Квантовое пространство-время

В математической физике концепция квантового пространства-времени является обобщением обычной концепции пространства-времени , в которой предполагается, что некоторые переменные, которые обычно коммутируют , не коммутируют и образуют другую алгебру Ли . Выбор этой алгебры по-прежнему варьируется от теории к теории.В результате этого изменения некоторые переменные, которые обычно являются непрерывными, могут стать дискретными.Часто только такие дискретные переменные называют «квантованными»; использование варьируется.

Идея квантового пространства-времени была предложена на заре квантовой теории Гейзенбергом и Иваненко как способ исключить бесконечности из квантовой теории поля.Зародыш идеи перешел от Гейзенберга к Рудольфу Пайерлсу , который заметил, что электроны в магнитном поле можно рассматривать как движущиеся в квантовом пространстве-времени, и к Роберту Оппенгеймеру , который передал ее Хартланду Снайдеру ,который опубликовал первый конкретный пример. Снайдера Алгебра Ли была упрощена К. Н. Янгом в том же году.

Обзор

Физическое пространство-время — это квантовое пространство-время, когда в квантовой механике переменные положения и импульса $x,p$ уже некоммутативны , подчиняются принципу неопределенности Гейзенберга и непрерывны.Из-за соотношений неопределенности Гейзенберга для исследования меньших расстояний требуется большая энергия.В конечном итоге, согласно теории гравитации, зондирующие частицы образуют чёрные дыры , которые разрушают то, что нужно было измерить. Процесс нельзя повторить, поэтому его нельзя считать измерением.Эта ограниченная измеримость заставила многих ожидать, что наша обычная картина непрерывного коммутативного пространства-времени нарушится на расстояниях планковского масштаба , если не раньше.

Опять же, ожидается, что физическое пространство-время будет квантовым, поскольку физические координаты уже немного некоммутативны.Астрономические координаты звезды изменяются гравитационными полями между нами и звездой, как при отклонении света Солнцем — одном из классических тестов общей теории относительности .Следовательно, координаты фактически зависят от переменных гравитационного поля.Согласно квантовым теориям гравитации, эти переменные поля не коммутируют;поэтому координаты, которые зависят от них, скорее всего, не коммутируют.

Оба аргумента основаны на чистой гравитации и квантовой теории и ограничивают измерение времени.единственной постоянной времени в чистой квантовой гравитации — временем Планка .Однако наши инструменты не являются чисто гравитационными, а состоят из частиц. Они могут установить более строгий и больший предел, чем планковское время.

Критерии

Квантовое пространство-время часто описывается математически с использованием некоммутативной геометрии Конна. квантовая геометрия или квантовые группы .

Любую некоммутативную алгебру, имеющую по крайней мере четыре генератора, можно интерпретировать как квантовое пространство-время, нобыли предложены следующие пожелания:

• Симметрии локальной группы Лоренца и группы Пуанкаре следует сохранить, возможно, в обобщенном виде. Их обобщение часто принимает форму квантовой группы , действующей на квантовую алгебру пространства-времени.
• Алгебра вполне могла бы возникнуть при эффективном описании эффектов квантовой гравитации в некотором режиме этой теории. Например, физический параметр $\lambda$, возможно, планковская длина , могла бы контролировать отклонение от коммутативного классического пространства-времени, так что обычное лоренцево пространство-время возникает как $\lambda \to 0$.
• В квантовой алгебре пространства-времени может существовать понятие квантового дифференциального исчисления , совместимое с (квантовой) симметрией и предпочтительно сводящееся к обычному дифференциальному исчислению как $\lambda \to 0$.

Это позволит использовать волновые уравнения для частиц и полей и облегчит предсказание экспериментальных отклонений от классической физики пространства-времени, которые затем можно будет проверить экспериментально.

• Алгебра Ли должна быть полупростой . Это облегчает формулировку конечной теории.

Модели

В 1990-х годах было обнаружено несколько моделей, более или менее отвечающих большинству вышеперечисленных критериев.

Модель бикросспродукта

Модель пространства-времени бикросспродукции была представлена ​​Шаном Маджидом и Анри Рюггом. и имеет соотношения алгебры Ли

$[x_{i},x_{j}]=0,\quad [x_{i},t]=i\lambda x_{i}$

для пространственных переменных $x_{i}$ и переменная времени $t$. Здесь $\lambda$ имеет измерения времени и поэтому ожидается, что оно будет чем-то вроде планковского времени. Группа Пуанкаре здесь соответственно деформируется, теперь уже до некоторой квантовой группы би-перекрестного произведения со следующими характерными особенностями.

Орбиты действия группы Лоренца на пространство импульсов при построении модели бикросспроизведения в единицах $\lambda ^{-1}$. Гиперболоиды с массовой оболочкой «сжаты» в цилиндр.

Генераторы импульса $p_{i}$ коммутируют между собой, но сложение импульсов, отраженное в структуре квантовой группы, деформируется (пространство импульсов становится неабелевой группой ). Между тем генераторы группы Лоренца сохраняют свои обычные отношения между собой, но действуют нелинейно в импульсном пространстве. Орбиты для этого действия изображены на рисунке в виде сечения $p_{0}$ против одного из $p_{i}$. Область на оболочке, описывающая частицы в верхнем центре изображения, обычно представляет собой гиперболоиды, но теперь они «сжаты» в цилиндр.

${\sqrt {p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+p_{3}^{2}}}<\lambda ^{-1}\,$

в упрощенных единицах. В результате Лоренц-усиливающий импульс никогда не увеличит его выше планковского импульса. Существование шкалы наибольшего импульса или шкалы наименьшего расстояния соответствует физической картине. Это сжатие происходит из-за нелинейности усиления Лоренца и является характерной особенностью квантовых групп с двойным произведением, известных с момента их появления в 1988 году. Некоторые физики называют модель бикросспроизведения двойной специальной теорией относительности , поскольку она устанавливает верхний предел как для скорости, так и для импульса.

Другим последствием сжатия является то, что распространение частиц деформируется, даже света, что приводит к переменной скорости света . Этот прогноз требует особого $p_{0},p_{i}$ быть физической энергией и пространственным импульсом (в отличие от какой-то другой их функции). Аргументы в пользу этой идентификации были предоставлены в 1999 году Джованни Амелино-Камелией и Маджидом. посредством изучения плоских волн для квантового дифференциального исчисления в модели. Они принимают форму

$e^{i\sum _{i}p_{i}x_{i}}e^{ip_{0}t}\,$

другими словами, форма, которая достаточно близка к классической, чтобы можно было правдоподобно поверить в такую ​​интерпретацию. На данный момент такой волновой анализ представляет собой лучшую надежду на получение физически проверяемых предсказаний модели.

До этой работы существовал ряд необоснованных заявлений о том, что предсказания на основе модели основаны исключительно на форме квантовой группы Пуанкаре. Были также претензии, основанные на более раннем $\kappa$-Квантовая группа Пуанкаре, введенная Юреком Лукьерским и его сотрудниками. который следует рассматривать как важного предшественника метода бикросс-произведения, хотя и без реального квантового пространства-времени и с различными предложенными генераторами, к которым приведенная выше картина не применима. Модель бикросспродукции пространства-времени также называется $\kappa$-деформированное пространство-время $\kappa =\lambda ^{-1}$.

q -Деформированное пространство-время

Эта модель была независимо представлена ​​командой работал под руководством Юлиуса Весса в 1990 году и Шана Маджида и его коллег над серией статей по плетеным матрицам, начавшейся годом позже. Точка зрения второго подхода заключается в том, что обычное пространство-время Минковского хорошо описывается с помощью матриц Паули как пространство эрмитовых матриц 2 x 2. В теории квантовых групп и использовании методов плетеных моноидальных категорий существует естественная q-версия этого определения, определенная здесь для действительных значений $q$ как «плетеная эрмитова матрица» генераторов и отношений

${\begin{pmatrix}\alpha &\beta \\\gamma &\delta \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\alpha &\beta \\\gamma &\delta \end{pmatrix}}^{\dagger },\quad \beta \alpha =q^{2}\alpha \beta ,\ [\alpha ,\delta ]=0,\ [\beta ,\gamma ]=(1-q^{-2})\alpha (\delta -\alpha ),\ [\delta ,\beta ]=(1-q^{-2})\alpha \beta$

Эти соотношения говорят, что генераторы коммутируют как $q\to 1$ тем самым восстанавливая обычное пространство Минковского. Можно работать с более привычными переменными $x,y,z,t$ как их линейные комбинации. В частности, время

$t={\text{Trace}}_{q}{\begin{pmatrix}\alpha &\beta \\\gamma &\delta \end{pmatrix}}=q\delta +q^{-1}\alpha$

задается естественным сплетенным следом матрицы и коммутирует с другими генераторами (поэтому эта модель сильно отличается от модели бикросс-произведения). Картина сплетенной матрицы также естественным образом приводит к величине

${\det }_{q}{\begin{pmatrix}\alpha &\beta \\\gamma &\delta \end{pmatrix}}=\alpha \delta -q^{2}\gamma \beta$

что как $q\to 1$ возвращает нам обычное расстояние Минковского (оно переводится как метрика в квантовой дифференциальной геометрии). Параметр $q=e^{\lambda }$ или $q=e^{i\lambda }$ является безразмерным и $\lambda$ Считается, что это отношение масштаба Планка и космологической длины. То есть есть указания на то, что эта модель относится к квантовой гравитации с ненулевой космологической постоянной , выбор $q$ в зависимости от того, положительное это или отрицательное. Здесь мы описали математически более понятный, но, возможно, менее физически обоснованный положительный случай.

Полное понимание этой модели требует (и одновременно с разработкой) полной теории «плетеной линейной алгебры» для таких пространств. Импульсное пространство теории представляет собой еще одну копию той же алгебры, и на нем имеется некая «скрученная добавка» импульса, выраженная как структура сплетенной алгебры Хопфа или квантовой группы в некоторой сплетенной моноидальной категории). Эта теория к 1993 году предоставила соответствующие $q$-деформированная группа Пуанкаре, порожденная такими перемещениями, и $q$-Преобразования Лоренца, завершающие интерпретацию пространства-времени как квантового.

В ходе этого процесса было обнаружено, что группу Пуанкаре необходимо не только деформировать, но и расширить, включив в нее расширения квантового пространства-времени. Чтобы такая теория была точной, нам нужно, чтобы все частицы в теории были безмассовыми, что согласуется с экспериментом, поскольку массы элементарных частиц действительно исчезающе малы по сравнению с планковской массой . Если современные представления в космологии верны, то эта модель более приемлема, но она значительно сложнее, и по этой причине ее физические предсказания еще предстоит разработать.

Нечеткая или спиновая модель пространства-времени

В современном использовании это относится к углового момента алгебре .

$[x_{1},x_{2}]=2i\lambda x_{3},\ [x_{2},x_{3}]=2i\lambda x_{1},\ [x_{3},x_{1}]=2i\lambda x_{2}$

знакомы из квантовой механики, но интерпретируются в этом контексте как координаты квантового пространства или пространства-времени. Эти соотношения были предложены Роджером Пенроузом в его самой ранней спиновых сетей теории пространства . Это игрушечная модель квантовой гравитации в трех измерениях пространства-времени (а не в физическом четырех) с евклидовой (а не физической сигнатурой Минковского). Было вновь предложено в этом контексте Герардус 'т Хоофт . Дальнейшее развитие, включая квантовое дифференциальное исчисление и действие определенного «квантового двойника» квантовой группы как деформированной евклидовой группы движений, было дано Маджидом и Э. Батистой.

Яркой особенностью некоммутативной геометрии здесь является то, что наименьшее ковариантное квантовое дифференциальное исчисление имеет одно измерение больше, чем ожидалось, а именно 4, что позволяет предположить, что вышеизложенное также можно рассматривать как пространственную часть 4-мерного квантового пространства-времени. Эту модель не следует путать с нечеткими сферами , которые представляют собой конечномерные матричные алгебры, которые можно рассматривать как сферы в пространстве-времени спиновой модели фиксированного радиуса.

Модель пространства

Квантовое пространство-время Хартланда Снайдера предполагает, что

$[x_{\mu },x_{\nu }]=iM_{\mu \nu }$

где $M_{\mu \nu }$ сгенерировать группу Лоренца. Это квантовое пространство-время и пространство-время Ч.Н. Янга влекут за собой радикальное объединение пространства-времени, энергии-импульса и углового момента.

Идея была возрождена в современном контексте Серджио Допличером , Клаусом Фреденхагеном и Джоном Робертсом в 1995 году. позволяя $M_{\mu \nu }$ просто рассматривать как некоторую функцию $x_{\mu }$ как определено вышеприведенным отношением, и любые отношения, связанные с ним, рассматриваются как отношения более высокого порядка между $x_{\mu }$. Симметрия Лоренца устроена так, чтобы индексы преобразовывались обычным образом, не деформируясь.

Еще более простой вариант этой модели — позволить $M$ здесь – числовой антисимметричный тензор, в контексте которого его обычно обозначают $\theta$, поэтому отношения $[x_{\mu },x_{\nu }]=i\theta _{\mu \nu }$. В четных размерах $D$, любая невырожденная такая тэта может быть преобразована к нормальной форме, в которой на самом деле это просто алгебра Гейзенберга , с той разницей, что переменные предлагаются как переменные пространства-времени. Это предложение какое-то время было довольно популярным из-за его привычной формы отношений и потому, что его аргументировали. что оно вытекает из теории открытых струн, приземляющихся на D-браны, см. некоммутативную квантовую теорию поля и плоскость Мойала . Однако эта D-брана живет в некоторых из высших измерений пространства-времени в теории, и, следовательно, теория струн считает не наше физическое пространство-время эффективно квантовым. Вы также должны в первую очередь подписаться на D-браны как на подход к квантовой гравитации. Даже если считать пространство-время квантовым, получить физические предсказания трудно, и одна из причин этого заключается в том, что если $\theta$ является тензором, то согласно размерному анализу он должен иметь размеры длины ${}^{2}$, и если предположить, что эта длина равна планковской длине, то обнаружить эффекты будет даже труднее, чем для других моделей.

Некоммутативные расширения пространства-времени

Хотя это и не квантовое пространство-время в вышеприведенном смысле, другое применение некоммутативной геометрии состоит в добавлении «некоммутативных дополнительных измерений» в каждую точку обычного пространства-времени. Вместо невидимых свернутых дополнительных измерений, как в теории струн, Ален Конн и его коллеги утверждали, что координатную алгебру этой дополнительной части следует заменить конечномерной некоммутативной алгеброй. При определенном разумном выборе этой алгебры, ее представления и расширенного оператора Дирака можно восстановить Стандартную модель элементарных частиц. С этой точки зрения различные виды частиц материи являются проявлениями геометрии в этих дополнительных некоммутативных направлениях. Первые работы Конна здесь датируются 1989 годом. но с тех пор значительно развился. Такой подход теоретически можно объединить с квантовым пространством-временем, как указано выше.

См. также

• Квантовая группа
• Квантовая геометрия
• Некоммутативная геометрия
• Квантовая гравитация
• Анабелева топология

Дальнейшее чтение

• Маджид, С. (1995), Основы теории квантовых групп , издательство Кембриджского университета.
• Д. Орити, изд. (2009), Подходы к квантовой гравитации , Издательство Кембриджского университета
• Конн, А .; Марколли, М. (2007), Некоммутативная геометрия, квантовые поля и мотивы , публикации коллоквиума
• Маджид, С.; Шроерс, Б.Дж. (2009), " $q$-Деформация и полудуализация в трехмерной квантовой гравитации», Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical , 42 (42): 425402 (40 стр.), Бибкод : 2009JPhA...42P5402M , doi : 10.1088/1751-8113/42/42/425402 , S2CID   17160062
• Р. П. Гримальди, Дискретная и комбинаторная математика: прикладное введение, 4-е изд. Аддисон-Уэсли 1999.
• Дж. Матоусек, Дж. Несетрил, Приглашение к дискретной математике. Издательство Оксфордского университета, 1998.
• Тейлор Э.Ф., Джон А. Уиллер, Физика пространства-времени, издатель WH Freeman, 1963.
• Хошбин-э-Хошназар, М.Р. (2013). «Энергия связи очень ранней Вселенной: отказ от Эйнштейна в пользу дискретизированного постулата с тремя торами. Предложение о происхождении темной энергии». Гравитация и космология . 19 (2): 106–113. Бибкод : 2013ГрКо...19..106К . дои : 10.1134/s0202289313020059 . S2CID   121288092 .

Внешние ссылки

• в журнале Plus Magazine о квантовой геометрии Статья Марианны Фрейбергер
• С. Маджид, изд. (2008), О пространстве и времени , Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-1-107-64168-6