1/ N расширение

Примеры
Как трехглюонная вершина могла бы выглядеть в системе двойного индекса 'т Хофта. Это делает очевидной аналогию с теорией струн, которая проявляется при большом N.
1	2

В квантовой теории поля и статистической механике расширение 1/ N ) представляет собой « большого N » (также известное как расширение особый пертурбативный анализ квантовых теорий поля с симметрии внутренней группой , такой как SO(N) или SU(N) . Он заключается в получении разложения свойств теории по степеням $1/N$ , который рассматривается как небольшой параметр.

Этот метод используется в КХД (хотя $N$ там всего 3) с калибровочной группой SU(3). Другое применение в физике элементарных частиц — изучение дуальностей AdS/CFT .

Он также широко используется в физике конденсированного состояния , где его можно использовать для обеспечения строгой основы теории среднего поля .

Пример

Начнем с простого примера — O(N) φ ⁴ — скалярное поле φ принимает значения в вещественном векторном представлении O(N). Используя обозначение индекса для N « ароматов » с соглашением Эйнштейна о суммировании и поскольку O(N) ортогонально, не будет делаться никакого различия между ковариантными и контравариантными индексами. Плотность Лагранжа определяется выражением

{\mathcal {L}}={1 \over 2}\partial ^{\mu }\phi _{a}\partial _{\mu }\phi _{a}-{m^{2} \over 2}\phi _{a}\phi _{a}-{\lambda  \over 8N}(\phi _{a}\phi _{a})^{2}

где $a$ изменяется от 1 до N. Обратите внимание, что N было поглощено силой связи λ. Здесь это имеет решающее значение.

Вводя вспомогательное поле F;

{\mathcal {L}}={1 \over 2}\partial ^{\mu }\phi _{a}\partial _{\mu }\phi _{a}-{m^{2} \over 2}\phi _{a}\phi _{a}+{1 \over 2}F^{2}-{{\sqrt {\lambda /N}} \over 2}F\phi _{a}\phi _{a}

В диаграммах Фейнмана граф разбивается на непересекающиеся циклы , каждый из которых состоит из φ ребер одного и того же сорта, и циклы соединены F ребрами (которые не имеют линии распространения, поскольку вспомогательные поля не распространяются).

Каждая 4-точечная вершина вносит вклад λ/N и, следовательно, 1/N. Каждый цикл ароматов вносит вклад N, потому что существует N таких ароматов, которые нужно суммировать. Обратите внимание, что не все циклы потока импульса являются циклами вкуса.

По крайней мере, с точки зрения пертурбации, доминирующий вклад в связанную корреляционную функцию из 2k точек имеет порядок (1/N) ^к-1 а остальные члены представляют собой высшие степени 1/N. Выполнение разложения 1/N становится все более точным в пределе большого N. Плотность энергии вакуума пропорциональна N, но ею можно пренебречь из-за несоответствия предположениям общей теории относительности . ^{[ нужны разъяснения ]}

Благодаря такой структуре для обозначения диаграмм Фейнмана можно использовать другие графические обозначения. Каждый ароматический цикл может быть представлен вершиной. Ароматические пути, соединяющие две внешние вершины, представлены одной вершиной. Две внешние вершины на одном и том же ароматном пути естественным образом спарены и могут быть заменены одной вершиной и ребром (не F-ребром), соединяющим ее с ароматным путем. Ребра F — это ребра, соединяющие два ароматических цикла/пути друг с другом (или ароматический цикл/путь с самим собой). Взаимодействия вдоль ароматного цикла/пути имеют определенный циклический порядок и представляют собой особый вид графа, где порядок ребер, инцидентных вершине, имеет значение, но только с точностью до циклической перестановки, и поскольку это теория действительных скаляров, также изменение порядка (но если у нас есть SU(N) вместо SU(2), изменение порядка недопустимо). Каждому F-ребру присвоен импульс (передача импульса), и с каждым циклом вкуса связан внутренний интеграл импульса.

КХД

SU(3), КХД — это калибровочная теория включающая глюоны и кварки . Левые кварки принадлежат триплетному представлению , правые — антитриплетному представлению (после их зарядового сопряжения), а глюоны — вещественному присоединенному представлению . Краю кварка присваивается цвет и ориентация, а краю глюона — цветовая пара.

В пределе большого N мы рассматриваем только доминирующий член. См. AdS/CFT .

Ссылки

Г. 'т Хофт (1974). «Теория плоских диаграмм сильных взаимодействий» . Ядерная физика Б . 72 (3): 461. Бибкод : 1974NuPhB..72..461T . дои : 10.1016/0550-3213(74)90154-0 . Архивировано из оригинала 11 октября 2006 г.