Квантовое состояние

В квантовой физике квантовое состояние — это математическая сущность, воплощающая знания о квантовой системе. Квантовая механика определяет построение, эволюцию и измерение квантового состояния. Результатом является квантовомеханическое предсказание системы, представленной состоянием. Знание квантового состояния и квантовомеханических правил эволюции системы во времени исчерпывает все, что можно знать о квантовой системе.

Квантовые состояния могут определяться по-разному для разных типов систем или проблем. Две широкие категории:

• волновые функции, описывающие квантовые системы с использованием переменных положения или импульса и
• более абстрактные векторные квантовые состояния .

Исторические, образовательные и прикладные задачи обычно связаны с волновыми функциями; современная профессиональная физика использует абстрактные векторные состояния. В обеих категориях квантовые состояния делятся на чистые и смешанные состояния или на когерентные и некогерентные состояния. Категории с особыми свойствами включают стационарные состояния для независимости от времени и состояния квантового вакуума в квантовой теории поля .

Из состояний классической механики

Как инструмент физики квантовые состояния выросли из состояний классической механики . Классическое динамическое состояние состоит из набора динамических переменных с четко определенными действительными значениями в каждый момент времени. Например, состояние пушечного ядра будет состоять из его положения и скорости. Значения состояния развиваются в соответствии с уравнениями движения и, таким образом, остаются строго определенными. Если мы знаем положение пушки и скорость выхода ее снарядов, то мы можем использовать уравнения, содержащие силу гравитации, чтобы точно предсказать траекторию пушечного ядра.

Точно так же квантовые состояния состоят из наборов динамических переменных, которые развиваются под действием уравнений движения. Однако значения, полученные из квантовых состояний, представляют собой комплексные числа , квантованные и ограниченные соотношениями неопределенности . и обеспечивают только распределение вероятностей результатов для системы. Эти ограничения изменяют природу квантовых динамических переменных. Например, квантовое состояние электрона в эксперименте с двумя щелями будет состоять из комплексных значений в области обнаружения и, возведенное в квадрат, предсказывать только вероятностное распределение количества электронов по детектору.

Роль в квантовой механике

Процесс описания квантовой системы с помощью квантовой механики начинается с идентификации набора переменных, определяющих квантовое состояние системы. Набор будет содержать совместимые и несовместимые переменные . Одновременное измерение полного набора совместимых переменных переводит систему в уникальное состояние. Затем состояние детерминировано развивается в соответствии с уравнениями движения . Последующее измерение состояния создает выборку из распределения вероятностей, предсказанного квантово-механическим оператором, соответствующим измерению.

Фундаментально статистический или вероятностный характер квантовых измерений меняет роль квантовых состояний в квантовой механике по сравнению с классическими состояниями в классической механике. В классической механике измеряется начальное состояние одного или нескольких тел; состояние развивается согласно уравнениям движения; измерения конечного состояния сравниваются с прогнозами. В квантовой механике ансамбли одинаково подготовленных квантовых состояний развиваются в соответствии с уравнениями движения, и многие повторные измерения сравниваются с предсказанными распределениями вероятностей.

Измерения

Основная статья: Измерения в квантовой механике

Измерения, макроскопические операции над квантовыми состояниями фильтруют состояние. Каким бы ни было входное квантовое состояние, повторные идентичные измерения дают согласованные значения. По этой причине измерения «подготавливают» квантовые состояния для экспериментов, переводя систему в частично определенное состояние. Последующие измерения могут либо дополнительно подготовить систему (это совместимые измерения), либо изменить состояние, переопределив его — такие измерения называются несовместимыми или дополнительными измерениями. Например, мы можем измерить импульс состояния вдоль $x$ оси любое количество раз и получим тот же результат, но если мы измерим положение после однократного измерения импульса, последующие измерения импульса изменяются. Квантовое состояние неизбежно изменяется в результате несовместимых измерений. Это известно как принцип неопределенности .

состояния и

Дополнительная информация: Собственные значения и собственные векторы.

Квантовое состояние после измерения находится в собственном состоянии, соответствующем этому измерению и измеренному значению. Другие аспекты состояния могут быть неизвестны. Повторение измерения не изменит состояние. В некоторых случаях совместимые измерения могут дополнительно уточнить состояние, сделав его собственным состоянием, соответствующим всем этим измерениям. Полный набор совместимых измерений дает чистое состояние . Любое состояние, которое не является чистым, называется смешанным состоянием , как более подробно описано ниже .

Решения в собственных состояниях уравнения Шредингера могут быть преобразованы в чистые состояния. Эксперименты редко приводят к чистым состояниям. Поэтому статистические смеси растворов необходимо сравнивать с экспериментами.

Представления

Одно и то же физическое квантовое состояние может быть выражено математически разными способами, называемыми представлениями . Волновая функция положения — это одно из представлений, которое часто впервые встречается во введениях в квантовую механику. Эквивалентная волновая функция импульса - это еще одно представление, основанное на волновой функции. Представления аналогичны системам координат. или подобные математические приемы, такие как параметрические уравнения . Выбор представления облегчит некоторые аспекты проблемы за счет усложнения других задач.

В формальной квантовой механике (см. ниже ) теория развивается в терминах абстрактного « векторного пространства », избегая какого-либо конкретного представления. Это позволяет выражать и применять многие элегантные концепции квантовой механики даже в тех случаях, когда классического аналога не существует.

Представления волновых функций

Основная статья: Волновая функция

Волновые функции представляют квантовые состояния, особенно когда они являются функциями положения или импульса . Исторически в определениях квантовых состояний использовались волновые функции до того, как были разработаны более формальные методы. Волновая функция — это комплексная функция любого полного набора коммутирующих или совместимых степеней свободы . Например, один набор может быть $x,y,z$ пространственные координаты электрона. Подготовка системы путем измерения полного набора совместимых дает чистое квантовое состояние . Чаще всего неполная подготовка приводит к смешанному квантовому состоянию . Решения волновых функций уравнений движения Шредингера для операторов, соответствующих измерениям, можно легко выразить в виде чистых состояний; их необходимо объединить со статистическими весами, соответствующими подготовке эксперимента, чтобы вычислить ожидаемое распределение вероятностей.

Чистые состояния волновых функций

Плотности вероятности для электрона атома водорода в различных квантовых состояниях.

Численные или аналитические решения в квантовой механике могут быть выражены в виде чистых состояний . Эти состояния решения, называемые собственными состояниями , помечены квантованными значениями, обычно квантовыми числами .Например, когда мы имеем дело с энергетическим спектром электрона квантовым числом углового в атоме водорода , соответствующие чистые состояния идентифицируются главным квантовым числом n , момента ℓ , магнитным квантовым числом m и спиновой z -компонентой s. _з . Другой пример: если спин электрона измеряется в любом направлении, например, с помощью эксперимента Штерна-Герлаха , есть два возможных результата: вверх или вниз. Чистое состояние здесь представлено двумерным комплексным вектором $(\alpha ,\beta )$, длиной один; то есть с

$$|\alpha |^{2}+|\beta |^{2}=1,$$

где $|\alpha |$ и $|\beta |$ являются абсолютными значениями $\alpha$ и $\beta$.

Постулаты квантовой механики утверждают, что чистые состояния в данный момент времени t соответствуют векторам в сепарабельном комплексном гильбертовом пространстве , в то время как каждая измеримая физическая величина (например, энергия или импульс частицы ) связана с математическим оператором, называемым наблюдаемый . Оператор служит линейной функцией , воздействующей на состояния системы. Собственные значения оператора соответствуют возможным значениям наблюдаемой. Например, можно наблюдать частицу с импульсом 1 кг⋅м/с тогда и только тогда, когда одно из собственных значений оператора импульса равно 1 кг⋅м/с. Соответствующий собственный вектор (который физики называют собственным состоянием ) с собственным значением 1 кг⋅м/с будет квантовым состоянием с определенным, четко определенным значением импульса 1 кг⋅м/с, без квантовой неопределенности . Если бы его импульс был измерен, результат гарантированно был бы 1 кг⋅м/с.

С другой стороны, система в суперпозиции множества различных собственных состояний, как правило, имеет квантовую неопределенность для данной наблюдаемой. Используя обозначение Бракета , эту линейную комбинацию собственных состояний можно представить как:

$$|\Psi (t)\rangle =\sum _{n}C_{n}(t)|\Phi _{n}\rangle .$$

Коэффициент, соответствующий определенному состоянию в линейной комбинации, представляет собой комплексное число, что позволяет создавать эффекты интерференции между состояниями. Коэффициенты зависят от времени. То, как квантовое состояние изменяется во времени, определяется оператором эволюции во времени .

Смешанные состояния волновых функций

Смешанное квантовое состояние соответствует вероятностной смеси чистых состояний; однако различные распределения чистых состояний могут порождать эквивалентные (т. е. физически неразличимые) смешанные состояния. Смесь квантовых состояний снова является квантовым состоянием.

Смешанное состояние спинов электронов в формулировке матрицы плотности имеет структуру $2\times 2$ матрица, которая является эрмитовой и положительно полуопределенной и имеет след 1. Более сложный случай дается (в обозначениях бра-кета ) синглетным состоянием , которое иллюстрирует квантовую запутанность :

$$\left|\psi \right\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\bigl (}\left|\uparrow \downarrow \right\rangle -\left|\downarrow \uparrow \right\rangle {\bigr )},$$

который предполагает суперпозицию совместных спиновых состояний для двух частиц со спином 1 ⁄ 2 . Синглетное состояние удовлетворяет тому свойству, что если спины частиц измеряются в одном направлении, то либо спин первой частицы наблюдается вверх, а спин второй частицы — вниз, либо первая частица наблюдается вниз, а вторая — вниз. один наблюдается вверху, причем обе возможности происходят с равной вероятностью.

Чистое квантовое состояние может быть представлено лучом в проективном гильбертовом пространстве над комплексными числами , тогда как смешанные состояния представлены матрицами плотности , которые являются положительно полуопределенными операторами , действующими в гильбертовых пространствах. Теорема Шредингера -ХЮВ классифицирует множество способов записать данное смешанное состояние как выпуклую комбинацию чистых состояний. Прежде чем выполнить конкретное измерение квантовой системы, теория дает только распределение вероятностей результата, и форма, которую принимает это распределение, полностью определяется квантовым состоянием и линейными операторами, описывающими измерение. Распределения вероятностей для различных измерений демонстрируют компромиссы, примером которых является принцип неопределенности : состояние, которое предполагает узкий разброс возможных результатов для одного эксперимента, обязательно подразумевает широкий разброс возможных результатов для другого.

Статистические смеси состояний представляют собой другой тип линейной комбинации. Статистическая смесь состояний представляет собой статистический ансамбль независимых систем. Статистические смеси представляют собой степень знания, тогда как неопределенность в квантовой механике является фундаментальной. Математически статистическая смесь — это не комбинация, использующая комплексные коэффициенты, а скорее комбинация, использующая действительные положительные вероятности различных состояний. $\Phi _{n}$. Число $P_{n}$ представляет вероятность того, что случайно выбранная система находится в состоянии $\Phi _{n}$. В отличие от случая линейной комбинации каждая система находится в определенном собственном состоянии.

Ожидаемое значение ${\langle A\rangle }_{\sigma }$ наблюдаемой A — это среднее статистическое измеренных значений наблюдаемой. Именно это среднее значение и распределение вероятностей предсказываются физическими теориями.

Не существует состояния, которое одновременно было бы собственным состоянием для всех наблюдаемых. Например, мы не можем подготовить состояние, в котором как измерение положения Q ( t ) , так и измерение импульса P ( t ) (одновременно t точно известны ); по крайней мере один из них будет иметь диапазон возможных значений. В этом состоит содержание соотношения неопределенностей Гейзенберга .

Более того, в отличие от классической механики, при измерении системы неизбежно происходит изменение ее состояния . Точнее: после измерения наблюдаемой A система будет находиться в собственном состоянии A ; таким образом, состояние изменилось, если только система еще не находилась в этом собственном состоянии. Это выражает своего рода логическую последовательность: если мы измеряем А дважды в одном и том же эксперименте, причем измерения являются прямыми последовательными во времени, тогда они дадут те же результаты. Однако это имеет некоторые странные последствия.

Рассмотрим две несовместимые наблюдаемые , A и B , где A более раннему, чем B. соответствует измерению , система находится в собственном состоянии B. Предположим, что в начале эксперимента Если мы измеряем только B , все серии эксперимента дадут одинаковый результат.Если мы сначала измеряем A , а затем B в одном и том же эксперименте, система перейдет в собственное состояние A после первого измерения, и мы обычно заметим, что результаты B являются статистическими. Таким образом: Квантово-механические измерения влияют друг на друга , и важен порядок, в котором они выполняются.

Другая особенность квантовых состояний становится актуальной, если мы рассмотрим физическую систему, состоящую из множества подсистем; например, эксперимент с двумя частицами, а не с одной. Квантовая физика допускает определенные состояния, называемые запутанными состояниями , которые демонстрируют определенные статистические корреляции между измерениями двух частиц, которые не могут быть объяснены классической теорией. Подробнее см. запутанность . Эти запутанные состояния приводят к экспериментально проверяемым свойствам ( теорема Белла ).которые позволяют нам различать квантовую теорию и альтернативные классические (неквантовые) модели.

Изображение Шредингера

Можно считать наблюдаемые зависящими от времени, тогда как состояние σ было зафиксировано один раз в начале эксперимента. Этот подход называется картиной Гейзенберга . (Этот подход был использован в более поздней части обсуждения выше, с изменяющимися во времени наблюдаемыми P ( t ) , Q ( t ) .) Можно, эквивалентно, рассматривать наблюдаемые как фиксированные, в то время как состояние системы зависит от времени ; это известно как картина Шрёдингера . (Этот подход был использован в предыдущей части обсуждения выше, с изменяющимся во времени состоянием. ${\textstyle |\Psi (t)\rangle =\sum _{n}C_{n}(t)|\Phi _{n}\rangle }$.) Концептуально (и математически) эти два подхода эквивалентны; выбор одного из них является вопросом соглашения.

Обе точки зрения используются в квантовой теории. В то время как нерелятивистская квантовая механика обычно формулируется в терминах картины Шредингера, картина Гейзенберга часто предпочтительна в релятивистском контексте, то есть для квантовой теории поля . Сравните с картиной Дирака .

Формализм в квантовой физике

Смотрите также: Математическая формулировка квантовой механики.

как лучи в комплексном гильбертовом

См. Также: Теорема Вигнера § Лучи и лучевое пространство.

Квантовая физика чаще всего формулируется в терминах линейной алгебры следующим образом. Любая данная система отождествляется с некоторым конечно- или бесконечномерным гильбертовым пространством . Чистые состояния соответствуют векторам с нормой 1. Таким образом, набор всех чистых состояний соответствует единичной сфере в гильбертовом пространстве, поскольку единичная сфера определяется как набор всех векторов с нормой 1.

Умножение чистого состояния на скаляр физически несущественно (пока состояние рассматривается само по себе). Если вектор в комплексном гильбертовом пространстве $H$ можно получить из другого вектора путем умножения на некоторое ненулевое комплексное число, два вектора в $H$ говорят, что соответствуют одному и тому же лучу в проективном гильбертовом пространстве $\mathbf {P} (H)$ из $H$. слово луч Обратите внимание, что хотя используется , собственно говоря, точка проективного гильбертова пространства соответствует линии, проходящей через начало гильбертова пространства, а не полупрямой или лучу в геометрическом смысле .

Обозначение Бра-кет

Основная статья: Обозначение Бракета

В вычислениях в квантовой механике часто используются линейные операторы , скалярные произведения, двойственные пространства и эрмитово сопряжение . Чтобы сделать такие вычисления плавными и сделать ненужным (в некоторых контекстах) полное понимание лежащей в основе линейной алгебры, Поль Дирак изобрел нотацию для описания квантовых состояний, известную как нотация бра-кет . Хотя подробности этого выходят за рамки данной статьи, некоторые последствия этого таковы:

• Выражение, используемое для обозначения вектора состояния (который соответствует чистому квантовому состоянию), принимает вид $|\psi \rangle$ (где " $\psi$"можно заменить любыми другими символами, буквами, цифрами или даже словами). Это можно противопоставить обычным математическим обозначениям, где векторами обычно являются строчные латинские буквы, и из контекста ясно, что они действительно являются векторами. .
• Дирак определил два вида векторов, бра и кет , двойственных друг другу.
• Каждый кет $|\psi \rangle$ однозначно связан с так называемым бюстгальтером , обозначаемым $\langle \psi |$, что соответствует тому же физическому квантовому состоянию. Технически бюстгальтер является дополнением кету. Это элемент дуального пространства , связанный с кетом теоремой о представлении Рисса . В конечномерном пространстве с выбранным ортонормированным базисом запись $|\psi \rangle$ как вектор-столбец, $\langle \psi |$ — вектор-строка; чтобы получить его, просто возьмите транспонирование элементам и комплексное сопряжение по $|\psi \rangle$.
• Скалярные произведения (также называемые скобками ) пишутся так, чтобы рядом друг с другом выглядели бюстгальтер и кет: $\langle \psi _{1}|\psi _{2}\rangle$. (Фраза «бра-кет» должна напоминать слово «скоба».)

Вращение

Основная статья: Математическая формулировка квантовой механики § Спин

( угловой момент Такую же размерность имеет M · L ² · Т ⁻¹ ) как постоянная Планка и в квантовом масштабе ведет себя как дискретная степень свободы квантовой системы. Большинство частиц обладают своего рода собственным угловым моментом, который вообще не появляется в классической механике и возникает в результате релятивистского обобщения теории Дирака. Математически это описывается спинорами . В нерелятивистской квантовой механике групповые представления группы Ли для описания этой дополнительной свободы используются SU(2). Для данной частицы выбор представления (и, следовательно, диапазон возможных значений наблюдаемого спина) определяется неотрицательным числом S , которое в единицах приведенной постоянной Планка ħ является либо целым числом (0, 1, 2...) или полуцелое число (1/2, 3/2, 5/2...). Для массивной частицы со спином S ее квантовое число спина m всегда принимает одно из 2 S + 1 возможных значений в наборе

$$\{-S,-S+1,\ldots ,S-1,S\}$$

Как следствие, квантовое состояние частицы со спином описывается векторной волновой функцией со значениями в C ^{2 С +1} . Эквивалентно, она представлена ​​комплексной функцией четырех переменных: квантового числа к обычным трем непрерывным переменным (для положения в пространстве) добавляется одна дискретная переменная (для спина).

Многочастичные состояния

Дополнительная информация: Статистика частиц.

Квантовое состояние системы из N частиц, каждая из которых потенциально имеет спин, описывается комплексной функцией с четырьмя переменными на частицу, соответствующей 3 пространственным координатам и спину , например

$$|\psi (\mathbf {r} _{1},\,m_{1};\;\dots ;\;\mathbf {r} _{N},\,m_{N})\rangle .$$

Здесь спиновые переменные m _ν принимают значения из множества

$$\{-S_{\nu },\,-S_{\nu }+1,\,\ldots ,\,S_{\nu }-1,\,S_{\nu }\}$$

где $S_{\nu }$ – спин ν -й частицы. $S_{\nu }=0$ для частицы, не обладающей спином.

Обращение с идентичными частицами сильно различается для бозонов (частиц с целым спином) и фермионов (частиц с полуцелым спином). Вышеупомянутая N -частичная функция должна быть либо симметризована (в бозонном случае), либо антисимметризована (в фермионном случае) относительно числа частиц. Если не все N частиц одинаковы, но некоторые из них идентичны, то функцию необходимо (анти)симметризировать отдельно по переменным, соответствующим каждой группе одинаковых переменных, согласно ее статистике (бозонной или фермионной).

Электроны — это фермионы с S = 1/2 , фотоны (кванты света) — бозоны с S = 1 (хотя в вакууме они безмассовы и не могут быть описаны механикой Шрёдингера).

Когда симметризация или антисимметризация не нужны, N -частичные пространства состояний можно получить просто путем тензорного произведения одночастичных пространств, к чему мы вернемся позже.

Базисные состояния одночастичных систем

Как и в случае с любым гильбертовым пространством , если базис для гильбертова пространства системы выбран , то любой кет можно разложить как линейную комбинацию этих базисных элементов. Символически, учитывая базисные наборы $|{k_{i}}\rangle$, любой кет $|\psi \rangle$ можно написать

$$|\psi \rangle =\sum _{i}c_{i}|{k_{i}}\rangle$$

где c _i - комплексные числа . В физических терминах это описывается словами: $|\psi \rangle$ было выражено как квантовая суперпозиция состояний $|{k_{i}}\rangle$. Если базисные кеты выбраны ортонормированными ( как это часто бывает), то $c_{i}=\langle {k_{i}}|\psi \rangle$.

Стоит отметить одно свойство: нормализованные состояния $|\psi \rangle$ характеризуются

$$\langle \psi |\psi \rangle =1,$$

и для ортонормированного базиса это означает

$$\sum _{i}\left|c_{i}\right|^{2}=1.$$

Разложения такого типа играют важную роль в измерениях в квантовой механике. В частности, если $|{k_{i}}\rangle$ являются собственными состояниями (с собственными значениями k _i ) наблюдаемой величины, и эта наблюдаемая измеряется в нормализованном состоянии $|\psi \rangle$, то вероятность того, что результатом измерения будет k _i, равна | с _я | ² . (Условие нормализации, приведенное выше, требует, чтобы общая сумма вероятностей была равна единице.)

Особенно важным примером является позиционный базис , который представляет собой базис, состоящий из собственных состояний. $|\mathbf {r} \rangle$ с собственными значениями $\mathbf {r}$ наблюдаемой, которая соответствует положению измерения. Если эти собственные состояния невырождены (например, если система представляет собой одну бесспиновую частицу), то любой кет $|\psi \rangle$ связана с комплексной функцией трехмерного пространства

$$\psi (\mathbf {r} )\equiv \langle \mathbf {r} |\psi \rangle .$$

Эта функция называется волновой функцией, соответствующей $|\psi \rangle$. Как и в приведенном выше дискретном случае, вероятности плотность нахождения частицы в позиции $\mathbf {r}$ является $|\psi (\mathbf {r} )|^{2}$ и нормализованные государства имеют

$$\int d^{3}\mathbf {r} \,|\psi (\mathbf {r} )|^{2}=1.$$

С точки зрения непрерывного набора позиционных базисов $|\mathbf {r} \rangle$, государство $|\psi \rangle$ является:

$$|\psi \rangle =\int d^{3}\mathbf {r} \,\psi (\mathbf {r} )|\mathbf {r} \rangle .$$

Чистые состояния

Смотрите также: Разложение спектра (функциональный анализ) § Квантовая механика

Хотя чистые состояния тесно связаны, это не то же самое, что связанные состояния, принадлежащие чисто точечному спектру наблюдаемой без квантовой неопределенности. Говорят, что частица находится в связанном состоянии , если она все время остается локализованной в ограниченной области пространства. Чистое состояние $|\phi \rangle$ называется связанным состоянием тогда и только тогда, когда для каждого $\varepsilon >0$ есть компактный набор $K\subset \mathbb {R} ^{3}$ такой, что

$$\int _{K}|\phi (\mathbf {r} ,t)|^{2}\,\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} \geq 1-\varepsilon$$

для всех $t\in \mathbb {R}$. Интеграл представляет вероятность того, что частица находится в ограниченной области. $K$ в любое время $t$. Если вероятность остается сколь угодно близкой к $1$ тогда говорят, что частица остается в $K$.

чистых

Основная статья: Квантовая суперпозиция

Как упоминалось выше, квантовые состояния могут накладываться друг на друга . Если $|\alpha \rangle$ и $|\beta \rangle$ два кета, соответствующие квантовым состояниям, кет

$$c_{\alpha }|\alpha \rangle +c_{\beta }|\beta \rangle$$

— это другое квантовое состояние (возможно, не нормализованное). Обратите внимание, что как амплитуды, так и фазы ( аргументы ) $c_{\alpha }$ и $c_{\beta }$ будет влиять на результирующее квантовое состояние. Другими словами, например, хотя $|\psi \rangle$ и $e^{i\theta }|\psi \rangle$ (для реальных θ ) соответствуют одному и тому же физическому квантовому состоянию, они не взаимозаменяемы , поскольку $|\phi \rangle +|\psi \rangle$ и $|\phi \rangle +e^{i\theta }|\psi \rangle$ будет не соответствовать одному и тому же физическому состоянию для всех вариантов выбора $|\phi \rangle$. Однако, $|\phi \rangle +|\psi \rangle$ и $e^{i\theta }(|\phi \rangle +|\psi \rangle )$ будет соответствовать одному и тому же физическому состоянию. Иногда это описывают, говоря, что «глобальные» фазовые факторы нефизичны, а «относительные» фазовые факторы являются физическими и важными.

Одним из примеров суперпозиции является эксперимент с двумя щелями , в котором суперпозиция приводит к квантовой интерференции . Квантовое состояние двухщелевого эксперимента представляет собой суперпозицию двух однощелевых квантовых состояний, одно соответствует левой щели, а другое соответствует правой щели. В плоскости детектора относительная фаза этих двух однощелевых состояний зависит от разницы расстояний от двух щелей. В зависимости от этой относительной фазы интерференция в одних местах является конструктивной, а в других — разрушительной, создавая интерференционную картину. Мы можем сказать, что суперпозитивные состояния находятся в когерентной суперпозиции по аналогии с когерентностью в других волновых явлениях.

Другим примером важности относительной фазы в квантовой суперпозиции являются осцилляции Раби , где относительная фаза двух состояний изменяется во времени из-за уравнения Шрёдингера . В результате суперпозиция колеблется между двумя разными состояниями.

Смешанные состояния

Основная статья: Матрица плотности

Чистое квантовое состояние — это состояние, которое можно описать одним кет-вектором, как описано выше. Смешанное квантовое состояние — статистический ансамбль чистых состояний (см. квантовая статистическая механика ).

Смешанные состояния возникают в квантовой механике в двух различных ситуациях: во-первых, когда приготовление системы полностью не известно и, следовательно, приходится иметь дело со статистическим ансамблем возможных приготовлений; и во-вторых, когда кто-то хочет описать физическую систему, которая запутана с другой, поскольку ее состояние не может быть описано чистым состоянием. В первом случае теоретически может быть другой человек, который знает полную историю системы и, следовательно, описывает ту же систему как чистое состояние; в этом случае матрица плотности просто используется для представления ограниченных знаний о квантовом состоянии. Однако во втором случае существование квантовой запутанности теоретически препятствует существованию полных знаний о подсистеме, и ни один человек не может описать подсистему запутанной пары как чистое состояние.

Смешанные состояния неизбежно возникают из чистых состояний, когда для сложной квантовой системы $H_{1}\otimes H_{2}$ с запутанным состоянием на нем, часть $H_{2}$ недоступно наблюдателю. Состояние детали $H_{1}$ тогда выражается как частичный след по $H_{2}$.

Смешанное состояние невозможно описать одним кет-вектором. Вместо этого он описывается связанной с ним матрицей плотности (или оператором плотности ), обычно обозначаемой ρ . Матрицы плотности могут описывать как смешанные , так и чистые состояния, рассматривая их на одном уровне. Более того, смешанное квантовое состояние в данной квантовой системе, описываемой гильбертовым пространством $H$ всегда можно представить как частичный след чистого квантового состояния (называемого очисткой ) в более крупной двудольной системе. $H\otimes K$ для достаточно большого гильбертова пространства $K$.

Матрица плотности, описывающая смешанное состояние, определяется как оператор вида

$$\rho =\sum _{s}p_{s}|\psi _{s}\rangle \langle \psi _{s}|$$

где $p_{s}$ - доля ансамбля в каждом чистом состоянии $|\psi _{s}\rangle .$ Матрицу плотности можно рассматривать как способ использования одночастичного формализма для описания поведения многих подобных частиц путем задания распределения вероятностей (или ансамбля) состояний, в которых могут находиться эти частицы.

Простой критерий проверки того, описывает ли матрица плотности чистое или смешанное состояние, состоит в том, след ρ что ² равно 1, если состояние чистое, и меньше 1, если состояние смешанное. Другой, эквивалентный критерий, состоит в том, что энтропия фон Неймана равна 0 для чистого состояния и строго положительна для смешанного состояния.

Правила измерения в квантовой механике особенно просто сформулировать в терминах матриц плотности. Например, среднее по ансамблю ( математическое ожидание ) измерения, соответствующего наблюдаемой A, определяется выражением

$$\langle A\rangle =\sum _{s}p_{s}\langle \psi _{s}|A|\psi _{s}\rangle =\sum _{s}\sum _{i}p_{s}a_{i}|\langle \alpha _{i}|\psi _{s}\rangle |^{2}=\operatorname {tr} (\rho A)$$

где $|\alpha _{i}\rangle$ и $a_{i}$ являются собственными значениями и собственными значениями соответственно для оператора A , а « tr » обозначает след. Важно отметить, что имеют место два типа усреднения, один из которых представляет собой взвешенную квантовую суперпозицию над базисными кетами. $|\psi _{s}\rangle$ чистых состояний, а другое — статистическое (так сказать, некогерентное среднее с вероятностями ps ₎ этих состояний.

По словам Юджина Вигнера , концепцию смешения выдвинул Лев Ландау .

Математические обобщения

Состояния могут быть сформулированы в терминах наблюдаемых, а не в виде векторов в векторном пространстве. Это положительные нормированные линейные функционалы на C*-алгебре или иногда на других классах алгебр наблюдаемых. Для получения более подробной информации см. Состояние на C *-алгебре и конструкцию Гельфанда – Наймарка – Сигала .

См. также

• Атомный электронный переход
• сфера Блоха
• Состояние Гринбергера-Хорна-Цайлингера
• Основное состояние
• Введение в квантовую механику
• Теорема о запрете клонирования
• Ортонормированный базис
• Теорема PBR
• Квантовый гармонический осциллятор
• Квантовый логический вентиль
• Стационарное состояние
• Коллапс волновой функции
• штат W

Дальнейшее чтение

Концепция квантовых состояний, в частности содержание раздела «Формализм в квантовой физике» выше, рассматривается в большинстве стандартных учебников по квантовой механике.

Обсуждение концептуальных аспектов и сравнение с классическими состояниями см.:

• Ишам, Крис Дж (1995). Лекции по квантовой теории: математические и структурные основы . Издательство Имперского колледжа . ISBN  978-1-86094-001-9 .

Более подробное освещение математических аспектов см.:

• Браттели, Ола ; Робинсон, Дерек В. (1987). Операторные алгебры и квантовая статистическая механика 1 . Спрингер. ISBN  978-3-540-17093-8 . 2-е издание. В частности, см. гл. 2.3.

Обсуждение очистки смешанных квантовых состояний см. в главе 2 конспектов лекций Джона Прескилла для курса «Физика 219» в Калифорнийском технологическом институте.

Обсуждение геометрических аспектов см.:

• Бенгтссон I; Жичковский К (2006). Геометрия квантовых состояний . Кембридж: Издательство Кембриджского университета. , второе, исправленное издание (2017 г.)