Формулировка в фазовом пространстве

в фазовом пространстве Формулировка квантовой механики ставит переменные положения и импульса в равное положение в фазовом пространстве . Напротив, картина Шредингера использует представления положения или импульса (см. Также пространство положения и импульса ). Две ключевые особенности формулировки фазового пространства заключаются в том, что квантовое состояние описывается распределением квазивероятностей (вместо волновой функции , вектора состояния или матрицы плотности ), а операторное умножение заменяется звездным произведением .

Теория была полностью развита Хилбрандом Грёневолдом в 1946 году в его докторской диссертации. ^[1] и независимо от Джо Мойала , ^[2] каждый основан на более ранних идеях Германа Вейля ^[3] и Юджин Вигнер . ^[4]

Главное преимущество формулировки в фазовом пространстве состоит в том, что она делает квантовую механику максимально похожей на гамильтонову механику , избегая операторного формализма, тем самым «освобождая» квантование от «бремени» гильбертова пространства ». ^[5] Эта формулировка носит статистический характер и предлагает логические связи между квантовой механикой и классической статистической механикой , позволяя проводить естественное сравнение между ними (см. классический предел ). Квантовая механика в фазовом пространстве часто отдается предпочтение в некоторых квантовой оптики приложениях (см. Оптическое фазовое пространство ) или при изучении декогеренции и ряда специализированных технических проблем, хотя в остальном формализм реже используется в практических ситуациях. ^[6]

Концептуальные идеи, лежащие в основе развития квантовой механики в фазовом пространстве, разветвились на математические ответвления, такие как деформационное квантование Концевича (см. формулу квантования Концевича ) и некоммутативная геометрия .

Распределение в фазовом пространстве [ править ]

в фазовом пространстве $f (x, p)$ Распределение квантового состояния является квазивероятностным распределением. В формулировке фазового пространства распределение в фазовом пространстве можно рассматривать как фундаментальное, примитивное описание квантовой системы, без какой-либо ссылки на волновые функции или матрицы плотности. ^[7]

Существует несколько различных способов представления распределения, и все они взаимосвязаны. ^[8]^[9] Наиболее примечательным является Вигнера представление $W (x, p)$ , открытое первым. ^[4] Другие представления (приблизительно в порядке убывания распространенности в литературе) включают Глаубера-Сударшана P , ^[10]^[11] Из Q , ^[12] Представления Кирквуда–Рихачека, Мехты, Ривье и Борна–Джордана. ^[13]^[14] Эти альтернативы наиболее полезны, когда гамильтониан принимает определенную форму, например, нормальный порядок для P-представления Глаубера – Сударшана. Поскольку представление Вигнера является наиболее распространенным, в этой статье мы обычно будем придерживаться его, если не указано иное.

Распределение в фазовом пространстве обладает свойствами, подобными плотности вероятности в 2 n -мерном фазовом пространстве. Например, она имеет действительное значение , в отличие от обычно комплексной волновой функции. Мы можем понять вероятность попадания в интервал положений, например, путем интегрирования функции Вигнера по всем импульсам и по интервалу положений:

\operatorname {P} [a\leq X\leq b]=\int _{a}^{b}\int _{-\infty }^{\infty }W(x,p)\,dp\,dx.

Если $Â (x, p)$ является оператором, представляющим наблюдаемую, он может быть отображен в фазовое пространство как $A (x, p)$ посредством преобразования Вигнера . И наоборот, этот оператор может быть восстановлен преобразованием Вейля .

Среднее значение наблюдаемой относительно распределения в фазовом пространстве равно ^[2]^[15]

\langle {\hat {A}}\rangle =\int A(x,p)W(x,p)\,dp\,dx.

Однако следует предостеречь: несмотря на внешнее сходство, $W (x, p)$ не является настоящим совместным распределением вероятностей , поскольку области под ним не представляют собой взаимоисключающие состояния, как того требует третья аксиома теории вероятностей . Более того, оно может, вообще говоря, принимать отрицательные значения даже для чистых состояний, за единственным исключением (необязательно сжатых ) когерентных состояний , что нарушает первую аксиому .

Доказано, что области такого отрицательного значения «маленькие»: они не могут расширяться до компактных областей размером более нескольких $ħ$ и, следовательно, исчезают в классическом пределе . Они защищены принципом неопределенности , который не позволяет точно локализовать внутри областей фазового пространства, меньших $ħ$ , и, таким образом, делает такие «отрицательные вероятности» менее парадоксальными. Если левую часть уравнения следует интерпретировать как математическое ожидание в гильбертовом пространстве относительно оператора, то в контексте квантовой оптики это уравнение известно как теорема оптической эквивалентности . (Подробнее о свойствах и интерпретации функции Вигнера см. ее основную статью .)

Альтернативный подход к квантовой механике с использованием фазового пространства направлен на определение волновой функции (а не просто плотности квазивероятности) в фазовом пространстве, обычно с помощью преобразования Сигала-Баргмана . Чтобы быть совместимым с принципом неопределенности, волновая функция в фазовом пространстве не может быть произвольной функцией, иначе она может быть локализована в сколь угодно малой области фазового пространства. Скорее, преобразование Сигала – Баргмана является функцией голоморфной $x+ip$ . Существует плотность квазивероятности, связанная с волновой функцией в фазовом пространстве; это Хусими Q-представление волновой функции положения .

Звездный продукт [ править ]

Фундаментальным некоммутативным бинарным оператором в формулировке фазового пространства, который заменяет стандартный оператор умножения, является звездное произведение , представленное символом ★ . ^[1] Каждое представление распределения в фазовом пространстве имеет свой характерный звездный продукт. Для конкретности мы ограничим это обсуждение звездным произведением, соответствующим представлению Вигнера – Вейля.

Для удобства обозначений введем понятие левой и правой производных . Для пары функций f и g левая и правая производные определяются как

{\begin{aligned}f{\overset {_{\gets }}{\partial }}_{x}g&={\frac {\partial f}{\partial x}}\cdot g,\\f{\vec {\partial }}_{x}g&=f\cdot {\frac {\partial g}{\partial x}}.\end{aligned}}

Дифференциальное определение звездного продукта:

f\star g=f\,\exp {\left({\frac {i\hbar }{2}}\left({\overset {_{\gets }}{\partial }}_{x}{\vec {\partial }}_{p}-{\overset {_{\gets }}{\partial }}_{p}{\vec {\partial }}_{x}\right)\right)}g,

где аргумент показательной функции можно интерпретировать как степенной ряд .Дополнительные дифференциальные соотношения позволяют записать это через изменение аргументов f и g :

{\begin{aligned}(f\star g)(x,p)&=f\left(x+{\tfrac {i\hbar }{2}}{\vec {\partial }}_{p},p-{\tfrac {i\hbar }{2}}{\vec {\partial }}_{x}\right)\cdot g(x,p)\\&=f(x,p)\cdot g\left(x-{\tfrac {i\hbar }{2}}{\overset {_{\gets }}{\partial }}_{p},p+{\tfrac {i\hbar }{2}}{\overset {_{\gets }}{\partial }}_{x}\right)\\&=f\left(x+{\tfrac {i\hbar }{2}}{\vec {\partial }}_{p},p\right)\cdot g\left(x-{\tfrac {i\hbar }{2}}{\overset {_{\gets }}{\partial }}_{p},p\right)\\&=f\left(x,p-{\tfrac {i\hbar }{2}}{\vec {\partial }}_{x}\right)\cdot g\left(x,p+{\tfrac {i\hbar }{2}}{\overset {_{\gets }}{\partial }}_{x}\right).\end{aligned}}

Также возможно определить ★ -произведение в интегральной форме свертки: ^[16] по существу через преобразование Фурье :

(f\star g)(x,p)={\frac {1}{\pi ^{2}\hbar ^{2}}}\,\int f(x+x',p+p')\,g(x+x'',p+p'')\,\exp {\left({\tfrac {2i}{\hbar }}(x'p''-x''p')\right)}\,dx'dp'dx''dp''.

(Так, например, ^[7] Гауссианы составляют гиперболически :

\exp {\big (}{-a}(x^{2}+p^{2}){\big )}\star \exp {\big (}{-b}(x^{2}+p^{2}){\big )}={\frac {1}{1+\hbar ^{2}ab}}\exp \left(-{\frac {a+b}{1+\hbar ^{2}ab}}(x^{2}+p^{2})\right),

или

\delta (x)\star \delta (p)={\frac {2}{h}}\exp \left(2i{\frac {xp}{\hbar }}\right),

и т. д.)

энергии Распределения собственных состояний известны как звездные состояния , звездные функции , ★-генсостояния или ★ -ген - функции , а соответствующие энергии известны как звездные значения или ★ -генные значения . Они решаются, аналогично независимому от времени уравнению Шредингера , с помощью уравнения ★ -genvalue, ^[17]^[18]

H\star W=E\cdot W,

где $H$ — гамильтониан, простая функция фазового пространства, чаще всего идентичная классическому гамильтониану.

времени Эволюция

Временная эволюция распределения фазового пространства задается квантовой модификацией потока Лиувилля . ^[2]^[9]^[19] Эта формула является результатом применения преобразования Вигнера к версии квантового уравнения Лиувилля с матрицей плотности :уравнение фон Неймана .

В любом представлении распределения фазового пространства с соответствующим звездным произведением это

{\frac {\partial f}{\partial t}}=-{\frac {1}{i\hbar }}\left(f\star H-H\star f\right),

или, в частности, для функции Вигнера,

{\frac {\partial W}{\partial t}}=-\{\{W,H\}\}=-{\frac {2}{\hbar }}W\sin \left({\frac {\hbar }{2}}({\overset {_{\gets }}{\partial }}_{x}{\vec {\partial }}_{p}-{\overset {_{\gets }}{\partial }}_{p}{\vec {\partial }}_{x})\right)H=-\{W,H\}+O(\hbar ^{2}),

где {{, }} — скобка Мойала , преобразование Вигнера квантового коммутатора, а {, } — классическая скобка Пуассона . ^[2]

Это дает краткую иллюстрацию принципа соответствия : это уравнение явно сводится к классическому уравнению Лиувилля в пределе ħ → 0. Однако в квантовом расширении потока плотность точек в фазовом пространстве не сохраняется ; вероятностная жидкость кажется «диффузионной» и сжимаемой. ^[2] Поэтому концепция квантовой траектории является здесь деликатным вопросом. ^[20] Посмотрите фильм о потенциале Морса ниже, чтобы оценить нелокальность квантового фазового потока.

NB. Учитывая ограничения, налагаемые принципом неопределенности на локализацию, Нильс Бор решительно отрицал физическое существование таких траекторий в микроскопическом масштабе. С помощью формальных траекторий в фазовом пространстве проблема эволюции во времени функции Вигнера может быть строго решена с использованием метода интеграла по путям. ^[21] и метод квантовых характеристик , ^[22] хотя в обоих случаях существуют серьезные практические препятствия.

Примеры [ править ]

Простой гармонический генератор [ править ]

Гамильтониан простого гармонического осциллятора в одном пространственном измерении в представлении Вигнера – Вейля имеет вид

H={\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x^{2}+{\frac {p^{2}}{2m}}.

выглядеть следующим образом : Тогда уравнение ★-genvalue для статической функции Вигнера будет

{\begin{aligned}H\star W&=\left({\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x^{2}+{\frac {p^{2}}{2m}}\right)\star W\\&=\left({\frac {1}{2}}m\omega ^{2}\left(x+{\frac {i\hbar }{2}}{\vec {\partial }}_{p}\right)^{2}+{\frac {1}{2m}}\left(p-{\frac {i\hbar }{2}}{\vec {\partial }}_{x}\right)^{2}\right)W\\&=\left({\frac {1}{2}}m\omega ^{2}\left(x^{2}-{\frac {\hbar ^{2}}{4}}{\vec {\partial }}_{p}^{2}\right)+{\frac {1}{2m}}\left(p^{2}-{\frac {\hbar ^{2}}{4}}{\vec {\partial }}_{x}^{2}\right)\right)W\\&\quad {}+{\frac {i\hbar }{2}}\left(m\omega ^{2}x{\vec {\partial }}_{p}-{\frac {p}{m}}{\vec {\partial }}_{x}\right)W\\&=E\cdot W.\end{aligned}}

Эволюция во времени комбинированной функции Вигнера основного и первого возбужденного состояний для простого гармонического осциллятора. Обратите внимание на жесткое движение в фазовом пространстве, соответствующее обычным колебаниям в координатном пространстве.

Функция Вигнера для основного состояния гармонического осциллятора, смещенного от начала фазового пространства, т. е. когерентного состояния . Обратите внимание на жесткое вращение, идентичное классическому движению: это особенность ШО, иллюстрирующая принцип соответствия . С сайта общей педагогики. ^[23]

Рассмотрим сначала мнимую часть уравнения ★ -genvalue,

{\frac {\hbar }{2}}\left(m\omega ^{2}x{\vec {\partial }}_{p}-{\frac {p}{m}}{\vec {\partial }}_{x}\right)\cdot W=0

Это означает, что можно записать ★ -genstates как функции одного аргумента:

W(x,p)=F\left({\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x^{2}+{\frac {p^{2}}{2m}}\right)\equiv F(u).

С помощью такой замены переменных можно записать действительную часть ★ -генного уравнения в виде модифицированного уравнения Лагерра (не уравнения Эрмита !), в решении которого участвуют полиномы Лагерра как ^[18]

F_{n}(u)={\frac {(-1)^{n}}{\pi \hbar }}L_{n}\left(4{\frac {u}{\hbar \omega }}\right)e^{-2u/\hbar \omega },

представленный Гроенволдом, ^[1] со связанными ★ -genvalues

E_{n}=\hbar \omega \left(n+{\frac {1}{2}}\right).

Для гармонического осциллятора временная эволюция произвольного распределения Вигнера проста. Начальный $W (x, p; t = 0) = F (u)$ развивается в соответствии с приведенным выше уравнением эволюции, управляемым гамильтонианом осциллятора, заданным путем простого жесткого вращения в фазовом пространстве , ^[1]

W(x,p;t)=W(m\omega x\cos \omega t-p\sin \omega t,p\cos \omega t+\omega mx\sin \omega t;0).

Обычно «выброс» (или когерентное состояние) энергии $E ≫ ħω$ может представлять собой макроскопическую величину и выглядеть как классический объект, равномерно вращающийся в фазовом пространстве, простой механический осциллятор (см. анимированные рисунки). Интегрируя по всем фазам (начальным положениям при t = 0) таких объектов, непрерывный «палисад» дает независимую от времени конфигурацию, аналогичную вышеупомянутым статическим ★ -генсостояниям $F (u)$ , интуитивно понятную визуализацию классического предела для больших -системы действий. ^[6]

частицы момент Угловой свободной

Предположим, что частица изначально находится в минимально неопределенном гауссовском состоянии с ожидаемыми значениями положения и импульса, центрированными в начале координат в фазовом пространстве. Функция Вигнера для такого свободно распространяющегося состояния равна

W(\mathbf {x} ,\mathbf {p} ;t)={\frac {1}{(\pi \hbar )^{3}}}\exp {\left(-\alpha ^{2}r^{2}-{\frac {p^{2}}{\alpha ^{2}\hbar ^{2}}}\left(1+\left({\frac {t}{\tau }}\right)^{2}\right)+{\frac {2t}{\hbar \tau }}\mathbf {x} \cdot \mathbf {p} \right)}~,

где α — параметр, описывающий начальную ширину гауссианы, а $τ = m / α 2 ч$ .

Первоначально положение и импульс некоррелированы. Таким образом, в трех измерениях мы ожидаем, что векторы положения и импульса будут в два раза скорее перпендикулярны друг другу, чем параллельны.

Однако по мере развития состояния положение и импульс становятся все более коррелирующими, поскольку части распределения, находящиеся дальше от начала координат, требуют достижения большего импульса: асимптотически

W\longrightarrow {\frac {1}{(\pi \hbar )^{3}}}\exp \left[-\alpha ^{2}\left(\mathbf {x} -{\frac {\mathbf {p} t}{m}}\right)^{2}\right]\,.

(Это относительное «сжатие» отражает расширение свободного волнового пакета в координатном пространстве.)

Действительно, можно показать, что кинетическая энергия частицы становится только асимптотически радиальной, что соответствует стандартному квантово-механическое понятие ненулевого углового момента в основном состоянии, определяющее независимость ориентации: ^[24]

K_{\text{rad}}={\frac {\alpha ^{2}\hbar ^{2}}{2m}}\left({\frac {3}{2}}-{\frac {1}{1+(t/\tau )^{2}}}\right)

K_{\text{ang}}={\frac {\alpha ^{2}\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {1}{1+(t/\tau )^{2}}}~.

Потенциал Морса [ править ]

Потенциал Морзе используется для аппроксимации колебательной структуры двухатомной молекулы.

Временная функции Вигнера эволюция потенциала Морса U ( x ) = 20(1 − e ^{-0,16 х}) ² в атомных единицах (а.е.). Сплошные линии представляют собой набор уровней гамильтониана H p ( x , = ) p ²/2 + U ( Икс ) .

туннелирование Квантовое

Туннелирование — это отличительный квантовый эффект, при котором квантовая частица, не обладая достаточной энергией, чтобы пролететь выше, все равно проходит через барьер. Этот эффект не существует в классической механике.

Функция Вигнера для туннелирования через потенциальный барьер U ( x ) = 8 e ^{−0,25 х ²} в атомных единицах (а.е.). Сплошные линии представляют собой набор уровня гамильтониана H p ( x , = ) p ²/2 + U ( х ).

Квартичный потенциал [ править ]

для Временная эволюция функции Вигнера потенциала U ( x ) = 0,1 x ⁴ в атомных единицах (а.е.). Сплошные линии представляют собой набор уровня гамильтониана H p ( x , = ) p ²/2 + U ( х ).

Шредингера Состояние кота [ править ]

Ссылки [ править ]

↑ Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Гроневолд, HJ (1946). «О принципах элементарной квантовой механики». Физика . 12 (7): 405–460. Бибкод : 1946Phy....12..405G . дои : 10.1016/S0031-8914(46)80059-4 .
↑ Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и Мойал, Дж. Э.; Бартлетт, MS (1949). «Квантовая механика как статистическая теория». Математические труды Кембриджского философского общества . 45 (1): 99–124. Бибкод : 1949PCPS...45...99M . дои : 10.1017/S0305004100000487 . S2CID 124183640 .
^ Вейль, Х. (1927). «Квантовая механика и теория групп». Журнал физики (на немецком языке). 46 (1–2): 1–46. Бибкод : 1927ZPhy...46....1W . дои : 10.1007/BF02055756 . S2CID 121036548 .
↑ Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б Вигнер, Э. (1932). «О квантовой поправке к термодинамическому равновесию». Физический обзор . 40 (5): 749–759. Бибкод : 1932PhRv...40..749W . дои : 10.1103/PhysRev.40.749 . hdl : 10338.dmlcz/141466 .
^ Али, С. Тварек; Английский, Мирослав (2005). «Методы квантования: Руководство для физиков и аналитиков». Обзоры по математической физике . 17 (4): 391–490. arXiv : math-ph/0405065 . дои : 10.1142/S0129055X05002376 . S2CID 119152724 .
↑ Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б Куртрайт, ТЛ; Захос, СК (2012). «Квантовая механика в фазовом пространстве». Информационный бюллетень по физике Азиатско-Тихоокеанского региона . 01 :37–46. arXiv : 1104.5269 . дои : 10.1142/S2251158X12000069 . S2CID 119230734 .
↑ Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б К. Зачос , Д. Фэрли и Т. Куртрайт , «Квантовая механика в фазовом пространстве» (World Scientific, Сингапур, 2005 г.) ISBN 978-981-238-384-6 .
^ Коэн, Л. (1966). «Обобщенные функции распределения в фазовом пространстве». Журнал математической физики . 7 (5): 781–786. Бибкод : 1966JMP.....7..781C . дои : 10.1063/1.1931206 .
↑ Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б Агарвал, Г.С.; Вольф, Э. (1970). «Исчисление функций некоммутирующих операторов и общие методы фазового пространства в квантовой механике. II. Квантовая механика в фазовом пространстве». Физический обзор D . 2 (10): 2187–2205. Бибкод : 1970PhRvD...2.2187A . дои : 10.1103/PhysRevD.2.2187 .
^ Сударшан, ЭКГ (1963). «Эквивалентность квазиклассических и квантовомеханических описаний статистических световых лучей». Письма о физических отзывах . 10 (7): 277–279. Бибкод : 1963PhRvL..10..277S . дои : 10.1103/PhysRevLett.10.277 .
^ Глаубер, Рой Дж. (1963). «Когерентные и некогерентные состояния радиационного поля». Физический обзор . 131 (6): 2766–2788. Бибкод : 1963PhRv..131.2766G . дои : 10.1103/PhysRev.131.2766 .
^ Коди Хусими (1940). «Некоторые формальные свойства матрицы плотности», Учеб. Физ. Математика. Соц. Япония. 22 : 264–314.
^ Агарвал, Г.С.; Вольф, Э. (1970). «Исчисление функций некоммутирующих операторов и общие методы фазового пространства в квантовой механике. I. Теоремы об отображении и упорядочение функций некоммутирующих операторов». Физический обзор D . 2 (10): 2161–2186. Бибкод : 1970PhRvD...2.2161A . дои : 10.1103/PhysRevD.2.2161 .
^ Кэхилл, Кентукки; Глаубер, Р.Дж. (1969). «Упорядоченные разложения в бозонных амплитудных операторах» (PDF) . Физический обзор . 177 (5): 1857–1881. Бибкод : 1969PhRv..177.1857C . дои : 10.1103/PhysRev.177.1857 . ; Кэхилл, Кентукки; Глаубер, Р.Дж. (1969). «Операторы плотности и распределения квазивероятностей» . Физический обзор . 177 (5): 1882–1902. Бибкод : 1969PhRv..177.1882C . дои : 10.1103/PhysRev.177.1882 . .
^ Лакс, Мелвин (1968). «Квантовый шум. XI. Многовременное соответствие между квантовыми и классическими случайными процессами». Физический обзор . 172 (2): 350–361. Бибкод : 1968PhRv..172..350L . дои : 10.1103/PhysRev.172.350 .
^ Бейкер, Джордж А. (1958). «Формулировка квантовой механики на основе распределения квазивероятностей, индуцированного в фазовом пространстве». Физический обзор . 109 (6): 2198–2206. Бибкод : 1958PhRv..109.2198B . дои : 10.1103/PhysRev.109.2198 .
^ Фэрли, Д.Б. (1964). «Формулировка квантовой механики в терминах функций фазового пространства». Математические труды Кембриджского философского общества . 60 (3): 581–586. Бибкод : 1964PCPS...60..581F . дои : 10.1017/S0305004100038068 . S2CID 122039228 .
↑ Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б Куртрайт, Т.; Фэрли, Д.; Зачос, К. (1998). «Особенности нестационарных функций Вигнера». Физический обзор D . 58 (2): 025002. arXiv : hep-th/9711183 . Бибкод : 1998PhRvD..58b5002C . doi : 10.1103/PhysRevD.58.025002 . S2CID 288935 .
^ Мехта, CL (1964). «Фазовая формулировка динамики канонических переменных» . Журнал математической физики . 5 (5): 677–686. Бибкод : 1964JMP.....5..677M . дои : 10.1063/1.1704163 .
^ М. Олива, Д. Какофенгитис, О. Стойернагель (2018). «Ангармонические квантово-механические системы не имеют траекторий в фазовом пространстве». Физика А. 502 : 201–210. arXiv : 1611.03303 . Бибкод : 2018PhyA..502..201O . дои : 10.1016/j.physa.2017.10.047 . S2CID 53691877 . {{cite journal}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
^ Маринов, М.С. (1991). «Новый тип интеграла по траекториям в фазовом пространстве». Буквы по физике А. 153 (1): 5–11. Бибкод : 1991PhLA..153....5M . дои : 10.1016/0375-9601(91)90352-9 .
^ Криворученко М.И.; Фесслер, Аманд (2007). «Символы Вейля операторов Гейзенберга канонических координат и импульсов как квантовые характеристики». Журнал математической физики . 48 (5): 052107. arXiv : quant-ph/0604075 . Бибкод : 2007JMP....48e2107K . дои : 10.1063/1.2735816 . S2CID 42068076 .
^ Куртрайт, TL. Зависящие от времени функции Вигнера .
^ Даль, Йенс Педер; Шляйх, Вольфганг П. (15 января 2002 г.). «Представления о радиальной и угловой кинетической энергии». Физический обзор А. 65 (2): 022109. arXiv : quant-ph/0110134 . Бибкод : 2002PhRvA..65b2109D . дои : 10.1103/physreva.65.022109 . ISSN 1050-2947 . S2CID 39409789 .

[Groenewold1946-1] Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Гроневолд, HJ (1946). «О принципах элементарной квантовой механики». Физика . 12 (7): 405–460. Бибкод : 1946Phy....12..405G . дои : 10.1016/S0031-8914(46)80059-4 .

[Moyal1949-2] Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и Мойал, Дж. Э.; Бартлетт, MS (1949). «Квантовая механика как статистическая теория». Математические труды Кембриджского философского общества . 45 (1): 99–124. Бибкод : 1949PCPS...45...99M . дои : 10.1017/S0305004100000487 . S2CID 124183640 .

[Weyl1927-3] Вейль, Х. (1927). «Квантовая механика и теория групп». Журнал физики (на немецком языке). 46 (1–2): 1–46. Бибкод : 1927ZPhy...46....1W . дои : 10.1007/BF02055756 . S2CID 121036548 .

[Wigner1932-4] Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б Вигнер, Э. (1932). «О квантовой поправке к термодинамическому равновесию». Физический обзор . 40 (5): 749–759. Бибкод : 1932PhRv...40..749W . дои : 10.1103/PhysRev.40.749 . hdl : 10338.dmlcz/141466 .

[5] Али, С. Тварек; Английский, Мирослав (2005). «Методы квантования: Руководство для физиков и аналитиков». Обзоры по математической физике . 17 (4): 391–490. arXiv : math-ph/0405065 . дои : 10.1142/S0129055X05002376 . S2CID 119152724 .

[cz2012-6] Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б Куртрайт, ТЛ; Захос, СК (2012). «Квантовая механика в фазовом пространстве». Информационный бюллетень по физике Азиатско-Тихоокеанского региона . 01 :37–46. arXiv : 1104.5269 . дои : 10.1142/S2251158X12000069 . S2CID 119230734 .

[ZFC2005-7] Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б К. Зачос , Д. Фэрли и Т. Куртрайт , «Квантовая механика в фазовом пространстве» (World Scientific, Сингапур, 2005 г.) ISBN 978-981-238-384-6 .

[8] Коэн, Л. (1966). «Обобщенные функции распределения в фазовом пространстве». Журнал математической физики . 7 (5): 781–786. Бибкод : 1966JMP.....7..781C . дои : 10.1063/1.1931206 .

[AgarwalWolf1970b-9] Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б Агарвал, Г.С.; Вольф, Э. (1970). «Исчисление функций некоммутирующих операторов и общие методы фазового пространства в квантовой механике. II. Квантовая механика в фазовом пространстве». Физический обзор D . 2 (10): 2187–2205. Бибкод : 1970PhRvD...2.2187A . дои : 10.1103/PhysRevD.2.2187 .

[10] Сударшан, ЭКГ (1963). «Эквивалентность квазиклассических и квантовомеханических описаний статистических световых лучей». Письма о физических отзывах . 10 (7): 277–279. Бибкод : 1963PhRvL..10..277S . дои : 10.1103/PhysRevLett.10.277 .

[11] Глаубер, Рой Дж. (1963). «Когерентные и некогерентные состояния радиационного поля». Физический обзор . 131 (6): 2766–2788. Бибкод : 1963PhRv..131.2766G . дои : 10.1103/PhysRev.131.2766 .

[12] Коди Хусими (1940). «Некоторые формальные свойства матрицы плотности», Учеб. Физ. Математика. Соц. Япония. 22 : 264–314.

[13] Агарвал, Г.С.; Вольф, Э. (1970). «Исчисление функций некоммутирующих операторов и общие методы фазового пространства в квантовой механике. I. Теоремы об отображении и упорядочение функций некоммутирующих операторов». Физический обзор D . 2 (10): 2161–2186. Бибкод : 1970PhRvD...2.2161A . дои : 10.1103/PhysRevD.2.2161 .

[14] Кэхилл, Кентукки; Глаубер, Р.Дж. (1969). «Упорядоченные разложения в бозонных амплитудных операторах» (PDF) . Физический обзор . 177 (5): 1857–1881. Бибкод : 1969PhRv..177.1857C . дои : 10.1103/PhysRev.177.1857 . ; Кэхилл, Кентукки; Глаубер, Р.Дж. (1969). «Операторы плотности и распределения квазивероятностей» . Физический обзор . 177 (5): 1882–1902. Бибкод : 1969PhRv..177.1882C . дои : 10.1103/PhysRev.177.1882 . .

[15] Лакс, Мелвин (1968). «Квантовый шум. XI. Многовременное соответствие между квантовыми и классическими случайными процессами». Физический обзор . 172 (2): 350–361. Бибкод : 1968PhRv..172..350L . дои : 10.1103/PhysRev.172.350 .

[16] Бейкер, Джордж А. (1958). «Формулировка квантовой механики на основе распределения квазивероятностей, индуцированного в фазовом пространстве». Физический обзор . 109 (6): 2198–2206. Бибкод : 1958PhRv..109.2198B . дои : 10.1103/PhysRev.109.2198 .

[17] Фэрли, Д.Б. (1964). «Формулировка квантовой механики в терминах функций фазового пространства». Математические труды Кембриджского философского общества . 60 (3): 581–586. Бибкод : 1964PCPS...60..581F . дои : 10.1017/S0305004100038068 . S2CID 122039228 .

[CFZ1998-18] Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б Куртрайт, Т.; Фэрли, Д.; Зачос, К. (1998). «Особенности нестационарных функций Вигнера». Физический обзор D . 58 (2): 025002. arXiv : hep-th/9711183 . Бибкод : 1998PhRvD..58b5002C . doi : 10.1103/PhysRevD.58.025002 . S2CID 288935 .

[19] Мехта, CL (1964). «Фазовая формулировка динамики канонических переменных» . Журнал математической физики . 5 (5): 677–686. Бибкод : 1964JMP.....5..677M . дои : 10.1063/1.1704163 .

[20] М. Олива, Д. Какофенгитис, О. Стойернагель (2018). «Ангармонические квантово-механические системы не имеют траекторий в фазовом пространстве». Физика А. 502 : 201–210. arXiv : 1611.03303 . Бибкод : 2018PhyA..502..201O . дои : 10.1016/j.physa.2017.10.047 . S2CID 53691877 . {{cite journal}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )

[21] Маринов, М.С. (1991). «Новый тип интеграла по траекториям в фазовом пространстве». Буквы по физике А. 153 (1): 5–11. Бибкод : 1991PhLA..153....5M . дои : 10.1016/0375-9601(91)90352-9 .

[22] Криворученко М.И.; Фесслер, Аманд (2007). «Символы Вейля операторов Гейзенберга канонических координат и импульсов как квантовые характеристики». Журнал математической физики . 48 (5): 052107. arXiv : quant-ph/0604075 . Бибкод : 2007JMP....48e2107K . дои : 10.1063/1.2735816 . S2CID 42068076 .

[23] Куртрайт, TL. Зависящие от времени функции Вигнера .

[24] Даль, Йенс Педер; Шляйх, Вольфганг П. (15 января 2002 г.). «Представления о радиальной и угловой кинетической энергии». Физический обзор А. 65 (2): 022109. arXiv : quant-ph/0110134 . Бибкод : 2002PhRvA..65b2109D . дои : 10.1103/physreva.65.022109 . ISSN 1050-2947 . S2CID 39409789 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

v т и Квантовая механика
Background	Introduction History Timeline Classical mechanics Old quantum theory Glossary
Fundamentals	Born rule Bra–ket notation Complementarity Density matrix Energy level Ground state Excited state Degenerate levels Zero-point energy Entanglement Hamiltonian Interference Decoherence Measurement Nonlocality Quantum state Superposition Tunnelling Scattering theory Symmetry in quantum mechanics Uncertainty Wave function Collapse Wave–particle duality
Formulations	Formulations Heisenberg Interaction Matrix mechanics Schrödinger Path integral formulation Phase space
Equations	Dirac Klein–Gordon Pauli Rydberg Schrödinger
Interpretations	Bayesian Consistent histories Copenhagen de Broglie–Bohm Ensemble Hidden-variable Local Superdeterminism Many-worlds Objective collapse Quantum logic Relational Transactional Von Neumann–Wigner
Experiments	Bell test Davisson–Germer Delayed-choice quantum eraser Double-slit Franck–Hertz Mach–Zehnder interferometer Elitzur–Vaidman Popper Quantum eraser Stern–Gerlach Wheeler's delayed choice
Science	Quantum biology Quantum chemistry Quantum chaos Quantum cosmology Quantum differential calculus Quantum dynamics Quantum geometry Quantum measurement problem Quantum mind Quantum stochastic calculus Quantum spacetime
Technology	Quantum algorithms Quantum amplifier Quantum bus Quantum cellular automata Quantum finite automata Quantum channel Quantum circuit Quantum complexity theory Quantum computing Timeline Quantum cryptography Quantum electronics Quantum error correction Quantum imaging Quantum image processing Quantum information Quantum key distribution Quantum logic Quantum logic gates Quantum machine Quantum machine learning Quantum metamaterial Quantum metrology Quantum network Quantum neural network Quantum optics Quantum programming Quantum sensing Quantum simulator Quantum teleportation
Extensions	Quantum fluctuation Casimir effect Quantum statistical mechanics Quantum field theory History Quantum gravity Relativistic quantum mechanics
Related	Schrödinger's cat in popular culture Wigner's friend EPR paradox Quantum mysticism
Category