Формула Ридберга

Формула Ридберга в записи за ноябрь 1888 года.

В атомной физике формула Ридберга рассчитывает длины волн спектральных линий многих химических элементов . обобщение ряда Бальмера для всех атомных электронных переходов водорода Формула была первоначально представлена ​​как . Впервые это было эмпирически установлено в 1888 году шведским физиком Йоханнесом Ридбергом . затем теоретически Нильсом Бором в 1913 году, который использовал примитивную форму квантовой механики. Формула непосредственно обобщает уравнения, используемые для расчета длин волн спектрального ряда водорода .

История

В 1890 году Ридберг предложил формулу, описывающую связь между длинами волн в спектральных линиях щелочных металлов. Он заметил, что линии идут последовательно, и обнаружил, что можно упростить свои расчеты, используя волновое число (количество волн, занимающих единицу длины , равное 1/ λ , величине, обратной длине волны ) в качестве единицы измерения. Он сопоставил волновые числа ( n ) последовательных строк в каждой серии с последовательными целыми числами, которые представляли порядок строк в этой конкретной серии. Обнаружив, что полученные кривые имеют одинаковую форму, он искал единственную функцию, которая могла бы генерировать их все, если бы были вставлены соответствующие константы.

Сначала он попробовал формулу: $\textstyle n=n_{0}-{\frac {C_{0}}{m+m'}}$, где n — волновое число линии, n ₀ — предел серии, m — порядковый номер линии в серии, m ’ — константа, различная для разных серий, а C ₀ — универсальная константа. Это сработало не очень хорошо.

Ридберг пытался: $\textstyle n=n_{0}-{\frac {C_{0}}{\left(m+m'\right)^{2}}}$ когда он узнал о формуле Бальмера для спектра водорода $\textstyle \lambda ={hm^{2} \over m^{2}-4}$ В этом уравнении m — целое число, а h — константа (не путать с более поздней постоянной Планка ).

Поэтому Ридберг переписал формулу Бальмера в терминах волновых чисел, как $\textstyle n=n_{0}-{4n_{0} \over m^{2}}$.

Это позволило предположить, что формула Бальмера для водорода может быть частным случаем с $\textstyle m'=0$ и ${\text{C}}_{0}=4n_{0}$, где $\textstyle n_{0}={\frac {1}{h}}$, обратная константе Бальмера (эта константа h записана как B в статье об уравнении Бальмера , опять же, чтобы избежать путаницы с постоянной Планка).

Термин ${\text{C}}_{0}$ Оказалось, что это универсальная константа, общая для всех элементов, равная 4/ h . Эта константа теперь известна как константа Ридберга , а m ' известна как квантовый дефект .

Как подчеркивал Нильс Бор , выражение результатов в терминах волнового числа, а не длины волны, было ключом к открытию Ридберга. Фундаментальная роль волновых чисел была также подчеркнута комбинационным принципом Ридберга-Ритца 1908 года. Фундаментальная причина этого лежит в квантовой механике . Волновое число света пропорционально частоте $\textstyle {\frac {1}{\lambda }}={\frac {f}{c}}$, и, следовательно, также пропорционален энергии кванта света E . Таким образом, $\textstyle {\frac {1}{\lambda }}={\frac {E}{hc}}$ (в этой формуле h представляет собой постоянную Планка). Современное понимание состоит в том, что открытия Ридберга были отражением лежащей в основе простоты поведения спектральных линий с точки зрения фиксированных (квантованных) в энергии различий между электронными орбиталями в атомах. Классическое выражение формы спектральной серии, данное Ридбергом в 1888 году, не сопровождалось физическим объяснением. лежащего в основе спектральных рядов, которое дал Вальтер Ритц в Доквантовое объяснение механизма , 1908 году , заключалось в том, что атомные электроны ведут себя как магниты и что магниты могут вибрировать относительно атомного ядра (по крайней мере временно), создавая электромагнитное излучение. Нильса Бора но эта теория была заменена в 1913 году моделью атома .

константы

Опубликованная формула Ридберга была

$$\pm {\frac {n}{N_{0}}}={\frac {1}{(m_{1}+\mu _{1})^{2}}}-{\frac {1}{(m_{2}+\mu _{2})^{2}}}$$

где $n$ наблюдаемое волновое число, $N_{0}$ является константой для всех спектральных рядов и элементов, а остальные значения, $m_{1},\mu _{1},m_{2},\mu _{2}$ являются целыми числами, индексирующими различные строки. Когда Бор анализирует свою модель атома, он пишет

$$\nu ={\frac {2\pi ^{2}me^{4}}{h^{3}}}\left({\frac {1}{\tau _{2}^{2}}}-{\frac {1}{\tau _{1}^{2}}}\right)$$

где он использует частоту $\nu$ (пропорционально волновому числу). Таким образом, он смог вычислить значение эвристической константы Ридберга. $N_{0}$ из его теории атома и установил целые числа $\mu _{1}$ и $\mu _{2}$ до нуля. Эффект состоит в том, чтобы предсказать новые серии, соответствующие $\tau _{2}=1$ в крайнем ультрафиолете, неизвестном Ридбергу.

В концепции атома Бора целые числа Ридберга (и Бальмера) n представляют электронные орбитали на разных целочисленных расстояниях от атома. Таким образом, частота (или спектральная энергия), излучаемая при переходе от n ₁ к n _2, представляет собой энергию фотона, излучаемую или поглощаемую, когда электрон совершает прыжок с орбитали 1 на орбиталь 2.

Более поздние модели обнаружили, что значения n ₁ и n ₂ соответствуют главным квантовым числам двух орбиталей.

Для водорода

$${\frac {1}{\lambda _{\mathrm {vac} }}}=R_{\text{H}}\left({\frac {1}{n_{1}^{2}}}-{\frac {1}{n_{2}^{2}}}\right),$$

где

• $\lambda _{\mathrm {vac} }$ — длина волны электромагнитного излучения, испускаемого в вакууме ,
• $R_{\text{H}}$ — константа Ридберга для водорода, примерно 1,096 775 83 × 10 ⁷ м ⁻¹ ,
• $n_{1}$ - главное квантовое число энергетического уровня, а
• $n_{2}$ — главное квантовое число энергетического уровня атомного электронного перехода .

Примечание: здесь $n_{2}>n_{1}$

Установив $n_{1}$ до 1 и позволяю $n_{2}$ спектральные линии, известные как ряды Лаймана от 2 до бесконечности, таким же образом получаются , сходящиеся к 91 нм:

№ 1	№ 2	Имя	Сходимся к
1	2 – ∞	серия Лайман	91,13 нм ( УФ )
2	3 – ∞	серия Бальмера	364,51 нм ( видимый )
3	4 – ∞	серия Пашен	820,14 нм ( ИК )
4	5 – ∞	Серия брекеттов	1458,03 нм (дальний ИК)
5	6 – ∞	фунт серии	2278,17 нм (дальний ИК)
6	7 – ∞	Серия Хамфриса	3280,56 нм (дальний ИК)

Визуальное сравнение спектральных рядов водорода для n ₁ = 1 и n ₁ = 6 в логарифмическом масштабе.

Для любого водородоподобного элемента

Приведенную выше формулу можно расширить для использования с любыми водородоподобными химическими элементами с

$${\frac {1}{\lambda }}=RZ^{2}\left({\frac {1}{n_{1}^{2}}}-{\frac {1}{n_{2}^{2}}}\right),$$

где

• $\lambda$ длина волны (в вакууме ) излучаемого света,
• $R$ – постоянная Ридберга для этого элемента,
• $Z$ — атомный номер , т.е. количество протонов в атомном ядре этого элемента,
• $n_{1}$ — главное квантовое число нижнего энергетического уровня, а
• $n_{2}$ — главное квантовое число высшего энергетического уровня атомного электронного перехода .

Эту формулу можно напрямую применить только к водородоподобным , также называемым водородоподобными атомам химических элементов , т.е. к атомам, у которых только один электрон подвергается воздействию эффективного ядерного заряда (который легко оценить). Примеры включают: Он ⁺ , Что ²⁺ , Быть ³⁺ и т. д., когда в атоме не существует других электронов.

Но формула Ридберга также дает правильные длины волн для удаленных электронов, где эффективный заряд ядра можно оценить так же, как и для водорода, поскольку все ядерные заряды, кроме одного, экранируются другими электронами, а ядро ​​атома эффективный положительный заряд +1.

Наконец, с некоторыми изменениями (замена Z на Z − 1 и использование целых чисел 1 и 2 для n s, чтобы дать числовое значение 3/4 -линий, поскольку рассматриваемый переход представляет собой К-альфа - для разности их обратных квадратов), формула Ридберга дает правильные значения в частном случае К-альфа переход электрона с 1s-орбитали на 2p-орбиталь . Это аналогично переходу линии Лаймана-альфа для водорода и имеет тот же частотный коэффициент. Поскольку 2p-электрон не экранируется другими электронами атома от ядра, заряд ядра уменьшается только за счет единственного оставшегося 1s-электрона, в результате чего система фактически представляет собой водородный атом, но с уменьшенным ядерным зарядом Z - 1. раз. Таким образом, его частота представляет собой частоту водорода Лаймана-альфа, увеличенную в ( Z - 1) ² . Эта формула f = c / λ = (частота Лаймана-альфа) ⋅ ( Z − 1) ² исторически известен как закон Мозли (с добавлением коэффициента c для преобразования длины волны в частоту) и может использоваться для прогнозирования длин волн спектральных _{K α} линий рентгеновского излучения (K-альфа) химических элементов от алюминия до золота. См. биографию Генри Мозли, чтобы узнать об исторической важности этого закона, который был выведен эмпирически примерно в то же время, когда он был объяснен моделью Бора атома .

Для других спектральных переходов в многоэлектронных атомах формула Ридберга обычно дает неверные результаты, поскольку величина экранирования внутренних электронов для внешнеэлектронных переходов непостоянна и ее невозможно компенсировать простым способом, описанным выше. Поправка к формуле Ридберга для этих атомов известна как квантовый дефект .

См. также

• серия Бальмера
• Водородная линия
• Комбинационный принцип Ридберга – Ритца
• атом Бора
• Модель Бора – Зоммерфельда

Ссылки

• Саттон, Майк (июль 2004 г.). «Правильные цифры: одинокая борьба физика и химика XIX века Йоханнеса Ридберга». Химический мир . 1 (7): 38–41. ISSN   1473-7604 .
• Мартинсон, И.; Кертис, LJ (2005). «Янне Ридберг – его жизнь и творчество». Ядерные приборы и методы в физических исследованиях . Секция Б. 235 (1–4): 17–22. Бибкод : 2005НИМПБ.235...17М . CiteSeerX   10.1.1.602.6210 . дои : 10.1016/j.nimb.2005.03.137 .