Двумерная теория Янга – Миллса

В математической физике двумерная теория Янга-Миллса представляет собой частный случай теории Янга-Миллса, в которой измерение пространства-времени считается равным двум. Этот особый случай допускает строго определенную меру Янга – Миллса , а это означает, что (евклидов) интеграл по путям можно интерпретировать как меру на множестве связей по модулю калибровочных преобразований. Эта ситуация контрастирует с четырехмерным случаем, где строгая конструкция теории как меры в настоящее время неизвестна.

Аспектом предмета, представляющим особый интерес, является предел большого N , в котором структурная группа считается унитарной группой. $U(N)$ а затем $N$ стремится к бесконечности. Предел большого N двумерной теории Янга – Миллса связан с теорией струн.

Фон

Интерес к мере Янга-Миллса обусловлен статистическим механическим или конструктивным подходом квантовой теории поля к формулированию квантовой теории поля Янга-Миллса. Калибровочное поле математически описывается 1-формой $A$ по принципу принципала $G$-расслоение на многообразие $M$ принимающие значения в алгебре Ли $L(G)$ Лия группы $G$. Предположим, что структурная группа $G$, описывающая физические симметрии калибровочного поля, представляет собой компактную группу Ли с биинвариантной метрикой на алгебре Ли $L(G)$, а также мы предполагаем заданной риманову метрику на многообразии $M$. Функционал действия Янга – Миллса имеет вид

$$S_{YM}(A)={\frac {1}{2}}\int _{M}\|F^{A}\|^{2}\,d\sigma _{M}$$

где $F^{A}$ - кривизна формы соединения $A$, квадрат нормы в подынтегральном выражении получается из метрики на алгебре Ли и метрики на базовом многообразии, и $\sigma _{M}$ — риманова мера объема на $M$.

Мера $\mu _{T}$ формально задается $$d\mu _{T}(A)={\frac {1}{Z_{T}}}e^{-S_{YM}(A)/T}DA,$$ как нормализованная вероятностная мера в пространстве всех соединений расслоения, причем $T>0$ параметр и $Z_{T}$ – формальная нормировочная константа . Точнее, вероятностная мера, скорее всего, будет иметь смысл на пространстве орбит связностей при калибровочных преобразованиях .

Мера Янга–Миллса для двумерных многообразий.

Изучение теории Янга–Миллса в двух измерениях восходит, по крайней мере, к работе А.А. Мигдала в 1975 году. Оглядываясь назад, можно увидеть, что некоторые формулы, появившиеся в работе Мигдала, связаны с тепловым ядром структурной группы теории. Роль теплового ядра стала более явной в различных работах конца 1970-х годов, кульминацией которых стало введение действия теплового ядра в работу Менотти и Онофри в 1981 году.

В теории континуума мера Янга – Миллса $\mu _{T}$ было строго определено для случая, когда $M={\mathbb {R} }^{2}$ Брюс Драйвер и Леонардом Гроссом , Кристофером Кингом и Амбаром Сенгуптой . Для компактных многообразий, как ориентированных, так и неориентированных, с краем или без него, с заданной топологией расслоения, мера Янга – Миллса была построена Сенгуптой. В этом подходе двумерная мера Янга – Миллса строится с использованием гауссовой меры в бесконечномерном пространстве, обусловленном выполнением соотношений, вытекающих из топологий поверхности и расслоения. Переменные петли Вильсона (некоторые важные переменные в пространстве) были определены с использованием стохастических дифференциальных уравнений , а их ожидаемые значения были рассчитаны явно и оказались согласующимися с результатами действия теплового ядра.

С. Файн использовал формальный функциональный интеграл Янга – Миллса для вычисления значений ожидания цикла. Другие подходы включают подход Климека и Кондрацкого. и Аштекар и др. Тьерри Леви построил двумерную меру Янга-Миллса в очень общей структуре, начав с формул петлевого математического ожидания и построив меру, что в некоторой степени аналогично мере броуновского движения, строящейся на основе вероятностей перехода . В отличие от других работ, которые также стремились построить меру на основе значений математического ожидания цикла, конструкция Леви позволяет рассматривать очень широкое семейство наблюдаемых цикла.

Дискретная мера Янга–Миллса — это термин, который использовался для обозначения калибровочной теории решетки версии меры Янга–Миллса в , особенно для компактных поверхностей. Решетка в данном случае представляет собой триангуляцию поверхности. Примечательные факты являются: (i) дискретная мера Янга–Миллса может кодировать топологию расслоения на поверхности континуума, даже если для определения меры используется только триангуляция; (ii) когда две поверхности сшиты вдоль общей граничной петли, соответствующие дискретные меры Янга – Миллса свертываются, давая меру объединенной поверхности.

Ожидаемые значения петли Вильсона в двух измерениях

Для кусочно-гладкой петли $\gamma$ на базовом коллекторе $M$ и точка $u$ на волокне в основном $G$-пучок $P\to M$ над базовой точкой $o\in M$ цикла есть голономия $h_{\gamma }(A)$ любой связи $A$ на пачке. Для обычных петель $\gamma _{1},\ldots ,\gamma _{n}$, все основано на $o$ и любая функция $\varphi$ на $G^{n}$ функция $A\mapsto \varphi {\bigl (}h_{\gamma _{1}}(A),\ldots ,h_{\gamma _{n}}(A){\bigr )}$ называется переменной цикла Вильсона и представляет интерес, главным образом, когда $\varphi$ является произведением следов голономий в представлениях группы $G$. С $M$ будучи двумерным римановым многообразием, средние значения цикла

$$\int \varphi {\bigl (}h_{\gamma _{1}}(A),\ldots ,h_{\gamma _{n}}(A){\bigr )}\,d\mu _{T}(A)$$

были рассчитаны в упомянутых выше работах.

Если $M$ тогда это самолет $$\int \varphi {\bigl (}h_{\gamma }(A){\bigr )}\,d\mu _{T}(A)=\int _{G}\varphi (x)Q_{Ta}(x)\,dx,$$ где $Q_{t}(y)$ — тепловое ядро ​​группы $G$, $a$ это площадь, заключенная в петлю $\gamma$, а интегрирование производится по мере Хаара единичной массы . Эту формулу доказал Драйвер. и Гроссом и др. используя конструкцию гауссовой меры меры Янга – Миллса на плоскости и определяя параллельный перенос, интерпретируя уравнение параллельного переноса как Стратоновича стохастическое дифференциальное уравнение .

Если $M$ тогда это 2-сфера

$$\int \varphi {\bigl (}h_{\gamma }(A){\bigr )}\,d\mu _{T}(A)={\frac {1}{Q_{Tc}(e)}}\int _{G}\varphi (x)Q_{Ta}(x)Q_{Tb}(x^{-1})\,dx,$$

где сейчас $b$ это площадь региона «вне» цикла $\gamma$, и $c$ — общая площадь сферы. Эту формулу доказал Сенгупта. используя конструкцию условной гауссовской меры меры Янга – Миллса, и результат согласуется с тем, что можно получить, используя действие теплового ядра Менотти и Онофри.

В качестве примера для поверхностей более высокого рода, если $M$ является тором , то

$$\int \varphi {\bigl (}h_{\gamma }(A){\bigr )}\,d\mu _{T}(A)={\frac {\int _{G}\varphi (x)Q_{Ta}(x)Q_{Tb}(x^{-1}wzw^{-1}z^{-1})\,dx\,dw\,dz}{\int _{G}Q_{Tc}(wzw^{-1}z^{-1})\,dw\,dz}},$$

с $c$ - полная площадь тора, и $\gamma$ сжимаемая петля на торе, охватывающая область $a$. Это и его аналоги более высокого рода, а также для поверхностей с краем и расслоений с нетривиальной топологией были доказаны Сенгуптой.

Существует обширная литература по физике, посвященная петлевым математическим ожиданиям в двумерной теории Янга – Миллса. Многие из приведенных выше формул были известны в физической литературе с 1970-х годов, при этом результаты первоначально выражались через сумму по характерам калибровочной группы, а не через тепловое ядро, и с помощью функции $\varphi$ являющийся следом в некотором представлении группы. Выражения, связанные с тепловым ядром, затем явно появились в форме «действия теплового ядра» в работах Менотти и Онофри. Роль свойства свертки теплового ядра использовалась в работах Серджио Альбеверио и др. в построении стохастических процессов косповерхности, вдохновленных теорией Янга–Миллса и, косвенно, Макеенко и Мигдала в физической литературе.

Предел низкой температуры

Янга–Миллса Статистическая сумма формально имеет вид

$\int e^{-{\frac {1}{T}}S_{YM}(A)}\,DA$

В двумерном случае мы можем рассматривать это как (пропорциональное) знаменателю, который появляется в значениях ожидания цикла. Так, например, статистическая сумма тора будет равна

$$\int _{G^{2}}Q_{TS}(aba^{-1}b^{-1})\,da\,db,$$

где $S$ - площадь тора. В двух наиболее впечатляющих работах в полевых условиях Эдвард Виттен показал, что как $T\downarrow 0$ статистическая сумма дает объем пространства модулей плоских связностей относительно естественной меры объема в пространстве модулей. Эта мера объема связана с естественной симплектической структурой в пространстве модулей, когда поверхность ориентируема , и представляет собой кручение некоторого комплекса в случае, когда поверхность неориентируема. Открытие Виттена по-разному изучалось несколькими исследователями. Позволять ${\mathcal {M}}_{g}^{0}$ обозначают пространство модулей плоских связностей на тривиальном расслоении, причем структурная группа представляет собой компактную связную полупростую группу Ли. $G$ алгебра Ли которой снабжена Ad-инвариантной метрикой над компактным двумерным ориентируемым многообразием рода $g\geq 2$. Виттен показал что симплектический объем этого пространства модулей определяется выражением

$$\operatorname {vol} _{\overline {\Omega }}{\bigl (}{\mathcal {M}}_{g}^{0}{\bigr )}=|Z(G)|\operatorname {vol} (G)^{2g-2}\sum _{\alpha }{\frac {1}{(\dim \alpha )^{2g-2}}},$$

где сумма ведется по всем неприводимым представлениям $G$. Это было строго доказано Сенгуптой. (см. также работы Лизы Джеффри и Кефэн Лю ). Имеется большая литература о симплектической структуре пространства модулей плоских связей и, в более общем смысле, о самом пространстве модулей, причем основные ранние работы принадлежат Майклу Атье и Раулю Ботту .

Возвращаясь к мере Янга–Миллса, Сенгупта доказал, что сама мера сходится в слабом смысле к подходящему масштабированному кратному симплектической мере объема для ориентируемых поверхностей рода $\geq 2$. Тьерри Леви и Джеймс Р. Норрис установил принцип больших уклонений для этой сходимости, показав, что мера Янга-Миллса кодирует действия функционал Янга-Миллса , хотя этот функционал явно не появляется в строгой формулировке меры.

Большой N предел

Предел больших N калибровочных теорий относится к поведению теории для калибровочных групп вида $U(N)$, $SU(N)$, $O(N)$, $SO(N)$и другие такие семьи, как $N$ идет в $\uparrow \infty$. По этому предмету имеется обширная литература по физике, включая крупные ранние работы Герардуса 'т Хоофта . Ключевым инструментом в этом анализе является уравнение Макеенко–Мигдала.

В двумерном пространстве уравнение Макеенко–Мигдала принимает специальный вид, разработанный Казаковым и Костовым. В пределе большого N двумерная форма уравнения Макеенко – Мигдала связывает функционал петли Вильсона для сложной кривой с множественными пересечениями с произведением функционалов петли Вильсона для пары более простых кривых, по крайней мере, с одним пересечением меньше. В случае сферы или плоскости было высказано предположение, что уравнение Макеенко – Мигдала может (в принципе) свести вычисление петлевых функционалов Вильсона для произвольных кривых к петлевому функционалу Вильсона для простой замкнутой кривой.

В измерении 2 некоторые основные идеи были предложены И.М. Сингером , который назвал этот предел главным полем (общее понятие в некоторых областях физики ). Сюй изучил крупно- $N$ предел ожидаемых значений двумерного цикла Янга – Миллса с использованием идей теории случайных матриц . Сенгупта вычислил предел больших N значений математического ожидания цикла на плоскости и прокомментировал связь со свободной вероятностью. Подтверждая одно предложение Зингера, Михаил Аншелевич и Сенгупта показал, что предел больших N меры Янга–Миллса на плоскости для групп $U(N)$ задается свободным теоретико-вероятностным аналогом меры Янга – Миллса. Обширное исследование основного поля на самолете провел Тьерри Леви. Несколько важных вкладов внесли Брюс К. Драйвер, Брайан К. Холл и Тодд Кемп. Франк Габриэль, и Антуан Дальквист. Дальквист и Норрис построили мастер-поле на двумерной сфере.

В пространственно-временном измерении, превышающем 2, строгих математических результатов очень мало. Сурав Чаттерджи доказал несколько результатов в теории калибровочной теории больших N для размерностей больше 2. Чаттерджи установил явную формулу для главного члена свободной энергии трехмерных $U(N)$ калибровочная теория решетки для любого N, поскольку период решетки стремится к нулю. Позволять $Z(n,\varepsilon ,g)$ быть статистической суммой $d$-мерный $U(N)$ калибровочная теория решетки с силой связи $g$ в коробке с решетчатым промежутком $\varepsilon$ а размер равен n интервалов в каждом направлении. Чаттерджи показал, что в измерениях d=2 и 3 $\log Z(n,\varepsilon ,g)$ является $$n^{d}\left({\frac {1}{2}}(d-1)N^{2}\log(g^{2}\varepsilon ^{4-d})+(d-1)\log \left({\frac {\prod _{j=1}^{N-1}j!}{(2\pi )^{N/2}}}\right)+N^{2}K_{d}\right)$$ до ведущего порядка в $n$, где $K_{d}$ является предельным членом свободной энергии. Аналогичный результат был получен и для размерности 4: $n\to \infty$, $\varepsilon \to 0$, и $g\to 0$ независимо.