Алгебраическая квантовая теория поля

Алгебраическая квантовая теория поля ( AQFT ) — это приложение к локальной квантовой физике теории C*-алгебры . Также называется Хаага-Кастлера аксиоматической структурой для квантовой теории поля , поскольку она была введена Рудольфом Хаагом и Даниэлем Кастлером ( 1964 ). Аксиомы формулируются в терминах алгебры, заданной для каждого открытого множества в пространстве Минковского , и отображений между ними.

–

Позволять ${\mathcal {O}}$ — множество всех открытых и ограниченных подмножеств пространства Минковского. Алгебраическая квантовая теория поля определяется через множество $\{{\mathcal {A}}(O)\}_{O\in {\mathcal {O}}}$ алгебр фон Неймана ${\mathcal {A}}(O)$ в общем гильбертовом пространстве ${\mathcal {H}}$ удовлетворяющие следующим аксиомам:

• Изотония : $O_{1}\subset O_{2}$ подразумевает ${\mathcal {A}}(O_{1})\subset {\mathcal {A}}(O_{2})$.
• Причинно-следственная связь : если $O_{1}$ пространствоподобно отделено от $O_{2}$, затем $[{\mathcal {A}}(O_{1}),{\mathcal {A}}(O_{2})]=0$.
• Ковариация Пуанкаре : сильно непрерывное унитарное представление $U({\mathcal {P}})$ группы Пуанкаре ${\mathcal {P}}$ на ${\mathcal {H}}$ существует такое, что ${\mathcal {A}}(gO)=U(g){\mathcal {A}}(O)U(g)^{*},\,\,g\in {\mathcal {P}}.$
• Состояние спектра : Совместный спектр $\mathrm {Sp} (P)$ оператора энергии-импульса $P$ (т.е. генератор пространственно-временных переводов) содержится в закрытом переднем световом конусе.
• Существование вакуумного вектора : циклический и Пуанкаре-инвариантный вектор. $\Omega \in {\mathcal {H}}$ существует.

Чистые алгебры ${\mathcal {A}}(O)$ называются локальными алгебрами , а алгеброй С* ${\mathcal {A}}:={\overline {\bigcup _{O\in {\mathcal {O}}}{\mathcal {A}}(O)}}$ называется квазилокальной алгеброй .

категорная

Пусть Mink — категория пространства открытых подмножеств Минковского M с отображениями включения в качестве морфизмов . Нам дан ковариантный функтор ${\mathcal {A}}$ из Минка в uC*alg , категорию алгебр C* с единицей , такую, что каждый морфизм в Минке отображается в мономорфизм в uC*alg ( изотония ).

Группа Пуанкаре действует непрерывно на Минке . Существует обратный ход этого действия , непрерывный в нормы топологии ${\mathcal {A}}(M)$ ( ковариация Пуанкаре ).

Пространство Минковского имеет причинную структуру . Если открытое множество V лежит в причинном дополнении открытого множества U , то образ отображений

${\mathcal {A}}(i_{U,U\cup V})$

и

${\mathcal {A}}(i_{V,U\cup V})$

коммутировать (пространственноподобная коммутативность). Если ${\bar {U}}$ является причинным пополнением открытого множества U , то ${\mathcal {A}}(i_{U,{\bar {U}}})$ является изоморфизмом (примитивной причинностью).

Состоянием положительный относительно С*-алгебры называется линейный функционал над ней с единичной нормой . Если у нас есть государство ${\mathcal {A}}(M)$мы можем использовать « частичную трассировку », чтобы получить состояния, связанные с ${\mathcal {A}}(U)$ для каждого открытого множества через сетевой мономорфизм . Состояния над открытыми множествами образуют предпучковую структуру.

Согласно конструкции GNS , каждому состоянию можно сопоставить пространства представление гильбертова ${\mathcal {A}}(M).$ Чистые состояния соответствуют неприводимым представлениям , а смешанные состояния соответствуют приводимым представлениям . Каждое неприводимое представление (с точностью до эквивалентности ) называется сектором суперотбора . Мы предполагаем, что существует чистое состояние, называемое вакуумом , такое, что связанное с ним гильбертово пространство представляет собой унитарное представление группы Пуанкаре , совместимое с ковариацией Пуанкаре сети, так что, если мы посмотрим на алгебру Пуанкаре , спектр по энергии -импульс (соответствующий перемещению пространства-времени ) лежит на положительном световом конусе и в нем . Это вакуумный сектор.

КТП в искривленном пространстве-времени

Совсем недавно этот подход был реализован и включен в алгебраическую версию квантовой теории поля в искривленном пространстве-времени . Действительно, точка зрения локальной квантовой физики особенно подходит для обобщения процедуры перенормировки на теорию квантовых полей, развиваемую на искривленном фоне. несколько строгих результатов, касающихся КТП в присутствии черной дыры . Было получено

Дальнейшее чтение

• Хааг, Рудольф ; Кастлер, Дэниел (1964), «Алгебраический подход к квантовой теории поля» , Журнал математической физики , 5 (7): 848–861, Бибкод : 1964JMP.....5..848H , doi : 10.1063/1.1704187 , ISSN   0022-2488 , МР   0165864
• Хааг, Рудольф (1996) [1992], Локальная квантовая физика: поля, частицы, алгебры , теоретическая и математическая физика (2-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-3-642-61458 -3 , ISBN  978-3-540-61451-7 , МР   1405610
• Брунетти, Ромео; Фреденхаген, Клаус; Верх, Райнер (2003). «Общековариантный принцип локальности – новая парадигма локальной квантовой теории поля» . Связь в математической физике . 237 (1–2): 31–68. arXiv : math-ph/0112041 . Бибкод : 2003CMaPh.237...31B . дои : 10.1007/s00220-003-0815-7 . S2CID   13950246 .
• Брунетти, Ромео; Дюч, Майкл; Фреденхаген, Клаус (2009). «Пертурбативная алгебраическая квантовая теория поля и ренормгруппы» . Успехи теоретической и математической физики . 13 (5): 1541–1599. arXiv : 0901.2038 . дои : 10.4310/ATMP.2009.v13.n5.a7 . S2CID   15493763 .
• Бэр, Кристиан ; Фреденхаген, Клаус , ред. (2009). Квантовая теория поля в искривленном пространстве-времени: концепции и математические основы . Конспект лекций по физике. Том. 786. Спрингер. дои : 10.1007/978-3-642-02780-2 . ISBN  978-3-642-02780-2 .
• Брунетти, Ромео; Дапьяджи, Клаудио; Фреденхаген, Клаус ; Ингвасон, Якоб , ред. (2015). Достижения алгебраической квантовой теории поля . Исследования по математической физике. Спрингер. дои : 10.1007/978-3-319-21353-8 . ISBN  978-3-319-21353-8 .
• Рейзнер, Кася (2016). Пертурбативная алгебраическая квантовая теория поля: введение для математиков . Исследования по математической физике. Спрингер. arXiv : 1208.1428 . Бибкод : 2016paqf.book.....R . дои : 10.1007/978-3-319-25901-7 . ISBN  978-3-319-25901-7 .
• Хак, Томас-Пол (2016). Космологические приложения алгебраической квантовой теории поля в искривленном пространстве-времени . SpringerBriefs по математической физике. Том. 6. Спрингер. arXiv : 1506.01869 . Бибкод : 2016caaq.book.....H . дои : 10.1007/978-3-319-21894-6 . ISBN  978-3-319-21894-6 . S2CID   119657309 .
• Дютч, Майкл (2019). От классической теории поля к пертурбативной квантовой теории поля . Прогресс математической физики. Том. 74. Биркхойзер. дои : 10.1007/978-3-030-04738-2 . ISBN  978-3-030-04738-2 . S2CID   126907045 .
• Яу, Дональд (2019). Гомотопическая квантовая теория поля . Всемирная научная. arXiv : 1802.08101 . дои : 10.1142/11626 . ISBN  978-981-121-287-1 . S2CID   119168109 .
• Дедушенко, Николай (2023). «Информационный документ Snowmass: поиск определения QFT». Международный журнал современной физики А. 38 (4н05). arXiv : 2203.08053 . дои : 10.1142/S0217751X23300028 . S2CID   247450696 .

Внешние ссылки

• Local Quantum Physics Crossroads 2.0 – сеть ученых, работающих над локальной квантовой физикой.
• Статьи - База данных препринтов по алгебраической QFT.
• Алгебраическая квантовая теория поля - ресурсы AQFT в Гамбургском университете