Теорема Эренфеста

Теорема Эренфеста , названная в честь австрийского физика-теоретика Пауля Эренфеста по времени , связывает производную математических ожиданий положения и импульса операторов x и p с математическим ожиданием силы. $F=-V'(x)$ о массивной частице, движущейся в скалярном потенциале $V(x)$,

$m{\frac {d}{dt}}\langle x\rangle =\langle p\rangle ,\;\;{\frac {d}{dt}}\langle p\rangle =-\left\langle V'(x)\right\rangle ~.$

Теорема Эренфеста представляет собой частный случай более общей связи между математическим ожиданием любого квантово-механического оператора и математическим ожиданием коммутатора этого оператора с гамильтонианом системы.

${\frac {d}{dt}}\langle A\rangle ={\frac {1}{i\hbar }}\langle [A,H]\rangle +\left\langle {\frac {\partial A}{\partial t}}\right\rangle ~,$

где A — некоторый квантовомеханический оператор, а ⟨ A ⟩ — его математическое ожидание .

Это наиболее очевидно в представлении Гейзенберга о квантовой механике, где оно представляет собой всего лишь математическое ожидание уравнения движения Гейзенберга. Он обеспечивает математическую поддержку принципа соответствия .

Причина в том, что теорема Эренфеста тесно связана с теоремой Лиувилля о гамильтоновой механике , в которой используется скобка Пуассона вместо коммутатора Дирака . Эмпирическое правило предполагает, что утверждения в квантовой механике, содержащие коммутатор, соответствуют утверждениям в классической механике, где коммутатор заменяется скобкой Пуассона, умноженной на iħ . Это приводит к тому, что средние значения оператора подчиняются соответствующим классическим уравнениям движения при условии, что гамильтониан не более чем квадратичен по координатам и импульсам. В противном случае эволюционные уравнения все еще могут выполняться приблизительно при условии, что флуктуации малы.

Отношение к классической физике

Хотя на первый взгляд может показаться, что теорема Эренфеста утверждает, что значения квантовомеханического ожидания подчиняются классическим уравнениям движения Ньютона, на самом деле это не так. Если пара $(\langle x\rangle ,\langle p\rangle )$ если бы удовлетворялся второй закон Ньютона, правая часть второго уравнения должна была бы быть равна $$-V'\left(\left\langle x\right\rangle \right),$$что обычно не совпадает с $$-\left\langle V'(x)\right\rangle .$$Если, например, потенциал $V(x)$ является кубическим (т.е. пропорциональным $x^{3}$), затем $V'$ квадратично (пропорционально $x^{2}$). Это означает, что в случае второго закона Ньютона правая часть будет иметь вид $\langle x\rangle ^{2}$, а в теореме Эренфеста оно имеет вид $\langle x^{2}\rangle$. Разница между этими двумя величинами представляет собой квадрат неопределенности в $x$ и поэтому не равно нулю.

Исключение имеет место в случае, когда классические уравнения движения линейны, т. е. когда $V$ является квадратичным и $V'$ является линейным. В этом особом случае $V'\left(\left\langle x\right\rangle \right)$ и $\left\langle V'(x)\right\rangle$ согласен. Таким образом, в случае квантового гармонического осциллятора ожидаемое положение и ожидаемый импульс точно следуют классическим траекториям.

Для общих систем, если волновая функция сильно сконцентрирована вокруг точки $x_{0}$, затем $V'\left(\left\langle x\right\rangle \right)$ и $\left\langle V'(x)\right\rangle$ будет почти одинаковым, так как оба будут примерно равны $V'(x_{0})$. В этом случае ожидаемое положение и ожидаемый импульс будут примерно следовать классическим траекториям, по крайней мере, до тех пор, пока волновая функция остается локализованной в своем положении.

Вывод в картине Шрёдингера

Предположим, некоторая система в настоящий момент находится в квантовом состоянии Φ . Если мы хотим узнать мгновенную производную по времени математического ожидания A , то есть по определению $${\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}\langle A\rangle &={\frac {d}{dt}}\int \Phi ^{*}A\Phi \,d^{3}x\\&=\int \left({\frac {\partial \Phi ^{*}}{\partial t}}\right)A\Phi \,d^{3}x+\int \Phi ^{*}\left({\frac {\partial A}{\partial t}}\right)\Phi \,d^{3}x+\int \Phi ^{*}A\left({\frac {\partial \Phi }{\partial t}}\right)\,d^{3}x\\&=\int \left({\frac {\partial \Phi ^{*}}{\partial t}}\right)A\Phi \,d^{3}x+\left\langle {\frac {\partial A}{\partial t}}\right\rangle +\int \Phi ^{*}A\left({\frac {\partial \Phi }{\partial t}}\right)\,d^{3}x\end{aligned}}$$где мы интегрируемся по всему пространству. Если мы применим уравнение Шредингера , мы обнаружим, что $${\frac {\partial \Phi }{\partial t}}={\frac {1}{i\hbar }}H\Phi$$

Взяв комплексно-сопряженное, находим $${\frac {\partial \Phi ^{*}}{\partial t}}=-{\frac {1}{i\hbar }}\Phi ^{*}H^{*}=-{\frac {1}{i\hbar }}\Phi ^{*}H.$$

Примечание Н = Н  ^∗ поскольку гамильтониан эрмитов . , Подставив это в приведенное выше уравнение, мы имеем

$${\frac {d}{dt}}\langle A\rangle ={\frac {1}{i\hbar }}\int \Phi ^{*}(AH-HA)\Phi ~d^{3}x+\left\langle {\frac {\partial A}{\partial t}}\right\rangle ={\frac {1}{i\hbar }}\langle [A,H]\rangle +\left\langle {\frac {\partial A}{\partial t}}\right\rangle .$$

Часто (но не всегда) оператор A не зависит от времени, поэтому его производная равна нулю, и мы можем игнорировать последний член.

Вывод в картине Гейзенберга

В картине Гейзенберга вывод прост. Картина Гейзенберга переносит временную зависимость системы на операторов, а не на векторы состояния. Начнем с уравнения движения Гейзенберга: $${\frac {d}{dt}}A(t)={\frac {\partial A(t)}{\partial t}}+{\frac {1}{i\hbar }}[A(t),H],$$Теорема Эренфеста следует просто из проецирования уравнения Гейзенберга на $|\Psi \rangle$ справа и $\langle \Psi |$ слева или взяв математическое ожидание, поэтому $$\left\langle \Psi \left|{\frac {d}{dt}}A(t)\right|\Psi \right\rangle =\left\langle \Psi \left|{\frac {\partial A(t)}{\partial t}}\right|\Psi \right\rangle +\left\langle \Psi \left|{\frac {1}{i\hbar }}[A(t),H]\right|\Psi \right\rangle ,$$

Можно потянуть ⁠ d / dt ⁠ из первого члена, поскольку векторы состояния больше не зависят от времени в картине Гейзенберга. Поэтому, $${\frac {d}{dt}}\langle A(t)\rangle =\left\langle {\frac {\partial A(t)}{\partial t}}\right\rangle +{\frac {1}{i\hbar }}\left\langle [A(t),H]\right\rangle .$$

Общий пример

Для самого общего примера массивной частицы, движущейся в потенциале , гамильтониан просто $$H(x,p,t)={\frac {p^{2}}{2m}}+V(x,t)$$где x — положение частицы.

Предположим, мы хотим узнать мгновенное изменение ожидания импульса p . Используя теорему Эренфеста, имеем $${\frac {d}{dt}}\langle p\rangle ={\frac {1}{i\hbar }}\langle [p,H]\rangle +\left\langle {\frac {\partial p}{\partial t}}\right\rangle ={\frac {1}{i\hbar }}\langle [p,V(x,t)]\rangle ,$$

поскольку оператор p коммутирует сам с собой и не зависит от времени. Раскрыв правую часть и заменив p на − iħ ∇ , получим $${\frac {d}{dt}}\langle p\rangle =\int \Phi ^{*}V(x,t){\frac {\partial }{\partial x}}\Phi ~dx-\int \Phi ^{*}{\frac {\partial }{\partial x}}(V(x,t)\Phi )~dx~.$$

После применения правила произведения ко второму члену мы имеем $${\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}\langle p\rangle &=\int \Phi ^{*}V(x,t){\frac {\partial }{\partial x}}\Phi ~dx-\int \Phi ^{*}\left({\frac {\partial }{\partial x}}V(x,t)\right)\Phi ~dx-\int \Phi ^{*}V(x,t){\frac {\partial }{\partial x}}\Phi ~dx\\&=-\int \Phi ^{*}\left({\frac {\partial }{\partial x}}V(x,t)\right)\Phi ~dx\\&=\left\langle -{\frac {\partial }{\partial x}}V(x,t)\right\rangle =\langle F\rangle .\end{aligned}}$$

Как объяснялось во введении, этот результат не говорит о том, что пара $(\langle X\rangle ,\langle P\rangle )$ удовлетворяет второму закону Ньютона , поскольку правая часть формулы равна $\langle F(x,t)\rangle ,$ скорее, чем $F(\langle X\rangle ,t)$. Тем не менее, как объяснялось во введении, для состояний, которые сильно локализованы в пространстве, ожидаемое положение и импульс будут примерно следовать классическим траекториям, что можно понимать как пример принципа соответствия .

Аналогичным образом мы можем получить мгновенное изменение математического ожидания позиции. $${\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}\langle x\rangle &={\frac {1}{i\hbar }}\langle [x,H]\rangle +\left\langle {\frac {\partial x}{\partial t}}\right\rangle \\[5pt]&={\frac {1}{i\hbar }}\left\langle \left[x,{\frac {p^{2}}{2m}}+V(x,t)\right]\right\rangle +0\\[5pt]&={\frac {1}{i\hbar }}\left\langle \left[x,{\frac {p^{2}}{2m}}\right]\right\rangle \\[5pt]&={\frac {1}{i\hbar 2m}}\left\langle [x,p]{\frac {d}{dp}}p^{2}\right\rangle \\[5pt]&={\frac {1}{i\hbar 2m}}\langle i\hbar 2p\rangle \\[5pt]&={\frac {1}{m}}\langle p\rangle \end{aligned}}$$

Этот результат фактически находится в точном соответствии с классическим уравнением.

Вывод уравнения Шрёдингера из теорем Эренфеста

Выше было установлено, что теоремы Эренфеста являются следствиями уравнения Шрёдингера . Однако верно и обратное: уравнение Шредингера можно вывести из теорем Эренфеста. Мы начинаем с $${\begin{aligned}m{\frac {d}{dt}}\left\langle \Psi (t)\right|{\hat {x}}\left|\Psi (t)\right\rangle &=\left\langle \Psi (t)\right|{\hat {p}}\left|\Psi (t)\right\rangle ,\\[5pt]{\frac {d}{dt}}\left\langle \Psi (t)\right|{\hat {p}}\left|\Psi (t)\right\rangle &=\left\langle \Psi (t)\right|-V'({\hat {x}})\left|\Psi (t)\right\rangle .\end{aligned}}$$

Применение правила произведения приводит к $${\begin{aligned}\left\langle {\frac {d\Psi }{dt}}{\Big |}{\hat {x}}{\Big |}\Psi \right\rangle +\left\langle \Psi {\Big |}{\hat {x}}{\Big |}{\frac {d\Psi }{dt}}\right\rangle &=\left\langle \Psi {\Big |}{\frac {\hat {p}}{m}}{\Big |}\Psi \right\rangle ,\\[5pt]\left\langle {\frac {d\Psi }{dt}}{\Big |}{\hat {p}}{\Big |}\Psi \right\rangle +\left\langle \Psi {\Big |}{\hat {p}}{\Big |}{\frac {d\Psi }{dt}}\right\rangle &=\langle \Psi |-V'({\hat {x}})|\Psi \rangle ,\end{aligned}}$$Здесь применим теорему Стоуна , используя Ĥ для обозначения квантового генератора перевода времени. Следующий шаг — показать, что это то же самое, что и оператор Гамильтона, используемый в квантовой механике. Теорема Стоуна подразумевает $$i\hbar \left|{\frac {d\Psi }{dt}}\right\rangle ={\hat {H}}|\Psi (t)\rangle ~,$$где ħ введено как константа нормировки к размерности баланса. систему коммутаторных уравнений для Ĥ Поскольку эти тождества должны выполняться для любого начального состояния, то усреднение можно опустить и получить : $$im[{\hat {H}},{\hat {x}}]=\hbar {\hat {p}},\qquad i[{\hat {H}},{\hat {p}}]=-\hbar V'({\hat {x}}).$$

Предполагая, что наблюдаемые координаты и импульса подчиняются каноническому коммутационному соотношению [ x̂ , p̂ ] = iħ . Параметр ${\hat {H}}=H({\hat {x}},{\hat {p}})$, уравнения коммутатора можно преобразовать в дифференциальные уравнения $$m{\frac {\partial H(x,p)}{\partial p}}=p,\qquad {\frac {\partial H(x,p)}{\partial x}}=V'(x),$$решением которого является знакомый квантовый гамильтониан $${\hat {H}}={\frac {{\hat {p}}^{2}}{2m}}+V({\hat {x}}).$$

Таким образом, уравнение Шредингера было получено из теорем Эренфеста путем предположения канонического коммутационного соотношения между координатой и импульсом. Если предположить, что координата и импульс коммутируют, тот же вычислительный метод приводит к классической механике Купмана – фон Неймана , которая представляет собой в гильбертовом пространстве формулировку классической механики . Следовательно, этот вывод, а также вывод механики Купмана – фон Неймана показывают, что существенное различие между квантовой и классической механикой сводится к значению коммутатора [ x̂ , p̂ ] .

Последствия теоремы Эренфеста для систем с классической хаотической динамикой обсуждаются в статье Scholarpedia « Время и хаос Эренфеста» . Показано, что из-за экспоненциальной нестабильности классических траекторий время Эренфеста, на котором существует полное соответствие между квантовой и классической эволюцией, логарифмически коротко и пропорционально логарифму типичного квантового числа. Для случая интегрируемой динамики этот временной масштаб гораздо больше и пропорционален определенной степени квантового числа.

Ссылки

• Холл, Брайан К. (2013), Квантовая теория для математиков , Тексты для выпускников по математике, том. 267, Спрингер, ISBN  978-1461471158