Родившееся правило

Правило Борна — это постулат квантовой механики , который определяет вероятность того, что измерение квантовой системы даст заданный результат. ^[1]В своей простейшей форме он утверждает, что плотность вероятности системы обнаружения системы в данном состоянии при измерении пропорциональна квадрату амплитуды волновой функции в этом состоянии. Она была сформулирована и опубликована немецким физиком Максом Борном в июле 1926 года.

Подробности [ править ]

Правило Борна гласит, что наблюдаемая , измеренная в системе с нормированной волновой функцией $|\psi \rangle$ (см. обозначения Бракета ), соответствует самосопряжённому оператору $A$ которого спектр дискретен, если:

результат измерения будет одним из собственных значений $\lambda$ из $A$ , и
вероятность измерения данного собственного значения $\lambda _{i}$ будет равно $\langle \psi |P_{i}|\psi \rangle$ , где $P_{i}$ есть проекция на собственное пространство $A$ соответствующий $\lambda _{i}$ .

(В случае, когда собственное пространство

A

соответствующий

\lambda _{i}

является одномерным и натянут на нормализованный собственный вектор

|\lambda _{i}\rangle

,

P_{i}

равно

|\lambda _{i}\rangle \langle \lambda _{i}|

, поэтому вероятность

\langle \psi |P_{i}|\psi \rangle

равно

\langle \psi |\lambda _{i}\rangle \langle \lambda _{i}|\psi \rangle

. Поскольку комплексное число

\langle \lambda _{i}|\psi \rangle

известен как амплитуда вероятности того, что вектор состояния

|\psi \rangle

присваивает собственному вектору

|\lambda _{i}\rangle

, правило Борна принято описывать так: вероятность равна квадрату амплитуды (на самом деле амплитуда, умноженная на собственное комплексно-сопряженное число ). Эквивалентно, вероятность можно записать как

{\big |}\langle \lambda _{i}|\psi \rangle {\big |}^{2}

.)

В случае, когда спектр $A$ не является полностью дискретным, спектральная теорема доказывает существование некоторой проекционнозначной меры (ПВМ). $Q$ , спектральная мера $A$ . В этом случае:

вероятность того, что результат измерения лежит в измеримом множестве $M$ дан кем-то $\langle \psi |Q(M)|\psi \rangle$ .

Волновая функция $\psi$ для одиночной бесструктурной частицы в пространственном положении $(x,y,z)$ означает, что функция плотности вероятности $p$ для измерения положения частиц во времени $t_{0}$ является:

p(x,y,z,t_{0})=|\psi (x,y,z,t_{0})|^{2}.

В некоторых приложениях такая трактовка правила Борна обобщается с использованием мер с положительным операторным значением (POVM) . POVM — это мера , значения которой являются положительными полуопределенными операторами в гильбертовом пространстве . POVM являются обобщением измерений фон Неймана и, соответственно, квантовые измерения, описываемые POVM, являются обобщением квантовых измерений, описываемых самосопряженными наблюдаемыми. Грубо говоря, POVM по отношению к PVM — то же самое, что смешанное состояние по отношению к чистому состоянию . Смешанные состояния необходимы для определения состояния подсистемы более крупной системы (см. Очистка квантового состояния ); аналогично, POVM необходимы для описания воздействия на подсистему проективного измерения, выполненного в более крупной системе. POVM — это наиболее общий вид измерений в квантовой механике, который также может использоваться в квантовой теории поля . ^[2] Они широко используются в области квантовой информации .

В простейшем случае POVM с конечным числом элементов, действующих в конечномерном гильбертовом пространстве , POVM представляет собой набор положительных полуопределенных матриц. $\{F_{i}\}$ в гильбертовом пространстве ${\mathcal {H}}$ эта сумма равна единичной матрице : ^[3]^: 90

\sum _{i=1}^{n}F_{i}=I.

Элемент POVM $F_{i}$ связан с результатом измерения $i$ , такой, что вероятность его получения при измерении квантового состояния $\rho$ дан кем-то:

p(i)=\operatorname {tr} (\rho F_{i}),

где $\operatorname {tr}$ является оператором трассировки . Это POVM-версия правила Борна. Когда измеряемое квантовое состояние является чистым состоянием $|\psi \rangle$ эта формула сводится к:

p(i)=\operatorname {tr} {\big (}|\psi \rangle \langle \psi |F_{i}{\big )}=\langle \psi |F_{i}|\psi \rangle .

Правило Борна вместе с унитарностью оператора временной эволюции $e^{-i{\hat {H}}t}$ (или, что то же самое, гамильтониан ${\hat {H}}$ будучи эрмитовой ), подразумевает унитарность теории, которая считается необходимой для непротиворечивости. Например, унитарность гарантирует, что сумма вероятностей всех возможных результатов равна 1 (хотя это не единственный вариант выполнения этого конкретного требования). ^{[ нужны разъяснения ]}).

История [ править ]

Правило Борна было сформулировано Борном в статье 1926 года. ^[4] В этой статье Борн решает уравнение Шредингера для задачи рассеяния и, вдохновленный Альбертом Эйнштейном и вероятностным правилом Эйнштейна для фотоэлектрического эффекта , ^[5]в сноске заключает, что правило Борна дает единственно возможную интерпретацию решения. (В основной части статьи говорится, что амплитуда «даёт вероятность» [ bestimmt die Wahrscheinlichkeit ], а в сноске, добавленной в доказательство, говорится, что вероятность пропорциональна квадрату ее величины.) В 1954 году вместе с Вальтером Боте , Борн был удостоен Нобелевской премии по физике . За эту и другие работы ^[5] Джон фон Нейман обсудил применение спектральной теории к правилу Борна в своей книге 1932 года. ^[6]

из более принципов Вывод основных

Теорема Глисона показывает, что правило Борна можно вывести из обычного математического представления измерений в квантовой физике вместе с предположением о неконтекстуальности . Эндрю М. Глисон впервые доказал теорему в 1957 году: ^[7] вызвано вопросом, заданным Джорджем Макки . ^[8]^[9] Эта теорема имела историческое значение, поскольку она сыграла роль в демонстрации того, что широкие классы теорий скрытых переменных несовместимы с квантовой физикой. ^[10]

Несколько других исследователей также пытались вывести правило Борна из более фундаментальных принципов. был предложен ряд выводов В контексте многомировой интерпретации . К ним относится подход теории принятия решений, впервые предложенный Дэвидом Дойчем. ^[11] и позже разработан Хилари Гривз ^[12] и Дэвид Уоллес; ^[13] и «инвариантный» подход Войцеха Х. Зурека . ^[14] Однако эти доказательства подверглись критике как циклические. ^[15] В 2018 году подход, основанный на неопределенности самоопределения, был предложен Чарльзом Себенсом и Шоном М. Кэрроллом ; ^[16] это также подверглось критике. ^[17] Саймон Сондерс в 2021 году создал ветвь, посчитающую вывод правила Борна. Важнейшей особенностью этого подхода является определение ветвей так, чтобы все они имели одинаковую величину или 2-норму . Определенные таким образом отношения числа ветвей дают вероятности различных результатов измерения в соответствии с правилом Борна. ^[18]

В 2019 году Луис Масанес, Томас Галлей и Маркус Мюллер предложили вывод, основанный на постулатах, включая возможность оценки состояния. ^[19]^[20]

Также утверждалось, что теорию пилот-волны можно использовать для статистического вывода правила Борна, хотя это остается спорным. ^[21]

В рамках QBist -интерпретации квантовой теории правило Борна рассматривается как расширение нормативного принципа когерентности , который обеспечивает самосогласованность оценок вероятности по целому набору таких оценок. Можно показать, что агент, который думает, что он делает ставку на результаты измерений в достаточно квантовоподобной системе, но отказывается использовать правило Борна при размещении ставок, уязвим для голландской книги . ^[22]

Ссылки [ править ]

^ Временная эволюция квантовой системы полностью детерминирована согласно уравнению Шредингера . Именно благодаря правилу Борна вероятность входит в теорию.
^ Перес, Ашер ; Терно, Дэниел Р. (2004). «Квантовая информация и теория относительности». Обзоры современной физики . 76 (1): 93–123. arXiv : Quant-ph/0212023 . Бибкод : 2004РвМП...76...93П . дои : 10.1103/RevModPhys.76.93 . S2CID 7481797 .
^ Нильсен, Майкл А .; Чуанг, Исаак Л. (2000). Квантовые вычисления и квантовая информация (1-е изд.). Кембридж: Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-521-63503-5 . OCLC 634735192 .
^ Родился Макс (1926). «К квантовой механике столкновений». Журнал по физике . 37 (12): 863–867. Бибкод : 1926ZPhy...37..863B . дои : 10.1007/BF01397477 . S2CID 119896026 . Перепечатано как Родился Макс (1983). «К квантовой механике столкновений». В Уиллере, штат Джорджия ; Журек, WH (ред.). Квантовая теория и измерения . Издательство Принстонского университета. стр. 52–55. ISBN 978-0-691-08316-2 .
^ Перейти обратно: ^а ^б Родился Макс (11 декабря 1954 г.). «Статистическая интерпретация квантовой механики» (PDF) . www.nobelprize.org . nobelprize.org . Проверено 7 ноября 2018 г. И снова идея Эйнштейна дала мне преимущество. Он пытался сделать двойственность частиц (квантов света или фотонов) и волн понятной, интерпретируя квадрат амплитуд оптических волн как плотность вероятности появления фотонов. Это понятие можно сразу перенести на пси-функцию: |psi| ² должно представлять плотность вероятности для электронов (или других частиц).
^ Нойман (фон), Джон (1932). основы квантовой механики Математические Перевод Бейера, издательство Роберта Т. Принстонского университета (опубликовано в 1996 г.). ISBN 978-0691028934 .
^ Глисон, Эндрю М. (1957). «Меры на замкнутых подпространствах гильбертова пространства» . Математический журнал Университета Индианы . 6 (4): 885–893. дои : 10.1512/iumj.1957.6.56050 . МР 0096113 .
^ Макки, Джордж В. (1957). «Квантовая механика и гильбертово пространство». Американский математический ежемесячник . 64 (8П2): 45–57. дои : 10.1080/00029890.1957.11989120 . JSTOR 2308516 .
^ Чернофф, Пол Р. (ноябрь 2009 г.). «Энди Глисон и квантовая механика» (PDF) . Уведомления АМС . 56 (10): 1253–1259.
^ Мермин, Н. Дэвид (1 июля 1993 г.). «Скрытые переменные и две теоремы Джона Белла». Обзоры современной физики . 65 (3): 803–815. arXiv : 1802.10119 . Бибкод : 1993РвМП...65..803М . дои : 10.1103/RevModPhys.65.803 . S2CID 119546199 .
^ Дойч, Дэвид (8 августа 1999 г.). «Квантовая теория вероятностей и решений» . Труды Королевского общества А. 455 (1988): 3129–3137. arXiv : Quant-ph/9906015 . Бибкод : 1999RSPSA.455.3129D . дои : 10.1098/rspa.1999.0443 . S2CID 5217034 . Проверено 5 декабря 2022 г.
^ Гривз, Хилари (21 декабря 2006 г.). «Вероятность в интерпретации Эверетта» (PDF) . Философский компас . 2 (1): 109–128. дои : 10.1111/j.1747-9991.2006.00054.x . Проверено 6 декабря 2022 г.
^ Уоллес, Дэвид (2010). «Как доказать правило Борна». В Кенте, Адриан; Уоллес, Дэвид; Барретт, Джонатан; Сондерс, Саймон (ред.). Много миров? Эверетт, Квантовая теория и реальность . Издательство Оксфордского университета. стр. 227–263. arXiv : 0906.2718 . ISBN 978-0-191-61411-8 .
^ Журек, Войцех Х. (25 мая 2005 г.). «Вероятности из запутанности, правило Борна из неизменности» . Физический обзор А. 71 : 052105. arXiv : quant-ph/0405161 . doi : 10.1103/PhysRevA.71.052105 . Проверено 6 декабря 2022 г.
^ Ландсман, Н.П. (2008). «Правило Борна и его интерпретация» (PDF) . В Вайнерт, Ф.; Хентшель, К.; Гринбергер, Д.; Фалькенбург, Б. (ред.). Сборник квантовой физики . Спрингер. ISBN 978-3-540-70622-9 . Вывод, по-видимому, таков, что общепринятого вывода правила Борна до сих пор не дано, но это не означает, что такой вывод в принципе невозможен.
^ Себенс, Чарльз Т.; Кэрролл, Шон М. (март 2018 г.). «Самоопределяющаяся неопределенность и происхождение вероятности в эвереттовской квантовой механике» . Британский журнал философии науки . 69 (1): 25–74. arXiv : 1405.7577 . дои : 10.1093/bjps/axw004 .
^ Вайдман, Лев (2020). «Выводы правила Борна» (PDF) . Квант, Вероятность, Логика . Иерусалимские исследования в области философии и истории науки. Спрингер. стр. 567–584. дои : 10.1007/978-3-030-34316-3_26 . ISBN 978-3-030-34315-6 . S2CID 156046920 .
^ Сондерс, Саймон (24 ноября 2021 г.). «Подсчет ветвей в интерпретации Эверетта квантовой механики». Труды Королевского общества А. 477 (2255): 1–22. arXiv : 2201.06087 . Бибкод : 2021RSPSA.47710600S . дои : 10.1098/rspa.2021.0600 . S2CID 244491576 .
^ Масанес, Луис; Галлей, Томас; Мюллер, Маркус (2019). «Постулаты измерения квантовой механики функционально избыточны» . Природные коммуникации . 10 (1): 1361. arXiv : 1811.11060 . Бибкод : 2019NatCo..10.1361M . дои : 10.1038/s41467-019-09348-x . ПМК 6434053 . ПМИД 30911009 .
^ Болл, Филип (13 февраля 2019 г.). «Таинственное квантовое правило, восстановленное с нуля» . Журнал Кванта . Архивировано из оригинала 13 февраля 2019 г.
^ Гольдштейн, Шелдон (2017). «Бомовская механика» . В Залте, Эдвард Н. (ред.). Стэнфордская энциклопедия философии . Лаборатория метафизических исследований Стэнфордского университета.
^ ДеБрота, Джон Б.; Фукс, Кристофер А.; Пиенаар, Жак Л.; Стейси, Блейк С. (2021). «Правило Борна как квантовое расширение байесовской когерентности». Физ. Преподобный А. 104 (2). 022207.arXiv : 2012.14397 . Бибкод : 2021PhRvA.104b2207D . дои : 10.1103/PhysRevA.104.022207 .

Внешние ссылки [ править ]

Квантовая механика не в опасности: физики экспериментально подтверждают ключевой принцип десятилетней давности ScienceDaily (23 июля 2010 г.)

[1] Временная эволюция квантовой системы полностью детерминирована согласно уравнению Шредингера . Именно благодаря правилу Борна вероятность входит в теорию.

[2] Перес, Ашер ; Терно, Дэниел Р. (2004). «Квантовая информация и теория относительности». Обзоры современной физики . 76 (1): 93–123. arXiv : Quant-ph/0212023 . Бибкод : 2004РвМП...76...93П . дои : 10.1103/RevModPhys.76.93 . S2CID 7481797 .

[mike_ike-3] Нильсен, Майкл А .; Чуанг, Исаак Л. (2000). Квантовые вычисления и квантовая информация (1-е изд.). Кембридж: Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-521-63503-5 . OCLC 634735192 .

[Zeitschrift-4] Родился Макс (1926). «К квантовой механике столкновений». Журнал по физике . 37 (12): 863–867. Бибкод : 1926ZPhy...37..863B . дои : 10.1007/BF01397477 . S2CID 119896026 . Перепечатано как Родился Макс (1983). «К квантовой механике столкновений». В Уиллере, штат Джорджия ; Журек, WH (ред.). Квантовая теория и измерения . Издательство Принстонского университета. стр. 52–55. ISBN 978-0-691-08316-2 .

[Nobel-5] Перейти обратно: ^а ^б Родился Макс (11 декабря 1954 г.). «Статистическая интерпретация квантовой механики» (PDF) . www.nobelprize.org . nobelprize.org . Проверено 7 ноября 2018 г. И снова идея Эйнштейна дала мне преимущество. Он пытался сделать двойственность частиц (квантов света или фотонов) и волн понятной, интерпретируя квадрат амплитуд оптических волн как плотность вероятности появления фотонов. Это понятие можно сразу перенести на пси-функцию: |psi| ² должно представлять плотность вероятности для электронов (или других частиц).

[Grundlagen-6] Нойман (фон), Джон (1932). основы квантовой механики Математические Перевод Бейера, издательство Роберта Т. Принстонского университета (опубликовано в 1996 г.). ISBN 978-0691028934 .

[gleason1957-7] Глисон, Эндрю М. (1957). «Меры на замкнутых подпространствах гильбертова пространства» . Математический журнал Университета Индианы . 6 (4): 885–893. дои : 10.1512/iumj.1957.6.56050 . МР 0096113 .

[8] Макки, Джордж В. (1957). «Квантовая механика и гильбертово пространство». Американский математический ежемесячник . 64 (8П2): 45–57. дои : 10.1080/00029890.1957.11989120 . JSTOR 2308516 .

[chernoff2009-9] Чернофф, Пол Р. (ноябрь 2009 г.). «Энди Глисон и квантовая механика» (PDF) . Уведомления АМС . 56 (10): 1253–1259.

[mermin1993-10] Мермин, Н. Дэвид (1 июля 1993 г.). «Скрытые переменные и две теоремы Джона Белла». Обзоры современной физики . 65 (3): 803–815. arXiv : 1802.10119 . Бибкод : 1993РвМП...65..803М . дои : 10.1103/RevModPhys.65.803 . S2CID 119546199 .

[11] Дойч, Дэвид (8 августа 1999 г.). «Квантовая теория вероятностей и решений» . Труды Королевского общества А. 455 (1988): 3129–3137. arXiv : Quant-ph/9906015 . Бибкод : 1999RSPSA.455.3129D . дои : 10.1098/rspa.1999.0443 . S2CID 5217034 . Проверено 5 декабря 2022 г.

[12] Гривз, Хилари (21 декабря 2006 г.). «Вероятность в интерпретации Эверетта» (PDF) . Философский компас . 2 (1): 109–128. дои : 10.1111/j.1747-9991.2006.00054.x . Проверено 6 декабря 2022 г.

[13] Уоллес, Дэвид (2010). «Как доказать правило Борна». В Кенте, Адриан; Уоллес, Дэвид; Барретт, Джонатан; Сондерс, Саймон (ред.). Много миров? Эверетт, Квантовая теория и реальность . Издательство Оксфордского университета. стр. 227–263. arXiv : 0906.2718 . ISBN 978-0-191-61411-8 .

[14] Журек, Войцех Х. (25 мая 2005 г.). «Вероятности из запутанности, правило Борна из неизменности» . Физический обзор А. 71 : 052105. arXiv : quant-ph/0405161 . doi : 10.1103/PhysRevA.71.052105 . Проверено 6 декабря 2022 г.

[15] Ландсман, Н.П. (2008). «Правило Борна и его интерпретация» (PDF) . В Вайнерт, Ф.; Хентшель, К.; Гринбергер, Д.; Фалькенбург, Б. (ред.). Сборник квантовой физики . Спрингер. ISBN 978-3-540-70622-9 . Вывод, по-видимому, таков, что общепринятого вывода правила Борна до сих пор не дано, но это не означает, что такой вывод в принципе невозможен.

[16] Себенс, Чарльз Т.; Кэрролл, Шон М. (март 2018 г.). «Самоопределяющаяся неопределенность и происхождение вероятности в эвереттовской квантовой механике» . Британский журнал философии науки . 69 (1): 25–74. arXiv : 1405.7577 . дои : 10.1093/bjps/axw004 .

[17] Вайдман, Лев (2020). «Выводы правила Борна» (PDF) . Квант, Вероятность, Логика . Иерусалимские исследования в области философии и истории науки. Спрингер. стр. 567–584. дои : 10.1007/978-3-030-34316-3_26 . ISBN 978-3-030-34315-6 . S2CID 156046920 .

[BranchCounting-18] Сондерс, Саймон (24 ноября 2021 г.). «Подсчет ветвей в интерпретации Эверетта квантовой механики». Труды Королевского общества А. 477 (2255): 1–22. arXiv : 2201.06087 . Бибкод : 2021RSPSA.47710600S . дои : 10.1098/rspa.2021.0600 . S2CID 244491576 .

[19] Масанес, Луис; Галлей, Томас; Мюллер, Маркус (2019). «Постулаты измерения квантовой механики функционально избыточны» . Природные коммуникации . 10 (1): 1361. arXiv : 1811.11060 . Бибкод : 2019NatCo..10.1361M . дои : 10.1038/s41467-019-09348-x . ПМК 6434053 . ПМИД 30911009 .

[20] Болл, Филип (13 февраля 2019 г.). «Таинственное квантовое правило, восстановленное с нуля» . Журнал Кванта . Архивировано из оригинала 13 февраля 2019 г.

[21] Гольдштейн, Шелдон (2017). «Бомовская механика» . В Залте, Эдвард Н. (ред.). Стэнфордская энциклопедия философии . Лаборатория метафизических исследований Стэнфордского университета.

[22] ДеБрота, Джон Б.; Фукс, Кристофер А.; Пиенаар, Жак Л.; Стейси, Блейк С. (2021). «Правило Борна как квантовое расширение байесовской когерентности». Физ. Преподобный А. 104 (2). 022207.arXiv : 2012.14397 . Бибкод : 2021PhRvA.104b2207D . дои : 10.1103/PhysRevA.104.022207 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

v т Это Квантовая механика
Background	Introduction History Timeline Classical mechanics Old quantum theory Glossary
Fundamentals	Born rule Bra–ket notation Complementarity Density matrix Energy level Ground state Excited state Degenerate levels Zero-point energy Entanglement Hamiltonian Interference Decoherence Measurement Nonlocality Quantum state Superposition Tunnelling Scattering theory Symmetry in quantum mechanics Uncertainty Wave function Collapse Wave–particle duality
Formulations	Formulations Heisenberg Interaction Matrix mechanics Schrödinger Path integral formulation Phase space
Equations	Dirac Klein–Gordon Pauli Rydberg Schrödinger
Interpretations	Bayesian Consistent histories Copenhagen de Broglie–Bohm Ensemble Hidden-variable Local Superdeterminism Many-worlds Objective collapse Quantum logic Relational Transactional Von Neumann–Wigner
Experiments	Bell test Davisson–Germer Delayed-choice quantum eraser Double-slit Franck–Hertz Mach–Zehnder interferometer Elitzur–Vaidman Popper Quantum eraser Stern–Gerlach Wheeler's delayed choice
Science	Quantum biology Quantum chemistry Quantum chaos Quantum cosmology Quantum differential calculus Quantum dynamics Quantum geometry Quantum measurement problem Quantum mind Quantum stochastic calculus Quantum spacetime
Technology	Quantum algorithms Quantum amplifier Quantum bus Quantum cellular automata Quantum finite automata Quantum channel Quantum circuit Quantum complexity theory Quantum computing Timeline Quantum cryptography Quantum electronics Quantum error correction Quantum imaging Quantum image processing Quantum information Quantum key distribution Quantum logic Quantum logic gates Quantum machine Quantum machine learning Quantum metamaterial Quantum metrology Quantum network Quantum neural network Quantum optics Quantum programming Quantum sensing Quantum simulator Quantum teleportation
Extensions	Quantum fluctuation Casimir effect Quantum statistical mechanics Quantum field theory History Quantum gravity Relativistic quantum mechanics
Related	Schrödinger's cat in popular culture Wigner's friend EPR paradox Quantum mysticism
Category