^{-i\arg(\langle \varphi |\psi \rangle )}{\sqrt {|\langle \varphi |\psi \rangle |}}|{\text{result ?}}\rangle .

Тогда проективное измерение дает желаемые результаты с теми же вероятностями, что и POVM.

Этот POVM использовался для экспериментального различения неортогональных состояний поляризации фотона. Реализация ПОВМ при проективном измерении немного отличалась от описанной здесь. ^[13]^[14]

См. также

Ссылки

^ Перес, Ашер ; Терно, Дэниел Р. (2004). «Квантовая информация и теория относительности». Обзоры современной физики . 76 (1): 93–123. arXiv : Quant-ph/0212023 . Бибкод : 2004РвМП...76...93П . дои : 10.1103/RevModPhys.76.93 . S2CID 7481797 .
^ Дэвис, Эдвард Брайан (1976). Квантовая теория открытых систем . Лондон: Акад. Нажимать. п. 35. ISBN 978-0-12-206150-9 .
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с М. Нильсен и И. Чуанг, Квантовые вычисления и квантовая информация, Cambridge University Press, (2000)
^ И. М. Гельфанд и М. А. Неймарк, О вложении нормированных колец в кольцо операторов в гильбертовом пространстве, Рек. Математика. [Мат. Сборник] НС 12(54) (1943), 197–213.
^ Перейти обратно: ^а ^б А. Перес. Квантовая теория: концепции и методы. Академическое издательство Клувер, 1993.
^ Дж. Прескилл, Конспекты лекций по физике: квантовая информация и вычисления, глава 3, http://theory.caltech.edu/~preskill/ph229/index.html
^ Дж. Уотрус. Теория квантовой информации. Издательство Кембриджского университета, 2018. Глава 2.3, https://cs.uwaterloo.ca/~watrous/TQI/
^ Перейти обратно: ^а ^б Ж. А. Бергу; У. Герцог; М. Хиллери (2004). «Дискриминация квантовых состояний». В Париже; Й. Ржегачек (ред.). Оценка квантового состояния . Спрингер. стр. 417–465 . дои : 10.1007/978-3-540-44481-7_11 . ISBN 978-3-540-44481-7 .
^ Шефлз, Энтони (2000). «Квантовая государственная дискриминация». Современная физика . 41 (6). Информа UK Limited: 401–424. arXiv : quant-ph/0010114v1 . Бибкод : 2000ConPh..41..401C . дои : 10.1080/00107510010002599 . ISSN 0010-7514 . S2CID 119340381 .
^ Иванович, И.Д. (1987). «Как различать неортогональные состояния». Буквы по физике А. 123 (6). Эльзевир Б.В.: 257–259. Бибкод : 1987PhLA..123..257I . дои : 10.1016/0375-9601(87)90222-2 . ISSN 0375-9601 .
^ Дикс, Д. (1988). «Перекрытие и различимость квантовых состояний». Буквы по физике А. 126 (5–6). Эльзевир Б.В.: 303–306. Бибкод : 1988PhLA..126..303D . дои : 10.1016/0375-9601(88)90840-7 . ISSN 0375-9601 .
^ Перес, Ашер (1988). «Как различать неортогональные состояния». Буквы по физике А. 128 (1–2). Elsevier BV: 19. Бибкод : 1988PhLA..128...19P . дои : 10.1016/0375-9601(88)91034-1 . ISSN 0375-9601 .
^ Б. Хаттнер; А. Мюллер; Ж. Д. Готье; Х. Збинден; Н. Гизин (1996). «Однозначное квантовое измерение неортогональных состояний». Физический обзор А. 54 (5). АПС: 3783–3789. Бибкод : 1996PhRvA..54.3783H . дои : 10.1103/PhysRevA.54.3783 . ПМИД 9913923 .
^ РБМ Кларк; А. Шефлес; С.М. Барнетт; Э. Риис (2001). «Экспериментальная демонстрация оптимальной однозначной государственной дискриминации». Физический обзор А. 63 (4). АПС: 040305(Р). arXiv : Quant-ph/0007063 . Бибкод : 2001PhRvA..63d0305C . дои : 10.1103/PhysRevA.63.040305 . S2CID 39481893 .

ПОВМ
- К. Краус, Состояния, эффекты и операции, Конспекты лекций по физике 190, Springer (1983).
- А. С. Холево , Вероятностные и статистические аспекты квантовой теории, Изд-во Северной Голландии. Сай, Амстердам (1982).

Внешние ссылки

Интерактивная демонстрация дискриминации квантовых состояний

[1] Перес, Ашер ; Терно, Дэниел Р. (2004). «Квантовая информация и теория относительности». Обзоры современной физики . 76 (1): 93–123. arXiv : Quant-ph/0212023 . Бибкод : 2004РвМП...76...93П . дои : 10.1103/RevModPhys.76.93 . S2CID 7481797 .

[2] Дэвис, Эдвард Брайан (1976). Квантовая теория открытых систем . Лондон: Акад. Нажимать. п. 35. ISBN 978-0-12-206150-9 .

[mike_ike-3] Перейти обратно: ^а ^б ^с М. Нильсен и И. Чуанг, Квантовые вычисления и квантовая информация, Cambridge University Press, (2000)

[naimark-4] И. М. Гельфанд и М. А. Неймарк, О вложении нормированных колец в кольцо операторов в гильбертовом пространстве, Рек. Математика. [Мат. Сборник] НС 12(54) (1943), 197–213.

[peres_book-5] Перейти обратно: ^а ^б А. Перес. Квантовая теория: концепции и методы. Академическое издательство Клувер, 1993.

[preskill_notes-6] Дж. Прескилл, Конспекты лекций по физике: квантовая информация и вычисления, глава 3, http://theory.caltech.edu/~preskill/ph229/index.html

[7] Дж. Уотрус. Теория квантовой информации. Издательство Кембриджского университета, 2018. Глава 2.3, https://cs.uwaterloo.ca/~watrous/TQI/

[bergou-8] Перейти обратно: ^а ^б Ж. А. Бергу; У. Герцог; М. Хиллери (2004). «Дискриминация квантовых состояний». В Париже; Й. Ржегачек (ред.). Оценка квантового состояния . Спрингер. стр. 417–465 . дои : 10.1007/978-3-540-44481-7_11 . ISBN 978-3-540-44481-7 .

[9] Шефлз, Энтони (2000). «Квантовая государственная дискриминация». Современная физика . 41 (6). Информа UK Limited: 401–424. arXiv : quant-ph/0010114v1 . Бибкод : 2000ConPh..41..401C . дои : 10.1080/00107510010002599 . ISSN 0010-7514 . S2CID 119340381 .

[10] Иванович, И.Д. (1987). «Как различать неортогональные состояния». Буквы по физике А. 123 (6). Эльзевир Б.В.: 257–259. Бибкод : 1987PhLA..123..257I . дои : 10.1016/0375-9601(87)90222-2 . ISSN 0375-9601 .

[11] Дикс, Д. (1988). «Перекрытие и различимость квантовых состояний». Буквы по физике А. 126 (5–6). Эльзевир Б.В.: 303–306. Бибкод : 1988PhLA..126..303D . дои : 10.1016/0375-9601(88)90840-7 . ISSN 0375-9601 .

[12] Перес, Ашер (1988). «Как различать неортогональные состояния». Буквы по физике А. 128 (1–2). Elsevier BV: 19. Бибкод : 1988PhLA..128...19P . дои : 10.1016/0375-9601(88)91034-1 . ISSN 0375-9601 .

[13] Б. Хаттнер; А. Мюллер; Ж. Д. Готье; Х. Збинден; Н. Гизин (1996). «Однозначное квантовое измерение неортогональных состояний». Физический обзор А. 54 (5). АПС: 3783–3789. Бибкод : 1996PhRvA..54.3783H . дои : 10.1103/PhysRevA.54.3783 . ПМИД 9913923 .

[14] РБМ Кларк; А. Шефлес; С.М. Барнетт; Э. Риис (2001). «Экспериментальная демонстрация оптимальной однозначной государственной дискриминации». Физический обзор А. 63 (4). АПС: 040305(Р). arXiv : Quant-ph/0007063 . Бибкод : 2001PhRvA..63d0305C . дои : 10.1103/PhysRevA.63.040305 . S2CID 39481893 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

v т и Спектральная теория и ^*-алгебры
Basic concepts	Involution/-algebra Banach algebra B-algebra C-algebra Noncommutative topology Projection-valued measure Spectrum Spectrum of a C-algebra Spectral radius Operator space
Main results	Gelfand–Mazur theorem Gelfand–Naimark theorem Gelfand representation Polar decomposition Singular value decomposition Spectral theorem Spectral theory of normal C*-algebras
Special Elements/Operators	Isospectral Normal operator Hermitian/Self-adjoint operator Unitary operator Unit
Spectrum	Krein–Rutman theorem Normal eigenvalue Spectrum of a C*-algebra Spectral radius Spectral asymmetry Spectral gap
Decomposition	Decomposition of a spectrum Continuous Point Residual Approximate point Compression Direct integral Discrete Spectral abscissa
Spectral Theorem	Borel functional calculus Min-max theorem Positive operator-valued measure Projection-valued measure Riesz projector Rigged Hilbert space Spectral theorem Spectral theory of compact operators Spectral theory of normal C*-algebras
Special algebras	Amenable Banach algebra With an Approximate identity Banach function algebra Disk algebra Nuclear C*-algebra Uniform algebra Von Neumann algebra Tomita–Takesaki theory
Finite-Dimensional	Alon–Boppana bound Bauer–Fike theorem Numerical range Schur–Horn theorem
Generalizations	Dirac spectrum Essential spectrum Pseudospectrum Structure space (Shilov boundary)
Miscellaneous	Abstract index group Banach algebra cohomology Cohen–Hewitt factorization theorem Extensions of symmetric operators Fredholm theory Limiting absorption principle Schröder–Bernstein theorems for operator algebras Sherman–Takeda theorem Unbounded operator
Examples	Wiener algebra
Applications	Almost Mathieu operator Corona theorem Hearing the shape of a drum (Dirichlet eigenvalue) Heat kernel Kuznetsov trace formula Lax pair Proto-value function Ramanujan graph Rayleigh–Faber–Krahn inequality Spectral geometry Spectral method Spectral theory of ordinary differential equations Sturm–Liouville theory Superstrong approximation Transfer operator Transform theory Weyl law Wiener–Khinchin theorem

v т и Анализ в топологических векторных пространствах
Basic concepts	Abstract Wiener space Classical Wiener space Bochner space Convex series Cylinder set measure Infinite-dimensional vector function Matrix calculus Vector calculus
Derivatives	Differentiable vector–valued functions from Euclidean space Differentiation in Fréchet spaces Fréchet derivative Total Functional derivative Gateaux derivative Directional Generalizations of the derivative Hadamard derivative Holomorphic Quasi-derivative
Measurability	Besov measure Cylinder set measure Canonical Gaussian Classical Wiener measure Measure like set functions infinite-dimensional Gaussian measure Projection-valued Vector Bochner / Weakly / Strongly measurable function Radonifying function
Integrals	Bochner Direct integral Dunford Gelfand–Pettis/Weak Regulated Paley–Wiener
Results	Cameron–Martin theorem Inverse function theorem Nash–Moser theorem Feldman–Hájek theorem No infinite-dimensional Lebesgue measure Sazonov's theorem Structure theorem for Gaussian measures
Related	Crinkled arc Covariance operator
Functional calculus	Borel functional calculus Continuous functional calculus Holomorphic functional calculus
Applications	Banach manifold (bundle) Convenient vector space Choquet theory Fréchet manifold Hilbert manifold