Формулировка интеграла по траектории

Эта статья о формулировке квантовой механики. Интегралы по траектории, также известные как интегралы по линиям или контурам, см. в разделе « Интеграл по линии» .

Формулировка интеграла по траекториям — это описание в квантовой механике , которое обобщает принцип стационарного действия классической механики . Он заменяет классическое понятие единственной, уникальной классической траектории системы суммой или функциональным интегралом по бесконечности квантово-механически возможных траекторий для вычисления квантовой амплитуды .

Эта формулировка оказалась решающей для последующего развития теоретической физики , поскольку явную лоренц-ковариацию (временные и пространственные компоненты величин входят в уравнения одинаковым образом) легче достичь, чем в операторном формализме канонического квантования . В отличие от предыдущих методов, интеграл по путям позволяет легко менять координаты между очень разными каноническими описаниями одной и той же квантовой системы. Другое преимущество состоит в том, что на практике легче угадать правильную форму лагранжиана теории , который естественным образом входит в интегралы по путям (для взаимодействий определенного типа это координатное пространство или интегралы по путям Фейнмана ), чем гамильтониан . Возможные недостатки подхода включают то, что унитарность (это связано с сохранением вероятности; вероятности всех физически возможных результатов должны в сумме составлять единицу) S -матрицы неясна в формулировке. Подход, основанный на интеграле по траекториям, оказался эквивалентным другим формализмам квантовой механики и квантовой теории поля. Таким образом, по выводя один из подходов из другого, проблемы, связанные с тем или иным подходом (как показано на примере ковариации Лоренца или унитарности), исчезают.

Интеграл по путям также связывает квантовые и стохастические процессы, и это послужило основой для грандиозного синтеза 1970-х годов, который объединил квантовую теорию поля со статистической теорией поля флуктуирующего поля вблизи фазового перехода второго рода . Уравнение Шрёдингера — это уравнение диффузии с мнимой константой диффузии, а интеграл по путям — аналитическое продолжение метода суммирования всех возможных случайных блужданий .

Основная идея формулировки интеграла по траекториям восходит к Норберту Винеру , который ввел интеграл Винера для решения задач диффузии и броуновского движения . Эта идея была расширена до использования лагранжиана в квантовой механике Полем Дираком , который в своей статье 1933 года высказал идеи, которые привели к формулировке интеграла по траекториям. Полный метод был разработан в 1948 году Ричардом Фейнманом . Некоторые предварительные сведения были разработаны ранее в его докторской работе под руководством Джона Арчибальда Уилера . Первоначальная мотивация проистекала из желания получить квантово-механическую формулировку теории поглотителя Уилера-Фейнмана, используя лагранжиан (а не гамильтониан ) в качестве отправной точки.

Это пять из бесконечного множества путей, которыми может двигаться частица из точки А в момент времени t в точку Б в момент времени t'(>t). Пути, которые самопересекаются или идут назад во времени, не допускаются.

действия

В квантовой механике, как и в классической механике, гамильтониан является генератором сдвигов времени. Это означает, что состояние в несколько более поздний момент времени отличается от состояния в текущий момент в результате действия оператора Гамильтона (умноженного на отрицательную мнимую единицу , − i ). Для состояний с определенной энергией это утверждение соотношения де Бройля между частотой и энергией, и общее соотношение согласуется с этим плюс принципом суперпозиции .

Гамильтониан в классической механике получен из лагранжиана , который является более фундаментальной величиной по сравнению со специальной теорией относительности . Гамильтониан указывает, как двигаться вперед во времени, но время в разных системах отсчета разное . Лагранжиан — это скаляр Лоренца , а гамильтониан — временная компонента четырехвектора . Таким образом, гамильтониан различен в разных системах отсчета, и этот тип симметрии не проявляется в исходной формулировке квантовой механики.

Гамильтониан является функцией положения и импульса в определенный момент времени и определяет положение и импульс немного позже. Лагранжиан является функцией положения сейчас и положения немного позже (или, что то же самое для бесконечно малых временных промежутков, он является функцией положения и скорости). Связь между ними осуществляется преобразованием Лежандра , а условием, определяющим классические уравнения движения ( уравнения Эйлера-Лагранжа ), является то, что действие имеет экстремум.

В квантовой механике преобразование Лежандра трудно интерпретировать, поскольку движение не происходит по определенной траектории. В классической механике при дискретизации по времени преобразование Лежандра принимает вид

$\varepsilon H=p(t){\big (}q(t+\varepsilon )-q(t){\big )}-\varepsilon L$

и

$p={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}},$

где частная производная по ${\dot {q}}$ сохраняет q ( t + ε ) фиксированным. Обратное преобразование Лежандра имеет вид

$\varepsilon L=\varepsilon p{\dot {q}}-\varepsilon H,$

где

${\dot {q}}={\frac {\partial H}{\partial p}},$

и частная производная теперь относится к p при фиксированном q .

В квантовой механике состояние представляет собой суперпозицию разных состояний с разными значениями q или разными значениями p , а величины p и q можно интерпретировать как некоммутирующие операторы. Оператор p определен только в состояниях, неопределенных относительно q . Итак, рассмотрим два состояния, разделенные во времени, и действуем с помощью оператора, соответствующего лагранжиану:

$e^{i{\big [}p{\big (}q(t+\varepsilon )-q(t){\big )}-\varepsilon H(p,q){\big ]}}.$

Если умножения, подразумеваемые в этой формуле, интерпретировать как матричные умножения, первый множитель будет равен

$e^{-ipq(t)},$

и если это также интерпретировать как умножение матрицы, сумма по всем состояниям интегрируется по всем q ( t ) , и поэтому требуется преобразование Фурье в q ( t ), чтобы изменить базис на p ( t ) . Это действие в гильбертовом пространстве – изменение базиса на p во время t .

Далее идет

$e^{-i\varepsilon H(p,q)},$

или эволюционировать на бесконечно малое время в будущее .

Наконец, последний фактор в этой интерпретации —

$e^{ipq(t+\varepsilon )},$

что означает изменение базы обратно на q позже .

Это не сильно отличается от обычной эволюции во времени: фактор H содержит всю динамическую информацию – он толкает состояние вперед во времени. Первая и последняя части представляют собой просто преобразования Фурье для перехода к чистому базису q из промежуточного базиса p .

Другой способ сказать это: поскольку гамильтониан естественным образом является функцией p и q , возведение этой величины в степень и изменение базиса с p на q матричный элемент H на каждом шаге позволяет выразить как простую функцию на каждом пути. Эта функция является квантовым аналогом классического действия. Это наблюдение принадлежит Полю Дираку .

Дирак далее отметил, что можно возвести в квадрат оператор эволюции во времени в S- представлении:

$e^{i\varepsilon S},$

и это дает оператор временной эволюции между временем t и временем t + 2 ε . В то время как в представлении H величина, суммируемая по промежуточным состояниям, является неясным матричным элементом, в представлении S она переинтерпретируется как величина, связанная с путем. В пределе, когда берется большая степень этого оператора, восстанавливается полная квантовая эволюция между двумя состояниями: ранним с фиксированным значением q (0) и более поздним с фиксированным значением q ( t ) . Результатом является сумма по путям с фазой, которая является квантовым действием.

Классический предел

Важно отметить, что Дирак определил влияние классического предела на квантовую форму принципа действия:

...мы видим, что подынтегральная функция в (11) должна иметь вид e ^{если / ч} , где F — функция от q _T , q ₁ , q ₂ , … q _m , q _t , которая остается конечной при стремлении h к нулю. Давайте теперь представим себе, что один из промежуточных qs , скажем, , _qk изменяется непрерывно, в то время как другие фиксированы. Ввиду малости h мы будем тогда вообще иметь чрезвычайно быстрое изменение F / h . Это означает, что э ^{если / ч} будет периодически изменяться с очень большой частотой около нулевого значения, в результате чего его интеграл будет практически равен нулю. в области интегрирования qk _{Таким образом ,} для которой сравнительно большое изменение qk _{единственной важной частью} вызывает лишь очень небольшое изменение F. является та , окрестностью точки, для которой F стационарна относительно малых изменений qk _{Эта часть является} . Мы можем применить этот аргумент к каждой из переменных интегрирования... и получить результат, согласно которому единственной важной частью в области интегрирования является та, для которой F является стационарной при небольших изменениях всех промежуточных q s. ... Мы видим, что F имеет классический аналог ∫ ^т
_T L dt , которая представляет собой просто функцию действия, которую классическая механика требует, чтобы она была стационарной при небольших изменениях всех промежуточных q s. Это показывает, как уравнение (11) переходит в классические результаты, когда h становится чрезвычайно малым.

- Дирак (1933), с. 69

То есть в пределе действия, большом по сравнению с постоянной Планка ħ - классическом пределе, - в интеграле по путям доминируют решения, находящиеся в окрестности стационарных точек действия. Классический путь естественным образом возникает в классическом пределе.

Интерпретация Фейнмана

Работа Дирака не давала точных указаний по вычислению суммы по путям, и он не показал, что можно восстановить уравнение Шредингера или канонические коммутационные соотношения из этого правила . Это сделал Фейнман.

Фейнман показал, что квантовое действие Дирака в большинстве представляющих интерес случаев было просто равно классическому действию, соответствующим образом дискретизированному. Это означает, что классическое действие — это фаза, приобретенная в результате квантовой эволюции между двумя фиксированными конечными точками. Он предложил восстановить всю квантовую механику из следующих постулатов:

1. Вероятность . события определяется квадратом модуля комплексного числа, называемого «амплитудой вероятности»
2. Амплитуда вероятности определяется путем сложения вкладов всех путей в конфигурационном пространстве.
3. Вклад пути пропорционален e ^{IS / ч} , где S — действие , задаваемое интегралом по времени от лагранжиана вдоль пути.

Чтобы найти общую амплитуду вероятности для данного процесса, необходимо сложить или интегрировать амплитуду третьего постулата по пространству всех возможных путей системы между начальным и конечным состояниями, включая те, которые абсурд по классическим меркам. При расчете амплитуды вероятности перехода отдельной частицы из одной пространственно-временной координаты в другую правильно включать пути, по которым частица описывает сложные завитки , кривые, по которым частица вылетает в космическое пространство и снова летит обратно, и и так далее. Интеграл по траектории присваивает всем этим амплитудам одинаковый вес , но варьирует фазу или аргумент комплексного числа . Вклады траекторий, сильно отличающихся от классической траектории, могут быть подавлены интерференцией (см. ниже).

Фейнман показал, что эта формулировка квантовой механики эквивалентна каноническому подходу к квантовой механике, когда гамильтониан не более чем квадратичен по импульсу. Амплитуда, рассчитанная по принципам Фейнмана, также будет подчиняться уравнению Шрёдингера для гамильтониана, соответствующего данному действию.

Формулировка квантовой теории поля с интегралом по путям представляет амплитуду перехода (соответствующую классической корреляционной функции ) как взвешенную сумму всех возможных историй системы от начального до конечного состояния. Диаграмма Фейнмана представляет собой графическое представление пертурбативного вклада в амплитуду перехода.

Интеграл по траекториям в квантовой механике

Вывод временных интервалов

Основная статья: Связь между уравнением Шредингера и формулировкой интеграла по путям квантовой механики

Один из распространенных подходов к выводу формулы интеграла по пути — разделить временной интервал на небольшие части. Как только это будет сделано, формула произведения Троттера говорит нам, что некоммутативностью операторов кинетической и потенциальной энергии можно пренебречь.

Для частицы в гладком потенциале интеграл по путям аппроксимируется зигзагообразными путями, которые в одном измерении являются произведением обычных интегралов. Для движения частицы из положения x _a в момент времени t _a в положение x _b в момент времени t _b временная последовательность

$t_{a}=t_{0}<t_{1}<\cdots <t_{n-1}<t_{n}<t_{n+1}=t_{b}$

можно разделить на n + 1 меньших сегментов t _j − t _{j − 1} , где j = 1, ..., n + 1 фиксированной продолжительности.

$\varepsilon =\Delta t={\frac {t_{b}-t_{a}}{n+1}}.$

Этот процесс называется квантованием времени .

Приближение интеграла по путям можно вычислить как пропорциональное

$\int \limits _{-\infty }^{+\infty }\cdots \int \limits _{-\infty }^{+\infty }\exp \left({\frac {i}{\hbar }}\int _{t_{a}}^{t_{b}}L{\big (}x(t),v(t){\big )}\,dt\right)\,dx_{0}\,\cdots \,dx_{n},$

где L ( x , v ) - лагранжиан одномерной системы с рассматриваемой переменной положения x ( t ) и скоростью v = ẋ ( t ) (см. ниже), а dx _j соответствует положению на j -м временном шаге , если интеграл по времени аппроксимируется суммой n членов.

В пределе n → ∞ это становится функциональным интегралом , который, за исключением несущественного множителя, является прямым произведением амплитуд вероятности ⟨ x _b , t _b | x _a , t _a ⟩ (точнее, поскольку нужно работать с непрерывным спектром, соответствующими плотностями), чтобы найти квантово-механическую частицу в t _a в начальном состоянии x _a и в t _b в конечном состоянии x _b .

Фактически L — классический лагранжиан рассматриваемой одномерной системы:

$L(x,{\dot {x}})=T-V={\frac {1}{2}}m|{\dot {x}}|^{2}-V(x)$

а упомянутое выше «зигзагирование» соответствует появлению слагаемых

$\exp \left({\frac {i}{\hbar }}\varepsilon \sum _{j=1}^{n+1}L\left({\tilde {x}}_{j},{\frac {x_{j}-x_{j-1}}{\varepsilon }},j\right)\right)$

в сумме Римана, аппроксимирующей интеграл по времени, которые окончательно интегрируются по x ₁ до x _n с мерой интегрирования dx ₁ ... dx _n , x̃ _j - произвольное значение интервала, соответствующего j , например, его центр, Икс _j + Икс _{j -1} / 2 .

Таким образом, в отличие от классической механики вклад вносит не только стационарный путь, но фактически все виртуальные пути между начальной и конечной точкой.

Интеграл по пути

С точки зрения волновой функции в представлении положения формула интеграла по траектории выглядит следующим образом:

$\psi (x,t)={\frac {1}{Z}}\int _{\mathbf {x} (0)=x}{\mathcal {D}}\mathbf {x} \,e^{iS[\mathbf {x} ,{\dot {\mathbf {x} }}]}\psi _{0}(\mathbf {x} (t))\,$

где ${\mathcal {D}}\mathbf {x}$ обозначает интегрирование по всем путям $\mathbf {x}$ с $\mathbf {x} (0)=x$ и где $Z$ является коэффициентом нормализации. Здесь $S$ это действие, заданное

$S[\mathbf {x} ,{\dot {\mathbf {x} }}]=\int dt\,L(\mathbf {x} (t),{\dot {\mathbf {x} }}(t))$

Продолжительность: 14 секунд. 0:14

На диаграмме показан вклад свободной частицы в интеграл по пути для набора путей, в конечном итоге рисующий спираль Корню .

Свободная частица

Представление интеграла по пути дает квантовую амплитуду, идущую от точки x к точке y, как интеграл по всем путям. Для действия свободных частиц (для простоты пусть m = 1 , ħ = 1 )

$S=\int {\frac {{\dot {x}}^{2}}{2}}\,dt,$

интеграл можно вычислить явно.

Для этого удобно начать без множителя i в экспоненте, чтобы большие отклонения подавлялись малыми числами, а не отменой колебательных вкладов. Амплитуда (или ядро) гласит:

$K(x-y;T)=\int _{x(0)=x}^{x(T)=y}\exp \left(-\int _{0}^{T}{\frac {{\dot {x}}^{2}}{2}}\,dt\right)\,{\mathcal {D}}x.$

Разбиение интеграла на временные интервалы:

$K(x,y;T)=\int _{x(0)=x}^{x(T)=y}\prod _{t}\exp \left(-{\tfrac {1}{2}}\left({\frac {x(t+\varepsilon )-x(t)}{\varepsilon }}\right)^{2}\varepsilon \right)\,{\mathcal {D}}x,$

где D интерпретируется как конечный набор интеграций для каждого целого числа, кратного ε . Каждый фактор в произведении является гауссовой функцией от x ( t + ε ) с центром в x ( t ) с дисперсией ε . Кратные интегралы представляют собой повторяющуюся свертку этого гауссова G _ε с его копиями в соседние моменты времени:

$K(x-y;T)=G_{\varepsilon }*G_{\varepsilon }*\cdots *G_{\varepsilon },$

где количество витков Т / ε . Результат легко оценить, приняв преобразование Фурье с обеих сторон, так что свертки становятся умножениями:

${\tilde {K}}(p;T)={\tilde {G}}_{\varepsilon }(p)^{T/\varepsilon }.$

Преобразование Фурье гауссовой G — это еще одна гауссиана обратной дисперсии:

${\tilde {G}}_{\varepsilon }(p)=e^{-{\frac {\varepsilon p^{2}}{2}}},$

и результат

${\tilde {K}}(p;T)=e^{-{\frac {Tp^{2}}{2}}}.$

Преобразование Фурье дает K , и оно снова является гауссовым с обратной дисперсией:

$K(x-y;T)\propto e^{-{\frac {(x-y)^{2}}{2T}}}.$

Константа пропорциональности на самом деле не определяется методом квантования времени, определяется только соотношение значений для различных вариантов конечной точки. Константу пропорциональности следует выбирать так, чтобы между каждыми двумя временными интервалами временная эволюция была квантово-механически унитарной, но более наглядный способ исправить нормализацию — рассматривать интеграл по путям как описание случайного процесса.

Результат имеет вероятностную интерпретацию. Сумму по всем путям экспоненциального множителя можно рассматривать как сумму по каждому пути вероятности выбора этого пути. Вероятность — это произведение по каждому сегменту вероятности выбора этого сегмента, так что каждый сегмент выбирается вероятностно независимо. Тот факт, что ответом является гауссово распространение линейно во времени, является центральной предельной теоремой , которую можно интерпретировать как первую историческую оценку статистического интеграла по путям.

Вероятностная интерпретация дает естественный выбор нормировки. Интеграл по путям следует определить так, чтобы

$\int K(x-y;T)\,dy=1.$

Это условие нормализует гауссиан и дает ядро, подчиняющееся уравнению диффузии:

${\frac {d}{dt}}K(x;T)={\frac {\nabla ^{2}}{2}}K.$

Для осциллирующих интегралов по траектории, имеющих i в числителе, срез времени дает свернутые гауссианы, как и раньше. Однако теперь продукт свертки является незначительно сингулярным, поскольку для оценки осциллирующих интегралов требуются строгие ограничения. Чтобы четко определить факторы, проще всего добавить небольшую мнимую часть к приращению времени ε . Это тесно связано с вращением Вика . Тогда тот же аргумент свертки, что и раньше, дает ядро ​​распространения:

$K(x-y;T)\propto e^{\frac {i(x-y)^{2}}{2T}},$

которая с той же нормировкой, что и раньше (а не с нормализацией суммы квадратов - эта функция имеет расходящуюся норму), подчиняется свободному уравнению Шредингера:

${\frac {d}{dt}}K(x;T)=i{\frac {\nabla ^{2}}{2}}K.$

Это означает, что любая суперпозиция K также будет подчиняться тому же уравнению по линейности. Определение

$\psi _{t}(y)=\int \psi _{0}(x)K(x-y;t)\,dx=\int \psi _{0}(x)\int _{x(0)=x}^{x(t)=y}e^{iS}\,{\mathcal {D}}x,$

тогда ψ _t подчиняется свободному уравнению Шрёдингера так же, как и K :

$i{\frac {\partial }{\partial t}}\psi _{t}=-{\frac {\nabla ^{2}}{2}}\psi _{t}.$

Простой гармонический генератор

Лагранжиан для простого гармонического осциллятора равен

${\mathcal {L}}={\tfrac {1}{2}}m{\dot {x}}^{2}-{\tfrac {1}{2}}m\omega ^{2}x^{2}.$

Запишите его траекторию x ( t ) как классическую траекторию плюс некоторое возмущение, x ( t ) = ( ₎ t + δx ( t ) , а действие как S = Sc _xc + δS . Классическую траекторию можно записать как

$x_{\text{c}}(t)=x_{i}{\frac {\sin \omega (t_{f}-t)}{\sin \omega (t_{f}-t_{i})}}+x_{f}{\frac {\sin \omega (t-t_{i})}{\sin \omega (t_{f}-t_{i})}}.$

Эта траектория дает классическое действие

${\begin{aligned}S_{\text{c}}&=\int _{t_{i}}^{t_{f}}{\mathcal {L}}\,dt=\int _{t_{i}}^{t_{f}}\left({\tfrac {1}{2}}m{\dot {x}}^{2}-{\tfrac {1}{2}}m\omega ^{2}x^{2}\right)\,dt\\[6pt]&={\frac {1}{2}}m\omega \left({\frac {(x_{i}^{2}+x_{f}^{2})\cos \omega (t_{f}-t_{i})-2x_{i}x_{f}}{\sin \omega (t_{f}-t_{i})}}\right)~.\end{aligned}}$

Далее разложим отклонение от классического пути в ряд Фурье и вычислим вклад в действие δS , что дает

$S=S_{\text{c}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\tfrac {1}{2}}a_{n}^{2}{\frac {m}{2}}\left({\frac {(n\pi )^{2}}{t_{f}-t_{i}}}-\omega ^{2}(t_{f}-t_{i})\right).$

Это означает, что распространитель

${\begin{aligned}K(x_{f},t_{f};x_{i},t_{i})&=Qe^{\frac {iS_{\text{c}}}{\hbar }}\prod _{j=1}^{\infty }{\frac {j\pi }{\sqrt {2}}}\int da_{j}\exp {\left({\frac {i}{2\hbar }}a_{j}^{2}{\frac {m}{2}}\left({\frac {(j\pi )^{2}}{t_{f}-t_{i}}}-\omega ^{2}(t_{f}-t_{i})\right)\right)}\\[6pt]&=e^{\frac {iS_{\text{c}}}{\hbar }}Q\prod _{j=1}^{\infty }\left(1-\left({\frac {\omega (t_{f}-t_{i})}{j\pi }}\right)^{2}\right)^{-{\frac {1}{2}}}\end{aligned}}$

для некоторой нормализации

$Q={\sqrt {\frac {m}{2\pi i\hbar (t_{f}-t_{i})}}}~.$

Используя представление функции sinc с бесконечным произведением ,

$\prod _{j=1}^{\infty }\left(1-{\frac {x^{2}}{j^{2}}}\right)={\frac {\sin \pi x}{\pi x}},$

пропагатор можно записать как

$K(x_{f},t_{f};x_{i},t_{i})=Qe^{\frac {iS_{\text{c}}}{\hbar }}{\sqrt {\frac {\omega (t_{f}-t_{i})}{\sin \omega (t_{f}-t_{i})}}}=e^{\frac {iS_{c}}{\hbar }}{\sqrt {\frac {m\omega }{2\pi i\hbar \sin \omega (t_{f}-t_{i})}}}.$

Пусть Т т знак равно _ж - т _я . Этот пропагатор можно записать в терминах собственных состояний энергии как

${\begin{aligned}K(x_{f},t_{f};x_{i},t_{i})&=\left({\frac {m\omega }{2\pi i\hbar \sin \omega T}}\right)^{\frac {1}{2}}\exp {\left({\frac {i}{\hbar }}{\tfrac {1}{2}}m\omega {\frac {(x_{i}^{2}+x_{f}^{2})\cos \omega T-2x_{i}x_{f}}{\sin \omega T}}\right)}\\[6pt]&=\sum _{n=0}^{\infty }\exp {\left(-{\frac {iE_{n}T}{\hbar }}\right)}\psi _{n}(x_{f})\psi _{n}(x_{i})^{*}~.\end{aligned}}$

Используя тождества i sin ωT = 1/2 2е ^iωT (1 - и ^{−2 iωT} ) и cos ωT = 1/2 2е ^iωT (1 + и ^{−2 iωT} ) , это составляет

$K(x_{f},t_{f};x_{i},t_{i})=\left({\frac {m\omega }{\pi \hbar }}\right)^{\frac {1}{2}}e^{\frac {-i\omega T}{2}}\left(1-e^{-2i\omega T}\right)^{-{\frac {1}{2}}}\exp {\left(-{\frac {m\omega }{2\hbar }}\left(\left(x_{i}^{2}+x_{f}^{2}\right){\frac {1+e^{-2i\omega T}}{1-e^{-2i\omega T}}}-{\frac {4x_{i}x_{f}e^{-i\omega T}}{1-e^{-2i\omega T}}}\right)\right)}.$

Можно поглотить все термины после первой e ^{− iωT /2} в R ( T ) , тем самым получив

$K(x_{f},t_{f};x_{i},t_{i})=\left({\frac {m\omega }{\pi \hbar }}\right)^{\frac {1}{2}}e^{\frac {-i\omega T}{2}}\cdot R(T).$

Наконец, можно разложить R ( T ) по степеням e ^{− iωT} : Все члены в этом расширении умножаются на e. ^{− iωT /2} множитель впереди, что дает члены вида

$e^{\frac {-i\omega T}{2}}e^{-in\omega T}=e^{-i\omega T\left({\frac {1}{2}}+n\right)}\quad {\text{for }}n=0,1,2,\ldots .$

Сравнение с приведенным выше разложением собственных состояний дает стандартный энергетический спектр простого гармонического осциллятора:

$E_{n}=\left(n+{\tfrac {1}{2}}\right)\hbar \omega ~.$

См. также: Пропагатор § Основные примеры: распространитель свободных частиц и гармонический осциллятор , а также ядро ​​Мелера.

Кулоновский потенциал

Однако приближение Фейнмана с квантованием времени не существует для наиболее важных квантово-механических интегралов по траекториям атомов из-за сингулярности кулоновского потенциала . и ² / r в начале координат. Только после замены времени t другим параметром псевдовремени, зависящим от пути.

$s=\int {\frac {dt}{r(t)}}$

сингулярность удалена и существует квантованное по времени приближение, которое точно интегрируемо, поскольку его можно сделать гармоническим с помощью простого преобразования координат, как это было обнаружено в 1979 году Исмаилом Хакки Дуру и Хагеном Кляйнертом . Комбинация преобразования времени, зависящего от пути, и преобразования координат является важным инструментом для решения многих интегралов по пути и обычно называется преобразованием Дуру – Клейнерта .

Уравнение Шрёдингера

Основная статья: Связь между уравнением Шредингера и формулировкой интеграла по путям квантовой механики

Интеграл по путям воспроизводит уравнение Шредингера для начального и конечного состояния, даже когда присутствует потенциал. В этом легче всего убедиться, взяв интеграл по путям по бесконечно малым интервалам времени.

$\psi (y;t+\varepsilon )=\int _{-\infty }^{\infty }\psi (x;t)\int _{x(t)=x}^{x(t+\varepsilon )=y}e^{i\int _{t}^{t+\varepsilon }{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\dot {x}}^{2}-V(x){\bigr )}dt}Dx(t)\,dx\qquad (1)$

Поскольку временной интервал бесконечно мал, а компенсирующие колебания становятся серьезными при больших значениях ẋ , интеграл по траектории имеет наибольший вес для y, близкого к x . В этом случае до низшего порядка потенциальная энергия постоянна, и только вклад кинетической энергии нетривиален. (Это разделение членов кинетической и потенциальной энергии в показателе степени по сути является формулой произведения Троттера .) Экспонента действия равна

$e^{-i\varepsilon V(x)}e^{i{\frac {{\dot {x}}^{2}}{2}}\varepsilon }$

Первый член локально вращает фазу ψ ( x ) на величину, пропорциональную потенциальной энергии. Второй член — это распространитель свободных частиц, соответствующий i- кратному процессу диффузии. До низшего порядка по ε они аддитивны; в любом случае с (1):

$\psi (y;t+\varepsilon )\approx \int \psi (x;t)e^{-i\varepsilon V(x)}e^{\frac {i(x-y)^{2}}{2\varepsilon }}\,dx\,.$

Как уже упоминалось, распространение ψ является диффузионным из-за распространения свободных частиц с дополнительным бесконечно малым вращением по фазе, которое медленно меняется от точки к точке от потенциала:

${\frac {\partial \psi }{\partial t}}=i\cdot \left({\tfrac {1}{2}}\nabla ^{2}-V(x)\right)\psi \,$

и это уравнение Шрёдингера. Нормализацию интеграла по траекториям необходимо зафиксировать точно так же, как и в случае свободных частиц. Произвольный непрерывный потенциал не влияет на нормировку, хотя сингулярные потенциалы требуют осторожного обращения.

Уравнения движения

Поскольку состояния подчиняются уравнению Шредингера, интеграл по траекториям должен воспроизводить уравнения движения Гейзенберга для средних переменных x и ẋ , но поучительно увидеть это непосредственно. Прямой подход показывает, что средние значения, рассчитанные на основе интеграла по путям, воспроизводят обычные значения квантовой механики.

Начните с рассмотрения интеграла по путям с некоторым фиксированным начальным состоянием.

$\int \psi _{0}(x)\int _{x(0)=x}e^{iS(x,{\dot {x}})}\,Dx\,$

Теперь x ( t ) в каждый отдельный момент времени является отдельной переменной интегрирования. Таким образом, законно менять переменные в интеграле путем сдвига: x ( t ) = u ( t ) + ε ( t ) , где ε ( t ) — это другой сдвиг в каждый момент времени, но ε (0) = ε ( T ) = 0 , поскольку конечные точки не интегрированы:

$\int \psi _{0}(x)\int _{u(0)=x}e^{iS(u+\varepsilon ,{\dot {u}}+{\dot {\varepsilon }})}\,Du\,$

Изменение интеграла от сдвига в первом бесконечно малом порядке по ε :

$\int \psi _{0}(x)\int _{u(0)=x}\left(\int {\frac {\partial S}{\partial u}}\varepsilon +{\frac {\partial S}{\partial {\dot {u}}}}{\dot {\varepsilon }}\,dt\right)e^{iS}\,Du\,$

что, интегрируя по частям по t , дает:

$\int \psi _{0}(x)\int _{u(0)=x}-\left(\int \left({\frac {d}{dt}}{\frac {\partial S}{\partial {\dot {u}}}}-{\frac {\partial S}{\partial u}}\right)\varepsilon (t)\,dt\right)e^{iS}\,Du\,$

Но это был всего лишь сдвиг переменных интегрирования, который не меняет значения интеграла при любом выборе ε ( t ) . Вывод состоит в том, что это изменение первого порядка равно нулю для произвольного начального состояния и в любой произвольный момент времени:

$\left\langle \psi _{0}\left|{\frac {\delta S}{\delta x}}(t)\right|\psi _{0}\right\rangle =0$

это уравнение движения Гейзенберга.

Если действие содержит члены, которые умножают ẋ и x в один и тот же момент времени, описанные выше манипуляции являются только эвристическими, поскольку правила умножения для этих величин столь же некоммутативны в интеграле по путям, как и в операторном формализме.

Приближение стационарной фазы

Если изменение действия превышает ħ на многие порядки, мы обычно имеем деструктивную интерференцию, отличную от тех траекторий, которые удовлетворяют уравнению Эйлера-Лагранжа , которое теперь интерпретируется как условие конструктивной интерференции. Это можно показать, используя метод стационарной фазы, примененный к пропагатору. При уменьшении ħ экспонента в интеграле быстро колеблется в комплексной области при любом изменении действия. Таким образом, в пределе, когда ħ стремится к нулю, вклад в пропагатор вносят только точки, где классическое действие не меняется.

Канонические коммутационные соотношения

Формулировка интеграла по путям на первый взгляд не дает понять, что величины x и p не коммутируют. В интеграле по путям это просто переменные интегрирования, и они не имеют очевидного порядка. Фейнман обнаружил, что некоммутативность все еще присутствует.

Чтобы убедиться в этом, рассмотрим простейший интеграл по путям — броуновское блуждание. Это еще не квантовая механика, поэтому в интеграле по путям действие не умножается на i :

$S=\int \left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}\,dt$

Величина x ( t ) колеблется, а производная определяется как предел дискретной разности.

${\frac {dx}{dt}}={\frac {x(t+\varepsilon )-x(t)}{\varepsilon }}$

Расстояние, на которое перемещается случайное блуждание, пропорционально √ t , так что:

$x(t+\varepsilon )-x(t)\approx {\sqrt {\varepsilon }}$

Это показывает, что случайное блуждание не дифференцируемо, поскольку отношение, определяющее производную, расходится с вероятностью единица.

Величина xẋ неоднозначна и имеет два возможных значения:

$[1]=x{\frac {dx}{dt}}=x(t){\frac {x(t+\varepsilon )-x(t)}{\varepsilon }}$

$[2]=x{\frac {dx}{dt}}=x(t+\varepsilon ){\frac {x(t+\varepsilon )-x(t)}{\varepsilon }}$

В элементарном исчислении они различаются только на величину, которая стремится к 0, когда ε стремится к 0. Но в этом случае разница между ними не равна 0:

$[2]-[1]={\frac {{\big (}x(t+\varepsilon )-x(t){\big )}^{2}}{\varepsilon }}\approx {\frac {\varepsilon }{\varepsilon }}$

Позволять

$f(t)={\frac {{\big (}x(t+\varepsilon )-x(t){\big )}^{2}}{\varepsilon }}$

Тогда f ( t ) — быстро меняющаяся статистическая величина, среднее значение которой равно 1, т.е. нормированный «гауссовский процесс». Колебания такой величины можно описать статистическим лагранжианом

${\mathcal {L}}=(f(t)-1)^{2}\,,$

а уравнения движения для f, полученные в результате экстремизации действия S, соответствующего L, просто устанавливают его равным 1. В физике такая величина «равна 1 как тождество оператора». В математике оно «слабо сходится к 1». В любом случае оно равно 1 для любого ожидаемого значения, или при усреднении по любому интервалу, или для всех практических целей.

Определение временного порядка как порядка оператора:

$[x,{\dot {x}}]=x{\frac {dx}{dt}}-{\frac {dx}{dt}}x=1$

Это называется леммой Ито в стохастическом исчислении и (евклидовыми) каноническими коммутационными соотношениями в физике.

Для общего статистического действия аналогичный аргумент показывает, что

$\left[x,{\frac {\partial S}{\partial {\dot {x}}}}\right]=1$

а в квантовой механике дополнительная мнимая единица действия преобразует это в каноническое коммутационное соотношение:

$[x,p]=i$

Частица в искривленном пространстве

Для частицы в искривленном пространстве кинетический член зависит от положения, и описанное выше разделение времени невозможно применить, что является проявлением пресловутой проблемы упорядочения операторов в квантовой механике Шредингера. Однако можно решить эту проблему, преобразовав интеграл пути в плоском пространстве с разделением по времени в искривленное пространство с помощью преобразования многозначных координат ( неголономное отображение объясняется здесь ).

меры

Иногда (например, частица, движущаяся в искривленном пространстве) в функциональном интеграле присутствуют также теоретико-мерные множители:

$\int \mu [x]e^{iS[x]}\,{\mathcal {D}}x.$

Этот фактор необходим для восстановления унитарности.

Например, если

$S=\int \left({\frac {m}{2}}g_{ij}{\dot {x}}^{i}{\dot {x}}^{j}-V(x)\right)\,dt,$

тогда это означает, что каждый пространственный срез умножается на меру √ g . Эту меру нельзя выразить в виде функционала, умножающего меру D x , поскольку они принадлежат совершенно разным классам.

Ожидаемые значения и элементы матрицы

Матричные элементы такого рода $\langle x_{f}|e^{-{\frac {i}{\hbar }}{\hat {H}}(t-t')}F({\hat {x}})e^{-{\frac {i}{\hbar }}{\hat {H}}(t')}|x_{i}\rangle$ принять форму

$\int _{x(0)=x_{i}}^{x(t)=x_{f}}{\mathcal {D}}[x]F(x(t'))e^{{\frac {i}{\hbar }}\int dtL(x(t),{\dot {x}}(t))}$.

Это обобщается на несколько операторов, например

$\langle x_{f}|e^{-{\frac {i}{\hbar }}{\hat {H}}(t-t_{1})}F_{1}({\hat {x}})e^{-{\frac {i}{\hbar }}{\hat {H}}(t_{1}-t_{2})}F_{2}({\hat {x}})e^{-{\frac {i}{\hbar }}{\hat {H}}(t_{2})}|x_{i}\rangle =\int _{x(0)=x_{i}}^{x(t)=x_{f}}{\mathcal {D}}[x]F_{1}(x(t_{1}))F_{2}(x(t_{2}))e^{{\frac {i}{\hbar }}\int dtL(x(t),{\dot {x}}(t))}$,

и к общему математическому ожиданию

$\langle F\rangle ={\frac {\int {\mathcal {D}}[\phi ]F(\phi )e^{{\frac {i}{\hbar }}S[\phi ]}}{\int {\mathcal {D}}[\phi ]e^{{\frac {i}{\hbar }}S[\phi ]}}}$.

Интегралы по евклидову пути

В интегралах по траекториям очень часто используется вращение Вика от реального времени к мнимому. В рамках квантовой теории поля вращение Вика меняет геометрию пространства-времени с лоренцевой на евклидову; в результате интегралы по путям, повернутым Виком, часто называют интегралами по евклидовым путям.

Вращение фитиля и формула

Если мы заменим $t$ к $-it$, оператор эволюции во времени $e^{-it{\hat {H}}/\hbar }$ заменяется на $e^{-t{\hat {H}}/\hbar }$. (Это изменение известно как вращение Вика .) Если мы повторим вывод формулы интеграла по путям в этой ситуации, мы получим

$\psi (x,t)={\frac {1}{Z}}\int _{\mathbf {x} (0)=x}e^{-S_{\mathrm {Euclidean} }(\mathbf {x} ,{\dot {\mathbf {x} }})/\hbar }\psi _{0}(\mathbf {x} (t))\,{\mathcal {D}}\mathbf {x} \,$,

где $S_{\mathrm {Euclidean} }$ — евклидово действие, заданное формулой

$S_{\mathrm {Euclidean} }(\mathbf {x} ,{\dot {\mathbf {x} }})=\int \left[{\frac {m}{2}}|{\dot {\mathbf {x} }}(t)|^{2}+V(\mathbf {x} (t))\right]\,dt$.

Обратите внимание на изменение знака между этим действием и нормальным действием, когда потенциальная энергия отрицательна. (Термин «евклидово» взят из контекста квантовой теории поля, где переход от реального времени к мнимому меняет геометрию пространства-времени с лоренцевой на евклидову.)

Теперь вклад кинетической энергии в интеграл по траектории выглядит следующим образом:

${\frac {1}{Z}}\int _{\mathbf {x} (0)=x}f(\mathbf {x} )e^{-{\frac {m}{2}}\int |{\dot {\mathbf {x} }}|^{2}dt}\,{\mathcal {D}}\mathbf {x} \,$

где $f(\mathbf {x} )$ включает в себя всю оставшуюся зависимость подынтегрального выражения от пути. Этот интеграл имеет строгую математическую интерпретацию как интегрирование по мере Винера , обозначаемой $\mu _{x}$. Мера Винера, построенная Норбертом Винером, дает строгую основу математической модели броуновского движения Эйнштейна . Нижний индекс $x$ указывает на то, что мера $\mu _{x}$ поддерживается на путях $\mathbf {x}$ с $\mathbf {x} (0)=x$.

Тогда у нас есть строгая версия интеграла по путям Фейнмана, известная как формула Фейнмана–Каца :

$\psi (x,t)=\int e^{-\int V(\mathbf {x} (t))\,dt/\hbar }\,\psi _{0}(\mathbf {x} (t))\,d\mu _{x}(\mathbf {x} )$,

где сейчас $\psi (x,t)$ удовлетворяет версии уравнения Шредингера с вращением Вика,

$\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi (x,t)=-{\hat {H}}\psi (x,t)$.

Хотя уравнение Шрёдингера с вращением Вика не имеет прямого физического смысла, интересные свойства оператора Шрёдингера ${\hat {H}}$ можно извлечь, изучив его.

Большая часть исследований квантовых теорий поля с точки зрения интеграла по траекториям как в математической, так и в физической литературе проводится в евклидовой обстановке, то есть после вращения Вика. В частности, существуют различные результаты, показывающие, что если можно построить евклидову теорию поля с подходящими свойствами, то можно затем отменить виковское вращение, чтобы восстановить физическую лоренцеву теорию. С другой стороны, придать смысл интегралам по траекториям (даже евклидовым интегралам по траекториям) в квантовой теории поля гораздо труднее, чем в квантовой механике.

Интеграл по пути и функция разделения

Интеграл по путям — это просто обобщение приведенного выше интеграла на все проблемы квантовой механики:

$Z=\int e^{\frac {i{\mathcal {S}}[\mathbf {x} ]}{\hbar }}\,{\mathcal {D}}\mathbf {x} \quad {\text{where }}{\mathcal {S}}[\mathbf {x} ]=\int _{0}^{t_{f}}L[\mathbf {x} (t),{\dot {\mathbf {x} }}(t)]\,dt$

- это действие классической задачи, в которой исследуется путь, начинающийся в момент времени t = 0 и заканчивающийся в момент времени t = t _f , и ${\mathcal {D}}\mathbf {x}$ обозначает меру интегрирования по всем путям. В классическом пределе ${\mathcal {S}}[\mathbf {x} ]\gg \hbar$, путь минимального действия доминирует в интеграле, потому что фаза любого пути, отличающегося от этого, быстро колеблется, и различные вклады компенсируются.

Отсюда следует связь со статистической механикой . Рассматривая только пути, которые начинаются и заканчиваются в одной и той же конфигурации, выполните вращение Вика it = ħβ , т. е. сделайте время мнимым, и проинтегрируйте все возможные конфигурации начала-конца. Интеграл по траектории вращения Вика, описанный в предыдущем подразделе, с заменой обычного действия его «евклидовым» аналогом, теперь напоминает статистическую сумму статистической механики, определенную в каноническом ансамбле с обратной температурой, пропорциональной мнимому времени. 1 / Т = я к _Б т / ħ . Однако, строго говоря, это статистическая сумма статистической теории поля .

Ясно, что столь глубокая аналогия между квантовой механикой и статистической механикой не может зависеть от формулировки. В канонической формулировке видно, что унитарный оператор эволюции состояния имеет вид

$|\alpha ;t\rangle =e^{-{\frac {iHt}{\hbar }}}|\alpha ;0\rangle$

где состояние α развивается с момента времени t = 0 . Если здесь выполнить вращение Вика и обнаружить, что амплитуда перехода из любого состояния обратно в то же состояние за (мнимое) время iβ определяется выражением

$Z=\operatorname {Tr} \left[e^{-H\beta }\right]$

что и есть статистическая сумма статистической механики для той же системы при указанной ранее температуре. Один аспект этой эквивалентности был также известен Эрвину Шрёдингеру , который заметил, что уравнение, названное в его честь, выглядит как уравнение диффузии после вращения Вика. Однако обратите внимание, что евклидов интеграл по траектории на самом деле имеет форму классической модели статистической механики.

Квантовая теория поля

И подходы Шредингера, и Гейзенберга к квантовой механике выделяют время и не соответствуют духу теории относительности. Например, подход Гейзенберга требует, чтобы операторы скалярного поля подчинялись коммутационному соотношению

$[\varphi (x),\partial _{t}\varphi (y)]=i\delta ^{3}(x-y)$

для двух одновременных пространственных положений x и y , и это не релятивистски-инвариантная концепция. Результаты расчета ковариантны , но на промежуточных стадиях симметрия не проявляется. Если бы наивные вычисления теории поля не давали бесконечных ответов в пределе континуума , это не было бы такой большой проблемой – это был бы просто плохой выбор координат. Но отсутствие симметрии означает, что бесконечные величины необходимо отсечь, а плохие координаты делают практически невозможным отсечь теорию, не испортив при этом симметрию. Это затрудняет получение физических предсказаний, которые требуют тщательной процедуры ограничения .

Проблема утраты симметрии возникает и в классической механике, где гамильтонова формулировка также поверхностно выделяет время. Лагранжева формулировка делает релятивистскую инвариантность очевидной. Точно так же интеграл по траекториям явно релятивистский. Он воспроизводит уравнение Шредингера, уравнения движения Гейзенберга и канонические коммутационные соотношения и показывает, что они совместимы с теорией относительности. Он расширяет операторную алгебру типа Гейзенберга до правил произведения операторов , которые представляют собой новые отношения, которые трудно увидеть в старом формализме.

Более того, разный выбор канонических переменных приводит к совершенно разным формулировкам одной и той же теории. Преобразования между переменными могут быть очень сложными, но интеграл по путям превращает их в достаточно простые изменения переменных интегрирования. По этим причинам интеграл по траекториям Фейнмана сделал ранние формализмы в значительной степени устаревшими.

Цена представления интеграла по путям заключается в том, что унитарность теории больше не является самоочевидной, но ее можно доказать, заменив переменные на некоторое каноническое представление. Сам интеграл по путям также имеет дело с более крупными математическими пространствами, чем обычно, что требует более тщательной математики, не все из которой полностью проработаны. Исторически интеграл по траекториям не был сразу принят, отчасти потому, что для правильного включения фермионов потребовалось много лет. Это потребовало от физиков изобретения совершенно нового математического объекта – переменной Грассмана , – которая также позволяла производить изменения переменных естественным путем, а также позволяла осуществлять квантование с ограничениями .

Переменные интегрирования в интеграле по путям явно некоммутируют. Значение произведения двух операторов поля в одной и той же точке зависит от того, как эти две точки упорядочены в пространстве и времени. Это приводит к тому, что некоторые наивные тождества терпят неудачу .

Распространитель

В релятивистских теориях для каждой теории существует представление как частиц, так и поля. Представление поля представляет собой сумму по всем конфигурациям поля, а представление частицы — это сумма по различным траекториям частиц.

Нерелятивистская формулировка традиционно дается в терминах траекторий частиц, а не полей. Там интеграл по траектории в обычных переменных с фиксированными граничными условиями дает амплитуду вероятности перехода частицы из точки x в точку y за время T :

$K(x,y;T)=\langle y;T\mid x;0\rangle =\int _{x(0)=x}^{x(T)=y}e^{iS[x]}\,Dx.$

Это называется распространителем . Наложение различных значений начального положения x с произвольным начальным состоянием ψ ₀ ( x ) создает конечное состояние:

$\psi _{T}(y)=\int _{x}\psi _{0}(x)K(x,y;T)\,dx=\int ^{x(T)=y}\psi _{0}(x(0))e^{iS[x]}\,Dx.$

Для пространственно однородной системы, где K ( x , y ) является только функцией ( x − y ) , интеграл представляет собой свертку , конечным состоянием является начальное состояние, свернутое с пропагатором:

$\psi _{T}=\psi _{0}*K(;T).$

Для свободной частицы массы m пропагатор можно вычислить либо явно из интеграла по траекториям, либо отметив, что уравнение Шредингера является уравнением диффузии в мнимом времени, а решение должно быть нормализованным гауссианом:

$K(x,y;T)\propto e^{\frac {im(x-y)^{2}}{2T}}.$

Преобразование Фурье в ( x − y ) дает еще один гауссиан:

$K(p;T)=e^{\frac {iTp^{2}}{2m}},$

а в p -пространстве коэффициент пропорциональности здесь постоянен во времени, как мы сейчас проверим. Преобразование Фурье во времени, расширяющее K ( p ; T ) до нуля для отрицательных времен, дает функцию Грина или распространитель в частотном пространстве:

$G_{\text{F}}(p,E)={\frac {-i}{E-{\frac {{\vec {p}}^{2}}{2m}}+i\varepsilon }},$

что является обратной величиной оператора, аннулирующего волновую функцию в уравнении Шрёдингера, что не получилось бы правильно, если бы коэффициент пропорциональности не был постоянным в представлении в p -пространстве.

Бесконечно малый член в знаменателе — это небольшое положительное число, которое гарантирует, что обратное преобразование Фурье в E будет отличным от нуля только в будущем. В прошлые времена контур обратного преобразования Фурье замыкался к значениям E , где сингулярность отсутствует. Это гарантирует, что K распространяет частицу в будущее и является причиной индекса «F» G. у Бесконечно малый член можно интерпретировать как бесконечно малое вращение к мнимому времени.

Также возможно перевыразить нерелятивистскую эволюцию во времени в терминах пропагаторов, идущих в прошлое, поскольку уравнение Шредингера обратимо во времени. Пропагатор прошлого такой же, как и пропагатор будущего, за исключением того очевидного различия, что он исчезает в будущем, а в гауссовском представлении t заменяется на − t . В этом случае интерпретация заключается в том, что это величины, которые нужно свернуть конечную волновую функцию, чтобы получить начальную волновую функцию:

$G_{\text{B}}(p,E)={\frac {-i}{-E-{\frac {i{\vec {p}}^{2}}{2m}}+i\varepsilon }}.$

Учитывая почти идентичное единственное изменение - это знак E и ε , параметр E в функции Грина может быть либо энергией, если пути идут в будущее, либо отрицательным значением энергии, если пути идут в прошлое.

Для нерелятивистской теории время, измеренное на пути движущейся частицы, и время, измеренное внешним наблюдателем, совпадают. В теории относительности это уже не так. Для релятивистской теории пропагатор следует определять как сумму всех путей, которые проходят между двумя точками за фиксированное собственное время, измеренное вдоль пути (эти пути описывают траекторию частицы в пространстве и во времени):

$K(x-y,\mathrm {T} )=\int _{x(0)=x}^{x(\mathrm {T} )=y}e^{i\int _{0}^{\mathrm {T} }{\sqrt {{\dot {x}}^{2}}}-\alpha \,d\tau }.$

Приведенный выше интеграл нелегко интерпретировать из-за квадратного корня. К счастью, есть эвристический трюк. Сумма рассчитывается по релятивистской длине дуги пути осциллирующей величины, и, как и нерелятивистский интеграл по пути, следует интерпретировать как слегка повернутый в мнимое время. Функция K ( x − y , τ ) может быть вычислена, когда сумма ведется по путям в евклидовом пространстве:

$K(x-y,\mathrm {T} )=e^{-\alpha \mathrm {T} }\int _{x(0)=x}^{x(\mathrm {T} )=y}e^{-L}.$

Это описывает сумму по всем путям длины Т экспоненты минус длина. Этому можно дать вероятностную интерпретацию. Сумма по всем путям представляет собой среднее вероятностное значение по пути, построенному шаг за шагом. Общее число шагов пропорционально Т , и каждый шаг тем менее вероятен, чем он длиннее. По центральной предельной теореме результатом многих независимых шагов является гауссиан дисперсии, пропорциональный Т :

$K(x-y,\mathrm {T} )=e^{-\alpha \mathrm {T} }e^{-{\frac {(x-y)^{2}}{\mathrm {T} }}}.$

Обычное определение релятивистского пропагатора требует только, чтобы амплитуда перемещалась от x до y после суммирования всех возможных собственных времен, которые это может занять:

$K(x-y)=\int _{0}^{\infty }K(x-y,\mathrm {T} )W(\mathrm {T} )\,d\mathrm {T} ,$

где W (Т) — весовой коэффициент, относительная важность путей разного собственного времени. В силу трансляционной симметрии в собственном времени этот вес может быть только экспоненциальным множителем и может быть поглощен константой α :

$K(x-y)=\int _{0}^{\infty }e^{-{\frac {(x-y)^{2}}{\mathrm {T} }}-\alpha \mathrm {T} }\,d\mathrm {T} .$

Это представление Швингера . Преобразование Фурье по переменной ( x − y ) можно выполнить для каждого значения Τ отдельно, и поскольку каждый отдельный вклад Τ является гауссианом, дает представление, чье преобразование Фурье является другим гауссианом с обратной шириной. Таким образом, в p -пространстве пропагатор можно просто выразить:

$K(p)=\int _{0}^{\infty }e^{-\mathrm {T} p^{2}-\mathrm {T} \alpha }\,d\mathrm {T} ={\frac {1}{p^{2}+\alpha }},$

который является евклидовым пропагатором скалярной частицы. Поворот p ₀ до мнимого дает обычный релятивистский пропагатор с точностью до коэффициента - i и неоднозначность, которая будет разъяснена ниже:

$K(p)={\frac {i}{p_{0}^{2}-{\vec {p}}^{2}-m^{2}}}.$

Это выражение можно интерпретировать в нерелятивистском пределе, где его удобно разбить на простейшие дроби :

$2p_{0}K(p)={\frac {i}{p_{0}-{\sqrt {{\vec {p}}^{2}+m^{2}}}}}+{\frac {i}{p_{0}+{\sqrt {{\vec {p}}^{2}+m^{2}}}}}.$

которых присутствует одна нерелятивистская частица, исходная волновая функция имеет частотное распределение, сосредоточенное вблизи p0 _{Для состояний, в} = m . При свертке с пропагатором, что в p- пространстве означает просто умножение на пропагатор, второй член подавляется, а первый член усиливается. Для частот вблизи p ₀ = m доминирующий первый член имеет вид

$2mK_{\text{NR}}(p)={\frac {i}{(p_{0}-m)-{\frac {{\vec {p}}^{2}}{2m}}}}.$

Это выражение нерелятивистской функции Грина свободной частицы Шредингера.

Второй член также имеет нерелятивистский предел, но этот предел сосредоточен на отрицательных частотах. На втором полюсе преобладают вклады от путей, где собственное время и координатное время тикают в противоположном направлении, а это означает, что второй член следует интерпретировать как античастицу. Нерелятивистский анализ показывает, что в этой форме античастица все еще имеет положительную энергию.

Правильный способ выразить это математически состоит в том, что при добавлении небольшого коэффициента подавления в нужное время предел, при котором t → −∞ первого члена, должен исчезнуть, в то время как предел t → +∞ второго члена должен исчезнуть. В преобразовании Фурье это означает небольшое смещение полюса в p0 _{, чтобы обратное преобразование Фурье} подобрало небольшой коэффициент затухания в одном из направлений времени:

$K(p)={\frac {i}{p_{0}-{\sqrt {{\vec {p}}^{2}+m^{2}}}+i\varepsilon }}+{\frac {i}{p_{0}-{\sqrt {{\vec {p}}^{2}+m^{2}}}-i\varepsilon }}.$

Без этих членов вклад полюса не мог бы быть однозначно оценен при обратном преобразовании Фурье p ₀ . Условия можно комбинировать:

$K(p)={\frac {i}{p^{2}-m^{2}+i\varepsilon }},$

который при факторизации дает бесконечно малые члены с противоположным знаком в каждом факторе. Это математически точная форма пропагатора релятивистских частиц, свободная от каких-либо двусмысленностей. Член ε вводит небольшую мнимую часть в α = m ² , что в версии Минковского представляет собой небольшое экспоненциальное подавление длинных путей.

Таким образом, в релятивистском случае фейнмановское представление пропагатора, интегральное по путям, включает в себя пути, идущие назад во времени, которые описывают античастицы. Пути, вносящие вклад в работу релятивистского пропагатора, идут вперед и назад во времени, и интерпретация этого заключается в том, что амплитуда перемещения свободной частицы между двумя точками включает в себя амплитуды, при которых частица может превратиться в античастицу, переместиться назад во времени, а затем снова вперед.

В отличие от нерелятивистского случая, невозможно построить релятивистскую теорию локального распространения частиц без включения античастиц. Все локальные дифференциальные операторы имеют обратные, которые не равны нулю вне светового конуса, а это означает, что невозможно удержать частицу от движения со скоростью, превышающей скорость света. Такая частица не может иметь функцию Грина, которая в будущем будет отличной от нуля только в релятивистски-инвариантной теории.

Функционал полей

Однако формулировка интеграла по путям также чрезвычайно важна в прямом применении к квантовой теории поля, в которой рассматриваемые «пути» или истории представляют собой не движения отдельной частицы, а возможные временные эволюции поля во всем пространстве. Технически действие называется функционалом поля : S [ φ ] , где поле φ ( x ^м ) само по себе является функцией пространства и времени, а квадратные скобки напоминают, что действие зависит от всех значений поля повсюду, а не только от какого-то конкретного значения. Одна из таких заданных функций φ ( x ^м ) называется пространства-времени конфигурацией поля . В принципе, амплитуду Фейнмана интегрируют по классу всех возможных конфигураций поля.

Большая часть формального исследования КТП посвящена свойствам получаемого функционального интеграла, и было приложено много усилий (пока не совсем успешных) для того, чтобы сделать эти функциональные интегралы математически точными.

Такой функциональный интеграл чрезвычайно похож на статистическую сумму в статистической механике . Действительно, ее иногда называют статистической суммой , и они по существу математически идентичны, за исключением множителя i в показателе степени в постулате Фейнмана 3. Аналитическое продолжение интеграла до мнимой переменной времени (называемое вращением Вика ) дает функциональный интеграл даже больше похоже на статистическую статистическую сумму, а также устраняет некоторые математические трудности работы с этими интегралами.

значения

В квантовой теории поля , если действие задается функционалом S конфигураций поля (который зависит только локально от полей), то упорядоченное по времени вакуумное математическое ожидание полиномиально ограниченного функционала F , ⟨ F ⟩ , определяется выражением

$\langle F\rangle ={\frac {\int {\mathcal {D}}\varphi F[\varphi ]e^{i{\mathcal {S}}[\varphi ]}}{\int {\mathcal {D}}\varphi e^{i{\mathcal {S}}[\varphi ]}}}.$

Символ ∫ D φ здесь представляет собой краткий способ представления бесконечномерного интеграла по всем возможным конфигурациям полей во всем пространстве-времени. Как указано выше, неукрашенный интеграл по путям в знаменателе обеспечивает правильную нормировку.

Как вероятность

Строго говоря, единственный вопрос, который можно задать в физике: какая часть состояний, удовлетворяющих условию А, также удовлетворяет условию Б ? Ответом на это является число от 0 до 1, которое можно интерпретировать как условную вероятность , записанную как P( B | A ) . С точки зрения интеграции путей, поскольку P( B | A ) = P( A ∩ B ) / P( A ) , это означает

$\operatorname {P} (B\mid A)={\frac {\sum _{F\subset A\cap B}\left|\int {\mathcal {D}}\varphi O_{\text{in}}[\varphi ]e^{i{\mathcal {S}}[\varphi ]}F[\varphi ]\right|^{2}}{\sum _{F\subset A}\left|\int {\mathcal {D}}\varphi O_{\text{in}}[\varphi ]e^{i{\mathcal {S}}[\varphi ]}F[\varphi ]\right|^{2}}},$

где функционал O _в [ φ ] представляет собой суперпозицию всех входящих состояний, которые могут привести к интересующим нас состояниям. В частности, это может быть состояние, соответствующее состоянию Вселенной сразу после Большого взрыва , хотя для реальных Расчет этого можно упростить, используя эвристические методы. Поскольку это выражение является частным интегралов по путям, оно естественным образом нормируется.

Уравнения Швингера–Дайсона

Основная статья: уравнение Швингера – Дайсона

Поскольку эта формулировка квантовой механики аналогична классическому принципу действия, можно было бы ожидать, что тождества, касающиеся действия в классической механике, будут иметь квантовые аналоги, выводимые из функционального интеграла. Это часто бывает.

На языке функционального анализа уравнения Эйлера–Лагранжа можно записать в виде

${\frac {\delta {\mathcal {S}}[\varphi ]}{\delta \varphi }}=0$

(левая часть — функциональная производная ; уравнение означает, что действие стационарно при малых изменениях конфигурации поля). Квантовые аналоги этих уравнений называются уравнениями Швингера–Дайсона .

Если функциональная мера D φ окажется трансляционно-инвариантной (мы будем предполагать это до конца статьи, хотя это не справедливо, скажем, для нелинейных сигма-моделей ), и если мы предположим, что после вращения Вика

$e^{i{\mathcal {S}}[\varphi ]},$

который теперь становится

$e^{-H[\varphi ]}$

для некоторого H он стремится к нулю быстрее, чем обратное значение любого многочлена для больших значений φ , тогда мы можем интегрировать по частям (после вращения Вика, за которым следует вращение Вика обратно), чтобы получить следующие уравнения Швингера – Дайсона для ожидание:

$\left\langle {\frac {\delta F[\varphi ]}{\delta \varphi }}\right\rangle =-i\left\langle F[\varphi ]{\frac {\delta {\mathcal {S}}[\varphi ]}{\delta \varphi }}\right\rangle$

для любого полиномиально ограниченного функционала F . В обозначениях ДеВитта это выглядит так

$\left\langle F_{,i}\right\rangle =-i\left\langle F{\mathcal {S}}_{,i}\right\rangle .$

Эти уравнения являются аналогом уравнений ЭЛ на оболочке . Временной порядок принимается перед производными по времени внутри S _{, i} .

Если J (называемое исходным полем ) является элементом дуального пространства конфигураций полей (имеющего хотя бы аффинную структуру в силу предположения о трансляционной инвариантности функциональной меры), то производящий функционал Z исходных полей определяется ​ как

$Z[J]=\int {\mathcal {D}}\varphi e^{i\left({\mathcal {S}}[\varphi ]+\langle J,\varphi \rangle \right)}.$

Обратите внимание, что

${\frac {\delta ^{n}Z}{\delta J(x_{1})\cdots \delta J(x_{n})}}[J]=i^{n}\,Z[J]\,\left\langle \varphi (x_{1})\cdots \varphi (x_{n})\right\rangle _{J},$

или

$Z^{,i_{1}\cdots i_{n}}[J]=i^{n}Z[J]\left\langle \varphi ^{i_{1}}\cdots \varphi ^{i_{n}}\right\rangle _{J},$

где

$\langle F\rangle _{J}={\frac {\int {\mathcal {D}}\varphi F[\varphi ]e^{i\left({\mathcal {S}}[\varphi ]+\langle J,\varphi \rangle \right)}}{\int {\mathcal {D}}\varphi e^{i\left({\mathcal {S}}[\varphi ]+\langle J,\varphi \rangle \right)}}}.$

В принципе, если D φ e ^{я S [ φ ]} рассматривается как функциональное распределение (это не следует воспринимать слишком буквально как интерпретацию QFT с вращением Вика , в отличие от его аналога статистической механики , потому что здесь у нас есть сложности с упорядочением времени !), тогда ⟨ φ ( x ₁ ) ... φ ( x _n )⟩ — его моменты , а Z — его преобразование Фурье .

Если F является функционалом от [ K ] определяется как φ, то для оператора K F оператор , который заменяет K на φ . Например, если

$F[\varphi ]={\frac {\partial ^{k_{1}}}{\partial x_{1}^{k_{1}}}}\varphi (x_{1})\cdots {\frac {\partial ^{k_{n}}}{\partial x_{n}^{k_{n}}}}\varphi (x_{n}),$

и G является функционалом от J , то

$F\left[-i{\frac {\delta }{\delta J}}\right]G[J]=(-i)^{n}{\frac {\partial ^{k_{1}}}{\partial x_{1}^{k_{1}}}}{\frac {\delta }{\delta J(x_{1})}}\cdots {\frac {\partial ^{k_{n}}}{\partial x_{n}^{k_{n}}}}{\frac {\delta }{\delta J(x_{n})}}G[J].$

Тогда из свойств функциональных интегралов

$\left\langle {\frac {\delta {\mathcal {S}}}{\delta \varphi (x)}}[\varphi ]+J(x)\right\rangle _{J}=0$

мы получаем «главное» уравнение Швингера – Дайсона:

${\frac {\delta {\mathcal {S}}}{\delta \varphi (x)}}\left[-i{\frac {\delta }{\delta J}}\right]Z[J]+J(x)Z[J]=0,$

или

${\mathcal {S}}_{,i}[-i\partial ]Z+J_{i}Z=0.$

Если функциональная мера не является трансляционно-инвариантной, ее можно выразить как произведение M [ φ ] D φ , где M — функционал, а Dφ . — трансляционно-инвариантная мера Это верно, например, для нелинейных сигма-моделей, где целевое пространство диффеоморфно R ^н . Однако если целевое многообразие представляет собой некоторое топологически нетривиальное пространство, то понятие перевода даже не имеет никакого смысла.

В этом случае нам пришлось бы заменить S в этом уравнении другим функционалом

${\hat {\mathcal {S}}}={\mathcal {S}}-i\ln M.$

Если разложить это уравнение в ряд Тейлора относительно J = 0, мы получим всю систему уравнений Швингера–Дайсона.

Локализация

Интегралы по путям обычно представляют собой сумму всех путей в бесконечном пространстве-времени. Однако в локальной квантовой теории поля мы бы ограничили все, чтобы оно лежало в пределах конечной причинно полной области, например, внутри двойного светового конуса. Это дает более математически точное и физически строгое определение квантовой теории поля.

Уорда

Основная статья: Личность Уорда-Такахаши

А как насчет об оболочке теоремы Нётер для классического случая? Есть ли у него квантовый аналог? Да, но с оговоркой. Функциональная мера также должна быть инвариантной относительно однопараметрической группы преобразований симметрии.

Давайте просто предположим здесь для простоты, что рассматриваемая симметрия является локальной (не локальной в смысле калибровочной симметрии , а в том смысле, что преобразованное значение поля в любой данной точке при бесконечно малом преобразовании будет зависеть только от конфигурации поля по сколь угодно малой окрестности рассматриваемой точки). Предположим также, что действие локально в том смысле, что оно является интегралом по пространству-времени от лагранжиана , и что

$Q[{\mathcal {L}}(x)]=\partial _{\mu }f^{\mu }(x)$

для некоторой функции f , где f зависит только локально от φ (и, возможно, от положения в пространстве-времени).

Если мы не предполагаем никаких особых граничных условий, это не будет «истинной» симметрией в истинном смысле этого слова в целом, если только f = 0 или что-то в этом роде. Здесь Q — это вывод , который генерирует рассматриваемую группу с одним параметром. могут быть первообразные У нас также , такие как BRST и суперсимметрия .

Давайте также предположим

$\int {\mathcal {D}}\varphi \,Q[F][\varphi ]=0$

для любого полиномиально ограниченного функционала F . Это свойство называется инвариантностью меры и, вообще говоря, не имеет места. (Более подробную информацию см . в разделе «Аномалия (физика)» .)

Затем,

$\int {\mathcal {D}}\varphi \,Q\left[Fe^{iS}\right][\varphi ]=0,$

что подразумевает

$\langle Q[F]\rangle +i\left\langle F\int _{\partial V}f^{\mu }\,ds_{\mu }\right\rangle =0$

где интеграл находится по границе. Это квантовый аналог теоремы Нётер.

Теперь предположим еще больше, что Q — локальный интеграл.

$Q=\int d^{d}x\,q(x)$

где

$q(x)[\varphi (y)]=\delta ^{(d)}(X-y)Q[\varphi (y)]\,$

так что

$q(x)[S]=\partial _{\mu }j^{\mu }(x)\,$

где

$j^{\mu }(x)=f^{\mu }(x)-{\frac {\partial }{\partial (\partial _{\mu }\varphi )}}{\mathcal {L}}(x)Q[\varphi ]\,$

(при условии, что лагранжиан зависит только от φ и его первых частных производных! Более общие лагранжианы потребуют модификации этого определения!). Мы не настаиваем на том, что q ( x ) является генератором симметрии (т.е. мы не настаиваем на калибровочном принципе ), а просто на том, что Q таковым является. Мы также предполагаем еще более сильное предположение о локальной инвариантности функциональной меры:

$\int {\mathcal {D}}\varphi \,q(x)[F][\varphi ]=0.$

Тогда у нас было бы

$\langle q(x)[F]\rangle +i\langle Fq(x)[S]\rangle =\langle q(x)[F]\rangle +i\left\langle F\partial _{\mu }j^{\mu }(x)\right\rangle =0.$

Альтернативно,

$q(x)[S]\left[-i{\frac {\delta }{\delta J}}\right]Z[J]+J(x)Q[\varphi (x)]\left[-i{\frac {\delta }{\delta J}}\right]Z[J]=\partial _{\mu }j^{\mu }(x)\left[-i{\frac {\delta }{\delta J}}\right]Z[J]+J(x)Q[\varphi (x)]\left[-i{\frac {\delta }{\delta J}}\right]Z[J]=0.$

Два приведенных выше уравнения представляют собой тождества Уорда – Такахаши.

Теперь в случае, когда f = 0 , мы можем забыть обо всех граничных условиях и предположениях локальности. У нас просто было бы

$\left\langle Q[F]\right\rangle =0.$

Альтернативно,

$\int d^{d}x\,J(x)Q[\varphi (x)]\left[-i{\frac {\delta }{\delta J}}\right]Z[J]=0.$

Предостережения

Необходимость регуляторов и перенормировка

Интегралы по траекториям, как они определены здесь, требуют введения регуляторов . Изменение масштаба регулятора приводит к появлению ренормгруппы . Фактически, перенормировка является основным препятствием для четкого определения интегралов по путям.

Заказ рецепта

Независимо от того, работаете ли вы в конфигурационном или фазовом пространстве, при приравнивании операторного формализма и формулировки интеграла по путям требуется предписание порядка, чтобы разрешить неоднозначность в соответствии между некоммутативными операторами и коммутативными функциями, которые появляются в подынтегральных выражениях по путям. Например, оператор ${\frac {1}{2}}({\hat {q}}{\hat {p}}+{\hat {p}}{\hat {q}})$ можно перевести обратно как $qp-{\frac {i\hbar }{2}}$, $qp+{\frac {i\hbar }{2}}$, или $qp$ в зависимости от того, выберет ли человек ${\hat {q}}{\hat {p}}$, ${\hat {p}}{\hat {q}}$, или заказ рецепта по Вейлю; наоборот, $qp$ можно перевести на любой ${\hat {q}}{\hat {p}}$, ${\hat {p}}{\hat {q}}$, или ${\frac {1}{2}}({\hat {q}}{\hat {p}}+{\hat {p}}{\hat {q}})$ за тот же соответствующий выбор рецепта заказа.

по путям в квантово-

В одной из интерпретаций квантовой механики , интерпретации «суммы по историям», интеграл по путям считается фундаментальным, а реальность рассматривается как единый неразличимый «класс» путей, которые все имеют одни и те же события. Для такой интерпретации крайне важно понять, что именно представляет собой событие. Метод суммирования по историям дает результаты, идентичные канонической квантовой механике, а Синха и Соркин утверждают, что эта интерпретация объясняет парадокс Эйнштейна-Подольского-Розена, не прибегая к нелокальности .

Некоторый Сторонники интерпретаций квантовой механики, подчеркивающих декогерентность, попытались сделать более строгим понятие извлечения классической «крупнозернистой» истории из пространства всех возможных историй.

Квантовая гравитация

Хотя в квантовой механике формулировка интеграла по траекториям полностью эквивалентна другим формулировкам, возможно, ее можно распространить на квантовую гравитацию, что отличает ее от модели гильбертова пространства . Фейнман добился определенных успехов в этом направлении, и его работа была продолжена Хокингом и другими. Подходы, использующие этот метод, включают причинно-следственную динамическую триангуляцию и пенопласта модели .

туннелирование

Квантовое туннелирование можно смоделировать, используя формирование интеграла по траектории для определения действия траектории через потенциальный барьер. Используя приближение ВКБ , скорость туннелирования ( Γ ) можно определить как имеющую вид

$\Gamma =A_{\mathrm {o} }\exp \left(-{\frac {S_{\mathrm {eff} }}{\hbar }}\right)$

с эффективным действием S _eff и предэкспоненциальным множителем A _o . Эта форма особенно полезна в диссипативной системе , в которой системы и окружающая среда должны моделироваться вместе. Используя уравнение Ланжевена для моделирования броуновского движения , формирование интеграла по траектории можно использовать для определения эффективного действия и предэкспоненциальной модели, чтобы увидеть влияние диссипации на туннелирование. С помощью этой модели можно предсказать скорость туннелирования макроскопических систем (при конечных температурах).

См. также

• Теоретическое и экспериментальное обоснование уравнения Шредингера
• Статические силы и обмен виртуальными частицами
• шахматная доска Фейнмана
• Berezin integral
• Распространители
• Теория поглотителя Уиллера – Фейнмана
• Формула Фейнмана – Каца
• Интегралы по траектории в науке о полимерах

Библиография

• Ахмад, Ишфак (1971). Математические интегралы в квантовой природе . Ядро. стр. 189–209.
• Альбеверио, С.; Хог-Крон, Р. и Маццукки, С. (2008). Математическая теория фейнмановских интегралов по траекториям . Конспекты лекций по математике 523. Springer-Publishers. ISBN  9783540769569 .
• Кальдейра, АО ; Леггетт, Эй Джей (1983). «Квантовое туннелирование в диссипативной системе». Анналы физики . 149 (2): 374–456. Бибкод : 1983AnPhy.149..374C . дои : 10.1016/0003-4916(83)90202-6 .
• Картье, ПК ; ДеВитт-Моретт, Сесиль (1995). «Новый взгляд на функциональную интеграцию». Журнал математической физики . 36 (5): 2137–2340. arXiv : funct-an/9602005 . Бибкод : 1995JMP....36.2237C . дои : 10.1063/1.531039 . S2CID   119581543 .
• Чайчян, М.; Демичев, А.П. (2001). "Введение" . Интегралы по траекториям в физике. Том 1: Случайные процессы и квантовая механика . Тейлор и Фрэнсис. п. 1 и далее. ISBN  978-0-7503-0801-4 .
• ДеВитт-Моретт, К. (1972). «Интеграл по траектории Фейнмана: определение без ограничивающей процедуры». Связь в математической физике . 28 (1): 47–67. Бибкод : 1972CMaPh..28...47D . дои : 10.1007/BF02099371 . МР   0309456 . S2CID   119669964 .
• Дирак, Поль AM (1933). «Лагранжиан в квантовой механике» (PDF) . Физический журнал Советского Союза . 3 :64-72.
• Дуру, И. Х .; Кляйнерт, Хаген (1979). «Решение интеграла по траектории для атома H» (PDF) . Письма по физике . 84Б (2): 185–188. Бибкод : 1979PhLB...84..185D . дои : 10.1016/0370-2693(79)90280-6 . Проверено 25 ноября 2007 г.
• Этингоф, П. (2002). «Геометрия и квантовая теория поля» . MIT OpenCourseWare. Этот курс, предназначенный для математиков, представляет собой строгое введение в пертурбативную квантовую теорию поля с использованием языка функциональных интегралов.
• Фейнман, Р.П. (2005) [1942/1948]. Браун, Л.М. (ред.). Тезис Фейнмана — новый подход к квантовой теории . Всемирная научная. Бибкод : 2005ftna.book.....B . дои : 10.1142/5852 . ISBN  978-981-256-366-8 . Диссертация 1942 года. Также включает статью Дирака 1933 года и публикацию Фейнмана 1948 года.
• Фейнман, Р.П. (1948). «Пространственно-временной подход к нерелятивистской квантовой механике» (PDF) . Обзоры современной физики . 20 (2): 367–387. Бибкод : 1948РвМП...20..367Ф . дои : 10.1103/RevModPhys.20.367 .
• Фейнман, Р.П.; Хиббс, Арканзас (1965). Квантовая механика и интегралы по траекториям . Нью-Йорк: МакГроу-Хилл. ISBN  978-0-07-020650-2 . Историческая справка, написанная самим изобретателем формулировки интеграла по путям и одним из его учеников.
• Фейнман, Р.П.; Хиббс, Арканзас ; Стайер, Д.Ф. (2010). Квантовая механика и интегралы по траекториям . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. стр. 29–31. ISBN  978-0-486-47722-0 .
• Гелл-Манн, Мюррей (1993). «Большинство хороших вещей». В Брауне, Лори М.; Ригден, Джон С. (ред.). Воспоминания о Ричарде Фейнмане . Американский институт физики. ISBN  978-0883188705 .
• Глимм Дж. и Яффе А. (1981). Квантовая физика: функционально-интегральная точка зрения . Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN  978-0-387-90562-4 .
• Гроше, Кристиан и Штайнер, Франк (1998). Справочник по интегралам по пути Фейнмана . Спрингеровские трактаты в современной физике 145. Springer-Verlag. ISBN  978-3-540-57135-3 .
• Гроше, Кристиан (1992). «Введение в интеграл пути Фейнмана». arXiv : hep-th/9302097 .
• Холл, Брайан С. (2013). Квантовая теория для математиков . Тексты для аспирантов по математике. Том. 267. Спрингер. Бибкод : 2013qtm..книга.....H . дои : 10.1007/978-1-4614-7116-5 . ISBN  978-1-4614-7115-8 . S2CID   117837329 .
• Иномата, Акира; Курацудзи, Хироши; Джерри, Кристофер (1992). Интегралы по траекториям и когерентные состояния SU(2) и SU(1,1) . Сингапур: World Scientific. ISBN  978-981-02-0656-7 .
• Янке, В.; Пелстер, Аксель, ред. (2008). Интегралы по траекториям: новые тенденции и перспективы . Материалы 9-й Международной конференции. Мировое научное издательство. ISBN  978-981-283-726-4 .
• Джонсон, Джеральд В.; Лапидус, Мишель Л. (2002). Интеграл Фейнмана и операционное исчисление Фейнмана . Оксфордские математические монографии. Издательство Оксфордского университета. ISBN  978-0-19-851572-2 .
• Клаудер, Джон Р. (2010). Современный подход к функциональной интеграции . Нью-Йорк: Биркхойзер. ISBN  978-0-8176-4790-2 .
• Кляйнерт, Хаген (2004). Интегралы по траекториям в квантовой механике, статистике, физике полимеров и финансовых рынках (4-е изд.). Сингапур: World Scientific. ISBN  978-981-238-107-1 .
• Маккензи, Ричард (2000). «Методы и приложения интегральной траектории». arXiv : Quant-ph/0004090 .
• Маццукки, С. (2009). Математические фейнмановские интегралы по траекториям и их приложения . Всемирная научная. ISBN  978-981-283-690-8 .
• Мюллер-Кирстен, Харальд Дж.В. (2012). Введение в квантовую механику: уравнение Шредингера и интеграл по траекториям (2-е изд.). Сингапур: World Scientific.
• Риверс, Р.Дж. (1987). Методы интегралов по траекториям в квантовой теории поля . Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-25979-8 .
• Райдер, Льюис Х. (1985). Квантовая теория поля . Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-33859-2 . Легко читаемый учебник; введение в релятивистскую КТП в физике элементарных частиц.
• Шульман, Л. С. (1981). Методы и приложения интеграции путей . Нью-Йорк: Джон Уайли и сыновья. ISBN  978-0-486-44528-1 .
• Саймон, Б. (1979). Функциональная интеграция и квантовая физика . Нью-Йорк: Академическая пресса. ISBN  978-0-8218-6941-3 .
• Синха, Суканья; Соркин, Рафаэль Д. (1991). «Сумма по историям эксперимента EPR (B)» (PDF) . Основы физики письма . 4 (4): 303–335. Бибкод : 1991FoPhL...4..303S . дои : 10.1007/BF00665892 . S2CID   121370426 .
• Томе, Вашингтон (1998). Интегралы по траекториям на групповых многообразиях . Сингапур: World Scientific. ISBN  978-981-02-3355-6 . Обсуждает определение интегралов по путям для систем, кинематические переменные которых являются генераторами вещественной сепарабельной связной группы Ли с неприводимыми квадратично интегрируемыми представлениями.
• Ван Флек, Дж. Х. (1928). «Принцип соответствия в статистической интерпретации квантовой механики» . Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки . 14 (2): 178–188. Бибкод : 1928PNAS...14..178В . дои : 10.1073/pnas.14.2.178 . ПМЦ   1085402 . ПМИД   16577107 .
• Вайнберг, С. (2002) [1995], Основы , Квантовая теория полей, том. 1, Кембридж: Издательство Кембриджского университета , ISBN  978-0-521-55001-7
• Зи, А. (21 февраля 2010 г.). Квантовая теория поля в двух словах (второе изд.). Издательство Принстонского университета. ISBN  978-0-691-14034-6 . Отличное введение в интегралы по траекториям (глава 1) и QFT в целом.
• Зинн Джастин, Дж. (2004). Интегралы по траекториям в квантовой механике . Издательство Оксфордского университета. ISBN  978-0-19-856674-8 .
• Дешмух, ПК (2023). Формализм, методологии и приложения квантовой механики . Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-1316512258 .

Внешние ссылки

• Интеграл по пути в Scholarpedia
• Интегралы по траекториям в квантовых теориях: первый педагогический шаг
• Математически строгий подход к пертурбативным интегралам по траекториям с помощью анимации на YouTube.
• Бесконечные квантовые пути Фейнмана | PBS Космическое время. 7 июля 2017. (Видео, 15:48)