Присоединенное представление

В математике присоединенное представление (или присоединенное действие ) группы Ли G — это способ представления элементов группы как линейных преобразований группы алгебры Ли , рассматриваемой как векторное пространство . Например, G если $GL(n,\mathbb {R} )$ , группа Ли вещественных n на n обратимых матриц размером , то присоединенное представление — это групповой гомоморфизм, который отправляет обратимую размером n на n матрицу $g$ к эндоморфизму векторного пространства всех линейных преобразований $\mathbb {R} ^{n}$ определяется: $x\mapsto gxg^{-1}$ .

Для любой группы Ли это естественное представление получается путем линеаризации (т. е. взятия дифференциала ) действия G путем на себя сопряжения . Присоединенное представление может быть определено для линейных алгебраических групп над произвольными полями .

Определение [ править ]

Пусть G — группа Ли и пусть

\Psi :G\to \operatorname {Aut} (G)

— отображение $g \mapsto Ψ g$ , с Aut( G ) группой автоморфизмов G , и $Ψ g : G \to G$ заданной внутренним автоморфизмом (сопряжением)

\Psi _{g}(h)=ghg^{-1}~.

Это Ψ является гомоморфизмом группы Ли .

Для каждого g в G определите $Ad g$ как производную от $Ψ g$ в начале координат:

\operatorname {Ad} _{g}=(d\Psi _{g})_{e}:T_{e}G\rightarrow T_{e}G

где $d$ - дифференциал и ${\mathfrak {g}}=T_{e}G$ — касательное пространство в начале координат $e$ ( $e$ — единичный элемент группы $G$ ). С $\Psi _{g}$ — автоморфизм группы Ли, Ad _g — автоморфизм алгебры Ли ; т.е. обратимое линейное преобразование ${\mathfrak {g}}$ самому себе, что сохраняет скобку Ли . Более того, поскольку $g\mapsto \Psi _{g}$ является групповым гомоморфизмом, $g\mapsto \operatorname {Ad} _{g}$ тоже является групповым гомоморфизмом. ^[1] Следовательно, карта

\mathrm {Ad} \colon G\to \mathrm {Aut} ({\mathfrak {g}}),\,g\mapsto \mathrm {Ad} _{g}

представляет собой групповое представление называемое присоединенным представлением G , .

Если G — погруженная подгруппа Ли полной линейной группы $\mathrm {GL} _{n}(\mathbb {C} )$ (называемая иммерсально линейной группой Ли), то алгебра Ли ${\mathfrak {g}}$ состоит из матриц, а экспоненциальное отображение является матричной экспонентой $\operatorname {exp} (X)=e^{X}$ для матриц X с малыми операторными нормами. Мы вычислим производную от $\Psi _{g}$ в $e$ . Для g в G и маленького X в ${\mathfrak {g}}$ , Кривая $t\to \exp(tX)$ имеет производную $X$ тогда при t = 0 получим:

\operatorname {Ad} _{g}(X)=(d\Psi _{g})_{e}(X)=(\Psi _{g}\circ \exp(tX))'(0)=(g\exp(tX)g^{-1})'(0)=gXg^{-1}

где справа у нас есть произведения матриц. Если $G\subset \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {C} )$ является замкнутой подгруппой (т. е. G является матричной группой Ли), то эта формула справедлива для всех g в G и всех X в ${\mathfrak {g}}$ .

Вкратце, присоединенное представление — это представление изотропии, связанное с действием сопряжения G вокруг единичного элемента G .

Производное от объявления [ править ]

Всегда можно перейти от представления группы Ли G к представлению ее алгебры Ли, взяв производную в единице.

Взяв производную присоединенного отображения

\mathrm {Ad} :G\to \mathrm {Aut} ({\mathfrak {g}})

в единичном элементе дает присоединенное представление алгебры Ли ${\mathfrak {g}}=\operatorname {Lie} (G)$ из Г :

{\begin{aligned}\mathrm {ad} :&\,{\mathfrak {g}}\to \mathrm {Der} ({\mathfrak {g}})\\&\,x\mapsto \operatorname {ad} _{x}=d(\operatorname {Ad} )_{e}(x)\end{aligned}}

где $\mathrm {Der} ({\mathfrak {g}})=\operatorname {Lie} (\operatorname {Aut} ({\mathfrak {g}}))$ является алгеброй Ли $\mathrm {Aut} ({\mathfrak {g}})$ которую можно отождествить с вывода алгеброй ${\mathfrak {g}}$ . Можно показать, что

\mathrm {ad} _{x}(y)=[x,y]\,

для всех $x,y\in {\mathfrak {g}}$ , где правая часть задана (индуцирована) скобкой Ли векторных полей . Действительно, ^[2] Напомним, что просмотр ${\mathfrak {g}}$ как алгебра Ли левоинвариантных векторных полей на G , скобка на ${\mathfrak {g}}$ дается как: ^[3] для левоинвариантных векторных полей X , Y ,

[X,Y]=\lim _{t\to 0}{1 \over t}(d\varphi _{-t}(Y)-Y)

где $\varphi _{t}:G\to G$ обозначает поток , порожденный X . Как выясняется из, $\varphi _{t}(g)=g\varphi _{t}(e)$ примерно потому, что обе стороны удовлетворяют одному и тому же ОДУ, определяющему поток. То есть, $\varphi _{t}=R_{\varphi _{t}(e)}$ где $R_{h}$ обозначает правильное умножение на $h\in G$ . С другой стороны, поскольку $\Psi _{g}=R_{g^{-1}}\circ L_{g}$ по правилу цепочки ,

\operatorname {Ad} _{g}(Y)=d(R_{g^{-1}}\circ L_{g})(Y)=dR_{g^{-1}}(dL_{g}(Y))=dR_{g^{-1}}(Y)

поскольку Y левоинвариантен. Следовательно,

[X,Y]=\lim _{t\to 0}{1 \over t}(\operatorname {Ad} _{\varphi _{t}(e)}(Y)-Y)

,

что и нужно было показать.

Таким образом, $\mathrm {ad} _{x}$ совпадает с тем, которое определено в § Присоединенное представление алгебры Ли ниже. Ad и ad связаны экспоненциальным отображением : в частности, Ad _{exp( x )} = exp(ad _x ) для всех x в алгебре Ли. ^[4] Это следствие общего результата, связывающего гомоморфизмы группы Ли и алгебры Ли через экспоненциальное отображение. ^[5]

Если G — иммерсально линейная группа Ли, то приведенное выше вычисление упрощается: действительно, как отмечалось ранее, $\operatorname {Ad} _{g}(Y)=gYg^{-1}$ и таким образом с $g=e^{tX}$ ,

\operatorname {Ad} _{e^{tX}}(Y)=e^{tX}Ye^{-tX}

.

Взяв производную от этого в $t=0$ , у нас есть:

\operatorname {ad} _{X}Y=XY-YX

.

Общий случай можно вывести и из линейного случая: действительно, пусть $G'$ — иммерсально линейная группа Ли, имеющая ту же алгебру Ли, что и G . Тогда производная Ad в единице для G и для G ' совпадают; следовательно, без ограничения общности, G можно считать G ' .

Обозначение верхнего/строчного регистра широко используется в литературе. Так, например, вектор $x$ в алгебре ${\mathfrak {g}}$ порождает векторное поле $X$ группе $G.$ в Аналогично, сопряженное отображение $ad x y = [x, y]$ векторов в ${\mathfrak {g}}$ гомоморфен ^{[ нужны разъяснения ]} к производной Ли $L X Y = [X, Y]$ векторных полей на группе $G,$ рассматриваемой как многообразие .

Далее смотрите производную экспоненциального отображения .

Присоединенное представление алгебры Ли [ править ]

Позволять ${\mathfrak {g}}$ — алгебра Ли над некоторым полем. Дан элемент $x$ алгебры Ли. ${\mathfrak {g}}$ , определяется присоединенное действие $x$ на ${\mathfrak {g}}$ как карта

\operatorname {ad} _{x}:{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}\qquad {\text{with}}\qquad \operatorname {ad} _{x}(y)=[x,y]

для $вас$ всех ${\mathfrak {g}}$ . Это называется присоединенным эндоморфизмом или присоединенным действием . ( $\operatorname {ad} _{x}$ также часто обозначается как $\operatorname {ad} (x)$ .) Поскольку скобка билинейна, это определяет линейное отображение

\operatorname {ad} :{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}({\mathfrak {g}})=(\operatorname {End} ({\mathfrak {g}}),[\;,\;])

задано $x \mapsto ad x$ . В пределах конца $({\mathfrak {g}})$ , скобка по определению задается коммутатором двух операторов:

[T,S]=T\circ S-S\circ T

где $\circ$ обозначает композицию линейных карт. Используя приведенное выше определение скобки, тождество Якоби

[x,[y,z]]+[y,[z,x]]+[z,[x,y]]=0

принимает форму

\left([\operatorname {ad} _{x},\operatorname {ad} _{y}]\right)(z)=\left(\operatorname {ad} _{[x,y]}\right)(z)

где $x$ , $y$ и $z$ — произвольные элементы ${\mathfrak {g}}$ .

Это последнее тождество говорит о том, что ad является гомоморфизмом алгебры Ли; т. е. линейное отображение, которое переводит скобки в скобки. Следовательно, ad является представлением алгебры Ли и называется присоединенным представлением алгебры. ${\mathfrak {g}}$ .

Если ${\mathfrak {g}}$ конечномерен и для него выбран базис, то ${\mathfrak {gl}}({\mathfrak {g}})$ — алгебра Ли квадратных матриц, а композиция соответствует умножению матриц .

На более теоретико-модульном языке конструкция говорит, что ${\mathfrak {g}}$ является модулем над собой.

Ядро рекламы – центр это ${\mathfrak {g}}$ (это просто перефразирование определения). С другой стороны, для каждого элемента $z$ в ${\mathfrak {g}}$ , линейное отображение $\delta =\operatorname {ad} _{z}$ подчиняется закону Лейбница :

\delta ([x,y])=[\delta (x),y]+[x,\delta (y)]

для всех $x$ и $y$ в алгебре (переформулировка тождества Якоби). Другими словами, ad _z является производным и образом ${\mathfrak {g}}$ под объявлением является подалгебра Der $({\mathfrak {g}})$ , пространство всех дифференцирований ${\mathfrak {g}}$ .

Когда ${\mathfrak {g}}=\operatorname {Lie} (G)$ — алгебра Ли группы Ли G , ad — дифференциал Ad в единичном элементе G. группы

Существует следующая формула, аналогичная формуле Лейбница : для скаляров $\alpha ,\beta$ и элементы алгебры Ли $x,y,z$ ,

(\operatorname {ad} _{x}-\alpha -\beta )^{n}[y,z]=\sum _{i=0}^{n}{\binom {n}{i}}\left[(\operatorname {ad} _{x}-\alpha )^{i}y,(\operatorname {ad} _{x}-\beta )^{n-i}z\right].

Структурные константы [ править ]

Явные матричные элементы присоединенного представления задаются структурными константами алгебры. То есть пусть {e ^я} — набор базисных векторов алгебры, причем

[e^{i},e^{j}]=\sum _{k}{c^{ij}}_{k}e^{k}.

Тогда матричные элементы для объявление _{электронной ^я} даны

{\left[\operatorname {ad} _{e^{i}}\right]_{k}}^{j}={c^{ij}}_{k}~.

Так, например, присоединенное представление su(2) является определяющим представлением so(3) .

Примеры [ править ]

Если G абелева , размерности n присоединенное представление G является тривиальным n -мерным представлением.
Если G — матричная группа Ли (т. е. замкнутая подгруппа $\mathrm {GL} (n,\mathbb {C} )$ ), то ее алгебра Ли является алгеброй матриц размера n × n с коммутатором скобки Ли (т.е. подалгеброй ${\mathfrak {gl}}_{n}(\mathbb {C} )$ ). В этом случае сопряженное отображение имеет вид Ad _g ( x ) = gxg ⁻¹.
Если G представляет собой SL(2, R ) (вещественные матрицы 2×2 с определителем 1), алгебра Ли группы G состоит из вещественных матриц 2×2 со следом 0. Представление эквивалентно представлению, заданному действием G линейным подстановка в пространстве бинарных (т. е. с двумя переменными) квадратичных форм .

Свойства [ править ]

В следующей таблице суммированы свойства различных карт, упомянутых в определении.

$\Psi \colon G\to \operatorname {Aut} (G)\,$	$\Psi _{g}\colon G\to G\,$
Гомоморфизм группы Ли: $\Psi _{gh}=\Psi _{g}\Psi _{h}$	Автоморфизм группы Ли: $\Psi _{g}(ab)=\Psi _{g}(a)\Psi _{g}(b)$ $(\Psi _{g})^{-1}=\Psi _{g^{-1}}$
$\operatorname {Ad} \colon G\to \operatorname {Aut} ({\mathfrak {g}})$	$\operatorname {Ad} _{g}\colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}$
Гомоморфизм группы Ли: $\operatorname {Ad} _{gh}=\operatorname {Ad} _{g}\operatorname {Ad} _{h}$	Автоморфизм алгебры Ли: $\operatorname {Ad} _{g}$ линеен $\left(\operatorname {Ad} _{g}\right)^{-1}=\operatorname {Ad} _{g^{-1}}$ $\operatorname {Ad} _{g}[x,y]=[\operatorname {Ad} _{g}x,\operatorname {Ad} _{g}y]$
$\operatorname {ad} \colon {\mathfrak {g}}\to \operatorname {Der} ({\mathfrak {g}})$	$\operatorname {ad} _{x}\colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}$
Гомоморфизм алгебры Ли: $\operatorname {ad}$ линеен $\operatorname {ad} _{[x,y]}=[\operatorname {ad} _{x},\operatorname {ad} _{y}]$	Вывод алгебры Ли: $\operatorname {ad} _{x}$ линеен $\operatorname {ad} _{x}[y,z]=[\operatorname {ad} _{x}y,z]+[y,\operatorname {ad} _{x}z]$

Образ . G ) при присоединенном представлении обозначается Ad G ( Если G связна ядро , то присоединенного представления совпадает с ядром Ψ, центром G. является которое Следовательно, присоединенное представление связной группы Ли G является точным тогда и только тогда, когда G бесцентрна. В более общем смысле, если G несвязен, то ядро присоединенного отображения является централизатором единичного компонента G ₀ группы G . По первой теореме об изоморфизме имеем

\mathrm {Ad} (G)\cong G/Z_{G}(G_{0}).

Учитывая конечномерную вещественную алгебру Ли ${\mathfrak {g}}$ , по третьей теореме Ли , существует связная группа Ли $\operatorname {Int} ({\mathfrak {g}})$ чья алгебра Ли является образом присоединенного представления ${\mathfrak {g}}$ (т.е. $\operatorname {Lie} (\operatorname {Int} ({\mathfrak {g}}))=\operatorname {ad} ({\mathfrak {g}})$ .) Она называется присоединенной группой ${\mathfrak {g}}$ .

Сейчас если ${\mathfrak {g}}$ является алгеброй Ли связной группы Ли G , то $\operatorname {Int} ({\mathfrak {g}})$ является образом присоединенного представления G : $\operatorname {Int} ({\mathfrak {g}})=\operatorname {Ad} (G)$ .

Корни полупростой группы Ли [ править ]

Если G полупроста , ненулевые веса присоединенного представления образуют систему корней . ^[6](Вообще, прежде чем продолжить, нужно перейти к комплексификации алгебры Ли.) Чтобы увидеть, как это работает, рассмотрим случай G = SL( n , R ). Мы можем взять группу диагональных матриц Diag( t ₁ , ..., t _n ) в качестве максимального тора T . Сопряжение элементом T отправляет

{\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\cdots &a_{nn}\\\end{bmatrix}}\mapsto {\begin{bmatrix}a_{11}&t_{1}t_{2}^{-1}a_{12}&\cdots &t_{1}t_{n}^{-1}a_{1n}\\t_{2}t_{1}^{-1}a_{21}&a_{22}&\cdots &t_{2}t_{n}^{-1}a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\t_{n}t_{1}^{-1}a_{n1}&t_{n}t_{2}^{-1}a_{n2}&\cdots &a_{nn}\\\end{bmatrix}}.

Таким образом, T действует тривиально на диагональной части алгебры Ли группы G и с собственными векторами t _i t _j⁻¹на различных недиагональных входах. Корнями G являются веса diag( t ₁ , ..., t _n ) → t _i t _j⁻¹. Это объясняет стандартное описание корневой системы G = SL _n ( R ) как набора векторов формы e _i − e _j .

Пример SL(2, R) [ править ]

При вычислении системы корней для одного из простейших случаев групп Ли группа SL(2, R ) двумерных матриц с определителем 1 состоит из набора матриц вида:

{\begin{bmatrix}a&b\\c&d\\\end{bmatrix}}

где a , b , c , d вещественные и ad - bc = 1.

Максимальная компактная связная абелева подгруппа Ли или максимальный тор T задается подмножеством всех матриц вида

{\begin{bmatrix}t_{1}&0\\0&t_{2}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}t_{1}&0\\0&1/t_{1}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\exp(\theta )&0\\0&\exp(-\theta )\\\end{bmatrix}}

с $t_{1}t_{2}=1$ . Алгеброй Ли максимального тора является подалгебра Картана, состоящая из матриц

{\begin{bmatrix}\theta &0\\0&-\theta \\\end{bmatrix}}=\theta {\begin{bmatrix}1&0\\0&0\\\end{bmatrix}}-\theta {\begin{bmatrix}0&0\\0&1\\\end{bmatrix}}=\theta (e_{1}-e_{2}).

Если мы сопрягаем элемент SL(2, R ) с элементом максимального тора, получим

{\begin{bmatrix}t_{1}&0\\0&1/t_{1}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a&b\\c&d\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1/t_{1}&0\\0&t_{1}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}at_{1}&bt_{1}\\c/t_{1}&d/t_{1}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1/t_{1}&0\\0&t_{1}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a&bt_{1}^{2}\\ct_{1}^{-2}&d\\\end{bmatrix}}

Матрицы

{\begin{bmatrix}1&0\\0&0\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0&0\\0&1\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0&1\\0&0\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0&0\\1&0\\\end{bmatrix}}

тогда являются «собственными векторами» операции сопряжения с собственными значениями $1,1,t_{1}^{2},t_{1}^{-2}$ . Функция Λ, дающая $t_{1}^{2}$ является мультипликативным характером или гомоморфизмом тора группы в основное поле R. Функция λ, задающая θ, является весом алгебры Ли с весовым пространством, заданным размахом матриц.

Приятно показать мультипликативность характера и линейность веса. Далее можно доказать, что дифференциал Λ можно использовать для создания веса. Также полезно рассмотреть случай SL(3, R ).

Варианты и аналоги [ править ]

Присоединенное представление также можно определить для алгебраических групп над любым полем. ^{[ нужны разъяснения ]}

Косопряженное представление является контргредиентным представлением присоединенного представления. Александр Кириллов заметил, что орбита любого вектора в косопряжённом представлении является симплектическим многообразием . Согласно философии теории представлений , известной как метод орбит (см. также формулу характера Кириллова ), неприводимые представления группы Ли G должны быть каким-то образом проиндексированы ее косопряженными орбитами. Эта связь наиболее близка в случае нильпотентных групп Ли .

См. также [ править ]

Присоединенный пакет - пакет алгебры Ли, связанный с любым основным пакетом посредством присоединенного представления.

Примечания [ править ]

^ Действительно, по правилу цепочки , $\operatorname {Ad} _{gh}=d(\Psi _{gh})_{e}=d(\Psi _{g}\circ \Psi _{h})_{e}=d(\Psi _{g})_{e}\circ d(\Psi _{h})_{e}=\operatorname {Ad} _{g}\circ \operatorname {Ad} _{h}.$
^ Кобаяши и Номидзу 1996 , стр. 41
^ Кобаяши и Номидзу 1996 , Предложение 1.9.
^ Зал 2015 г., Предложение 3.35.
^ Холл, 2015 г., Теорема 3.28.
^ Зал 2015 г., раздел 7.3.

Ссылки [ править ]

Фултон, Уильям ; Харрис, Джо (1991). Теория представлений. Первый курс . Тексты для аспирантов по математике , Чтения по математике. Том. 129. Нью-Йорк: Springer-Verlag. дои : 10.1007/978-1-4612-0979-9 . ISBN 978-0-387-97495-8 . МР 1153249 . OCLC 246650103 .
Кобаяши, Шошичи; Номидзу, Кацуми (1996). Основы дифференциальной геометрии, Vol. 1 (Новое изд.). Уайли-Интерсайенс. ISBN 978-0-471-15733-5 .
Холл, Брайан К. (2015), Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарное введение , Тексты для аспирантов по математике, том. 222 (2-е изд.), Спрингер, ISBN 978-3319134666 .

[1] Действительно, по правилу цепочки , $\operatorname {Ad} _{gh}=d(\Psi _{gh})_{e}=d(\Psi _{g}\circ \Psi _{h})_{e}=d(\Psi _{g})_{e}\circ d(\Psi _{h})_{e}=\operatorname {Ad} _{g}\circ \operatorname {Ad} _{h}.$

[2] Кобаяши и Номидзу 1996 , стр. 41

[3] Кобаяши и Номидзу 1996 , Предложение 1.9.

[4] Зал 2015 г., Предложение 3.35.

[5] Холл, 2015 г., Теорема 3.28.

[6] Зал 2015 г., раздел 7.3.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]