Классический предел

Классический предел или предел соответствия - это способность физической теории аппроксимировать или «восстанавливать» классическую механику при рассмотрении особых значений ее параметров. ^[1] Классический предел используется с физическими теориями, предсказывающими неклассическое поведение.

Квантовая теория

Эвристический постулат , называемый принципом соответствия, был введен в квантовую теорию : Нильсом Бором по сути, он утверждает, что некий аргумент непрерывности должен применяться к классическому пределу квантовых систем, поскольку значение постоянной Планка , нормализованное действием этих систем, становится очень маленький. Часто к этому подходят с помощью «квазиклассических» методов (см. аппроксимацию WKB ). ^[2]

Более строго, ^[3] математическая операция, связанная с классическими пределами, представляет собой групповое сжатие , аппроксимирующее физические системы, где соответствующее действие намного больше, чем приведенная константа Планка $ħ$ , поэтому «параметр деформации» $ħ$ / $S$ можно эффективно принять равным нулю (ср. Квантование Вейля .) Таким образом, обычно квантовые коммутаторы (эквивалентно скобкам Мойала ) сводятся к скобкам Пуассона , ^[4] в групповом сокращении .

В квантовой механике -за Гейзенберга принципа неопределенности электрон из никогда не может находиться в состоянии покоя; он всегда должен иметь ненулевую кинетическую энергию , чего нет в классической механике. Например, если мы рассмотрим что-то очень большое по сравнению с электроном, например бейсбольный мяч, принцип неопределенности предсказывает, что на самом деле оно не может иметь нулевую кинетическую энергию, но неопределенность в кинетической энергии настолько мала, что может казаться, что бейсбольный мяч находится в состоянии покоя. , и, следовательно, кажется, что он подчиняется классической механике. В общем, если в квантовой механике рассматривать большие энергии и большие объекты (относительно размера и энергетических уровней электрона), результат будет подчиняться классической механике. Типичные числа заполнения огромны: макроскопический гармонический осциллятор с $ω$ = 2 Гц, $m$ = 10 г и максимальной амплитудой $x$ ₀ = 10 см имеет $S \approx E / ω \approx mωx. 20 /2 \approx 10 -4 кг\cdotм 2 /s$ = $ħn$ , так что $n$ ≃ 10 ³⁰. Далее см. когерентные состояния . Однако менее ясно, как классический предел применим к хаотическим системам — полю, известному как квантовый хаос .

Квантовая механика и классическая механика обычно рассматриваются с помощью совершенно разных формализмов: квантовая теория использует гильбертово пространство , а классическая механика использует представление в фазовом пространстве . Их можно объединить в общую математическую структуру различными способами. В формулировке квантовой механики в фазовом пространстве , которая является статистической по своей природе, устанавливаются логические связи между квантовой механикой и классической статистической механикой, что позволяет проводить естественные сравнения между ними, включая нарушения теоремы Лиувилля (гамильтониана) при квантовании. ^[5]^[6]

В решающей статье (1933 г.) Дирак ^[7] объяснил, почему классическая механика является возникающим явлением квантовой механики: деструктивная интерференция между путями с неэкстремальными макроскопическими действиями $S$ » $ħ$ стирает амплитудные вклады в введенный им интеграл по путям экстремального действия $S$ _{, оставляя класс} , таким образом, классический путь действия остается доминирующим вклад, наблюдение, которое далее разработал Фейнман в своей докторской диссертации 1942 года. ^[8] (Далее см. квантовую декогеренцию .)

Временная эволюция ожидаемых значений

Один простой способ сравнить классическую механику с квантовой — это рассмотреть эволюцию во времени ожидаемого положения и ожидаемого импульса, которую затем можно сравнить с эволюцией во времени обычного положения и импульса в классической механике. Значения квантового ожидания удовлетворяют теореме Эренфеста . Для одномерной квантовой частицы, движущейся в потенциале $V$ , теорема Эренфеста гласит ^[9]

m{\frac {d}{dt}}\langle x\rangle =\langle p\rangle ;\quad {\frac {d}{dt}}\langle p\rangle =-\left\langle V'(X)\right\rangle .

Хотя первое из этих уравнений согласуется с классической механикой, второе — нет: если пара $(\langle X\rangle ,\langle P\rangle )$ если бы он удовлетворял второму закону Ньютона, правая часть второго уравнения выглядела бы так:

{\frac {d}{dt}}\langle p\rangle =-V'\left(\left\langle X\right\rangle \right)

.

Но в большинстве случаев

\left\langle V'(X)\right\rangle \neq V'(\left\langle X\right\rangle )

.

Если, например, потенциал $V$ кубическая, то $V'$ квадратична, и в этом случае речь идет о различии между $\langle X^{2}\rangle$ и $\langle X\rangle ^{2}$ , которые отличаются $(\Delta X)^{2}$ .

Исключение имеет место в случае, когда классические уравнения движения линейны, т. е. когда $V$ является квадратичным и $V'$ является линейным. В этом особом случае $V'\left(\left\langle X\right\rangle \right)$ и $\left\langle V'(X)\right\rangle$ согласен. В частности, для свободной частицы или квантового гармонического осциллятора ожидаемое положение и ожидаемый импульс точно соответствуют решениям уравнений Ньютона.

Для общих систем лучшее, на что мы можем надеяться, — это то, что ожидаемое положение и импульс будут примерно следовать классическим траекториям. Если волновая функция сильно сконцентрирована вокруг точки $x_{0}$ , затем $V'\left(\left\langle X\right\rangle \right)$ и $\left\langle V'(X)\right\rangle$ будет почти одинаковым, так как оба будут примерно равны $V'(x_{0})$ . В этом случае ожидаемое положение и ожидаемый импульс останутся очень близкими к классическим траекториям, по крайней мере, до тех пор, пока волновая функция остается сильно локализованной по положению. ^[10]

Теперь, если начальное состояние очень локализовано по положению, оно будет очень разбросано по импульсу, и поэтому мы ожидаем, что волновая функция быстро растечется, и связь с классическими траекториями будет потеряна. Однако когда постоянная Планка мала, возможно иметь состояние, которое хорошо локализовано как по положению, так и по импульсу. Небольшая неопределенность в импульсе гарантирует, что частица остается хорошо локализованной в своем положении в течение длительного времени, так что ожидаемое положение и импульс продолжают точно следовать классическим траекториям в течение длительного времени.

Теория относительности и другие деформации

Другие известные деформации в физике включают:

Деформация классического ньютоновского закона в релятивистскую механику ( специальная теория относительности ) с параметром деформации $v / c$ ; классический предел предполагает малые скорости, поэтому $v / c \to 0$ , и системы, по-видимому, подчиняются механике Ньютона.
Аналогично и для деформации ньютоновской гравитации в общую теорию относительности , с параметром деформации радиус Шварцшильда/характеристический размер, мы обнаруживаем, что объекты снова подчиняются классической механике (плоское пространство), когда масса объекта умножается на квадрат Планка . длина значительно меньше его размера и размеров решаемой задачи. См. Ньютоновский предел .
Волновую оптику можно также рассматривать как деформацию лучевой оптики для параметра деформации $λ / a$ .
Аналогично, термодинамика переходит в статистическую механику с параметром деформации $1/ N$ .

См. также

Ссылки

^ Бом, Д. (1989). Квантовая теория . Дуврские публикации . ISBN 9780486659695 .
^ Ландау, LD ; Лифшиц, Э.М. (1977). Квантовая механика: нерелятивистская теория . Том. 3 (3-е изд.). Пергамон Пресс . ISBN 978-0-08-020940-1 .
^ Хепп, К. (1974). «Классический предел квантовомеханических корреляционных функций» . Связь в математической физике . 35 (4): 265–277. Бибкод : 1974CMaPh..35..265H . дои : 10.1007/BF01646348 . S2CID 123034390 .
^ Куртрайт, ТЛ; Захос, СК (2012). «Квантовая механика в фазовом пространстве». Информационный бюллетень по физике Азиатско-Тихоокеанского региона . 1 : 37–46. arXiv : 1104.5269 . дои : 10.1142/S2251158X12000069 . S2CID 119230734 .
^ Бракен, А.; Вуд, Дж. (2006). «Полуквантовая и полуклассическая механика для простых нелинейных систем». Физический обзор А. 73 (1): 012104. arXiv : quant-ph/0511227 . Бибкод : 2006PhRvA..73a2104B . дои : 10.1103/PhysRevA.73.012104 . S2CID 14444752 .
^
И наоборот, в менее известном подходе, представленном в 1932 году Купманом и фон Нейманом , динамика классической механики была сформулирована в терминах операционного формализма в гильбертовом пространстве , формализма, традиционно используемого для квантовой механики.
- Купман, Бо ; фон Нейман, Дж. (1932). «Динамические системы непрерывных спектров» . Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки . 18 (3): 255–263. Бибкод : 1932ПНАС...18..255К . дои : 10.1073/pnas.18.3.255 . ПМЦ 1076203 . ПМИД 16587673 .
- Мауро, Д. (2003). «Темы теории Купмана-фон Неймана». arXiv : Quant-ph/0301172 .
- Брекен, Эй Джей (2003). «Квантовая механика как приближение к классической механике в гильбертовом пространстве». Журнал физики А. 36 (23): Л329–Л335. arXiv : Quant-ph/0210164 . дои : 10.1088/0305-4470/36/23/101 . S2CID 15505801 .
^ Дирак, П.А.М. (1933). «Лагранжиан в квантовой механике» (PDF) . Физический журнал Советского Союза . 3 :64-72.
^ Фейнман, Р.П. (1942). Принцип наименьшего действия в квантовой механике (кандидатская диссертация). Принстонский университет .
Воспроизведено в Фейнман, Р.П. (2005). Браун, Л.М. (ред.). Тезис Фейнмана: новый подход к квантовой теории . Всемирная научная . ISBN 978-981-256-380-4 .
^ Зал 2013 г., раздел 3.7.5.
^ Холл 2013 с. 78

Холл, Брайан К. (2013), Квантовая теория для математиков , Тексты для выпускников по математике, том. 267, Спрингер, ISBN 978-1461471158

[1] Бом, Д. (1989). Квантовая теория . Дуврские публикации . ISBN 9780486659695 .

[2] Ландау, LD ; Лифшиц, Э.М. (1977). Квантовая механика: нерелятивистская теория . Том. 3 (3-е изд.). Пергамон Пресс . ISBN 978-0-08-020940-1 .

[3] Хепп, К. (1974). «Классический предел квантовомеханических корреляционных функций» . Связь в математической физике . 35 (4): 265–277. Бибкод : 1974CMaPh..35..265H . дои : 10.1007/BF01646348 . S2CID 123034390 .

[4] Куртрайт, ТЛ; Захос, СК (2012). «Квантовая механика в фазовом пространстве». Информационный бюллетень по физике Азиатско-Тихоокеанского региона . 1 : 37–46. arXiv : 1104.5269 . дои : 10.1142/S2251158X12000069 . S2CID 119230734 .

[5] Бракен, А.; Вуд, Дж. (2006). «Полуквантовая и полуклассическая механика для простых нелинейных систем». Физический обзор А. 73 (1): 012104. arXiv : quant-ph/0511227 . Бибкод : 2006PhRvA..73a2104B . дои : 10.1103/PhysRevA.73.012104 . S2CID 14444752 .

[6] И наоборот, в менее известном подходе, представленном в 1932 году Купманом и фон Нейманом , динамика классической механики была сформулирована в терминах операционного формализма в гильбертовом пространстве , формализма, традиционно используемого для квантовой механики.
Купман, Бо ; фон Нейман, Дж. (1932). «Динамические системы непрерывных спектров» . Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки . 18 (3): 255–263. Бибкод : 1932ПНАС...18..255К . дои : 10.1073/pnas.18.3.255 . ПМЦ 1076203 . ПМИД 16587673 .
Мауро, Д. (2003). «Темы теории Купмана-фон Неймана». arXiv : Quant-ph/0301172 .
Брекен, Эй Джей (2003). «Квантовая механика как приближение к классической механике в гильбертовом пространстве». Журнал физики А. 36 (23): Л329–Л335. arXiv : Quant-ph/0210164 . дои : 10.1088/0305-4470/36/23/101 . S2CID 15505801 .

[7] Купман, Бо ; фон Нейман, Дж. (1932). «Динамические системы непрерывных спектров» . Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки . 18 (3): 255–263. Бибкод : 1932ПНАС...18..255К . дои : 10.1073/pnas.18.3.255 . ПМЦ 1076203 . ПМИД 16587673 .

[8] Мауро, Д. (2003). «Темы теории Купмана-фон Неймана». arXiv : Quant-ph/0301172 .

[9] Брекен, Эй Джей (2003). «Квантовая механика как приближение к классической механике в гильбертовом пространстве». Журнал физики А. 36 (23): Л329–Л335. arXiv : Quant-ph/0210164 . дои : 10.1088/0305-4470/36/23/101 . S2CID 15505801 .

[7] Дирак, П.А.М. (1933). «Лагранжиан в квантовой механике» (PDF) . Физический журнал Советского Союза . 3 :64-72.

[8] Фейнман, Р.П. (1942). Принцип наименьшего действия в квантовой механике (кандидатская диссертация). Принстонский университет .
Воспроизведено в Фейнман, Р.П. (2005). Браун, Л.М. (ред.). Тезис Фейнмана: новый подход к квантовой теории . Всемирная научная . ISBN 978-981-256-380-4 .

[9] Зал 2013 г., раздел 3.7.5.

[10] Холл 2013 с. 78

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]