Картина Шрёдингера

В физике картина Шредингера или представление Шрёдингера — это формулировка квантовой механики , в которой векторы состояния изменяются во времени, но операторы (наблюдаемые и другие) в основном постоянны по отношению ко времени (исключением является гамильтониан, который может измениться, если потенциал $V$ изменения). Это отличается от картины Гейзенберга , которая сохраняет состояния постоянными, в то время как наблюдаемые изменяются во времени, и от картины взаимодействия, в которой и состояния, и наблюдаемые изменяются во времени. Картины Шредингера и Гейзенберга связаны между собой активными и пассивными преобразованиями , и коммутационные отношения между операторами сохраняются при переходе между двумя картинками.

Согласно картине Шрёдингера , состояние системы меняется со временем. Эволюция замкнутой квантовой системы осуществляется с помощью унитарного оператора — оператора эволюции во времени . Для временной эволюции вектора состояния $|\psi (t_{0})\rangle$ в момент времени t ₀ к вектору состояния $|\psi (t)\rangle$ в момент времени t оператор временной эволюции обычно записывается $U(t,t_{0})$, и у одного есть

$|\psi (t)\rangle =U(t,t_{0})|\psi (t_{0})\rangle .$

В случае, когда гамильтониан H системы не меняется со временем, оператор временной эволюции имеет вид

$U(t,t_{0})=e^{-iH\cdot (t-t_{0})/\hbar },$

где показатель степени оценивается через ряд Тейлора .

Картина Шрёдингера полезна при работе с независимым от времени гамильтонианом H ; то есть, $\partial _{t}H=0$.

Фон

В элементарной квантовой механике состояние квантовомеханической системы представлено комплексной волновой функцией ψ ( x , t ) . Более абстрактно, состояние может быть представлено как вектор состояния или ket . $|\psi \rangle$. Этот кет является элементом гильбертова пространства , векторного пространства, содержащего все возможные состояния системы. Квантово-механический оператор — это функция, принимающая кет $|\psi \rangle$ и возвращает какой-то другой кет $|\psi '\rangle$.

Различия между представлениями Шредингера и Гейзенберга о квантовой механике заключаются в том, как обращаться с системами, которые развиваются во времени: зависящая от времени природа системы должна выражаться в некоторой комбинации векторов состояния и операторов. Например, квантовый гармонический осциллятор может находиться в состоянии $|\psi \rangle$ для которого математическое ожидание импульса, $\langle \psi |{\hat {p}}|\psi \rangle$, колеблется синусоидально во времени. Тогда можно задаться вопросом, должно ли это синусоидальное колебание отражаться на векторе состояния. $|\psi \rangle$, оператор импульса ${\hat {p}}$или и то, и другое. Все три варианта действительны; первый дает картину Шредингера, второй — картину Гейзенберга, а третий — картину взаимодействия.

Оператор временной эволюции

Определение

Оператор временной эволюции создавая кет в какой - _момент то другой _{U (t, t0) определяется как оператор, который действует на кет в момент времени t0,} времени t : $$|\psi (t)\rangle =U(t,t_{0})|\psi (t_{0})\rangle .$$

Для бюстгальтеров , $$\langle \psi (t)|=\langle \psi (t_{0})|U^{\dagger }(t,t_{0}).$$

Характеристики

Унитарность

Оператор временной эволюции должен быть унитарным . Ибо норма государственного кет не должна меняться со временем. То есть, $$\langle \psi (t)|\psi (t)\rangle =\langle \psi (t_{0})|U^{\dagger }(t,t_{0})U(t,t_{0})|\psi (t_{0})\rangle =\langle \psi (t_{0})|\psi (t_{0})\rangle .$$ Поэтому, $$U^{\dagger }(t,t_{0})U(t,t_{0})=I.$$

Личность

Когда t = t0 _, , U является тождественным оператором поскольку $$|\psi (t_{0})\rangle =U(t_{0},t_{0})|\psi (t_{0})\rangle .$$

Закрытие

Временную эволюцию от t ₀ до t можно рассматривать как двухэтапную временную эволюцию: сначала от t ₀ до промежуточного момента t ₁ , а затем от t ₁ до конечного момента t . Поэтому, $$U(t,t_{0})=U(t,t_{1})U(t_{1},t_{0}).$$

Дифференциальное уравнение для оператора эволюции во времени

Мы опускаем индекс t ₀ в операторе временной эволюции, приняв соглашение, что t ₀ = 0, и записываем его как U ( t ). Шрёдингера Уравнение ​ $$i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi (t)\rangle =H|\psi (t)\rangle ,$$ где H — гамильтониан . Теперь, используя оператор временной эволюции U, запишем $|\psi (t)\rangle =U(t)|\psi (0)\rangle$, $$i\hbar {\partial \over \partial t}U(t)|\psi (0)\rangle =HU(t)|\psi (0)\rangle .$$

С $|\psi (0)\rangle$ является постоянным кетом (состояние кет при t = 0 ), и поскольку приведенное выше уравнение верно для любого постоянного кет в гильбертовом пространстве, оператор эволюции во времени должен подчиняться уравнению $$i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}U(t)=HU(t).$$

Если гамильтониан не зависит от времени, решение приведенного выше уравнения будет $$U(t)=e^{-iHt/\hbar }.$$

Поскольку H является оператором, это экспоненциальное выражение должно быть оценено через его ряд Тейлора : $$e^{-iHt/\hbar }=1-{\frac {iHt}{\hbar }}-{\frac {1}{2}}\left({\frac {Ht}{\hbar }}\right)^{2}+\cdots .$$

Поэтому, $$|\psi (t)\rangle =e^{-iHt/\hbar }|\psi (0)\rangle .$$

Обратите внимание, что $|\psi (0)\rangle$ является произвольным кетом. Однако, если исходный кет является собственным состоянием гамильтониана с собственным значением E : $$|\psi (t)\rangle =e^{-iEt/\hbar }|\psi (0)\rangle .$$

Собственные состояния гамильтониана являются стационарными состояниями : они приобретают общий фазовый коэффициент только по мере развития со временем.

Если гамильтониан зависит от времени, но в разное время гамильтонианы коммутируют, то оператор временной эволюции можно записать как $$U(t)=\exp \left({-{\frac {i}{\hbar }}\int _{0}^{t}H(t')\,dt'}\right),$$

Если гамильтониан зависит от времени, но гамильтонианы в разные моменты времени не коммутируют, то оператор временной эволюции можно записать в виде $$U(t)=\mathrm {T} \exp \left({-{\frac {i}{\hbar }}\int _{0}^{t}H(t')\,dt'}\right),$$ где T — оператор временного порядка , который иногда называют рядом Дайсона , в честь Фримена Дайсона .

Альтернативой картине Шредингера является переключение на вращающуюся систему отсчета, которая сама вращается пропагатором. Поскольку волнообразное вращение теперь принимает на себя сама система отсчета, функция невозмущенного состояния кажется действительно статической. Это фотография Гейзенберга .

Итоговое сравнение эволюции на всех картинках

Для независимого от времени гамильтониана , _HS где H _0,S — свободный гамильтониан,

Эволюция:	Картина ( )
	Шрёдингер (S)	Гейзенберг (H)	Взаимодействие (Я)
Кетское государство	$|\psi _{\rm {S}}(t)\rangle =e^{-iH_{\rm {S}}~t/\hbar }|\psi _{\rm {S}}(0)\rangle$	постоянный	$|\psi _{\rm {I}}(t)\rangle =e^{iH_{0,\mathrm {S} }~t/\hbar }|\psi _{\rm {S}}(t)\rangle$
наблюдаемый	постоянный	$A_{\rm {H}}(t)=e^{iH_{\rm {S}}~t/\hbar }A_{\rm {S}}e^{-iH_{\rm {S}}~t/\hbar }$	$A_{\rm {I}}(t)=e^{iH_{0,\mathrm {S} }~t/\hbar }A_{\rm {S}}e^{-iH_{0,\mathrm {S} }~t/\hbar }$
Матрица плотности	$\rho _{\rm {S}}(t)=e^{-iH_{\rm {S}}~t/\hbar }\rho _{\rm {S}}(0)e^{iH_{\rm {S}}~t/\hbar }$	постоянный	$\rho _{\rm {I}}(t)=e^{iH_{0,\mathrm {S} }~t/\hbar }\rho _{\rm {S}}(t)e^{-iH_{0,\mathrm {S} }~t/\hbar }$

См. также

• Уравнение Гамильтона – Якоби
• Картинка взаимодействия
• картина Гейзенберга
• Формулировка фазового пространства
• ПОВМ
• Математическая формулировка квантовой механики
• Функционал Шрёдингера

Ссылки

• Коэн-Таннуджи, Клод ; Бернар Диу; Фрэнк Лало (1977). Квантовая механика (Том первый) . Пэрис: Уайли. стр. 312–314. ISBN  0-471-16433-Х .
• Альберт Мессия , 1966. Квантовая механика (Том I), английский перевод с французского Г. М. Теммера. Северная Голландия, Джон Уайли и сыновья.
• Мерцбахер Э. , Квантовая механика (3-е изд., Джон Уайли, 1998), с. 430–1 ISBN   0-471-88702-1
• Л.Д. Ландау , Е.М. Лифшиц (1977). Квантовая механика: нерелятивистская теория . Том. 3 (3-е изд.). Пергамон Пресс . ISBN  978-0-08-020940-1 . Онлайн-копия
• Р. Шанкар (1994); Принципы квантовой механики , Пленум Пресс, ISBN   978-0-306-44790-7 .
• Джей Джей Сакураи (1993); Современная квантовая механика (пересмотренное издание), ISBN   978-0-201-53929-5 .