Третья теорема Ли

В математике теории Ли утверждает , третья теорема Ли что каждая конечномерная алгебра Ли ${\mathfrak {g}}$ над действительными числами связан с группой Ли $G$ . Теорема является частью соответствия группа Ли–алгебра Ли .

Исторически сложилось так, что третья теорема относилась к другому, но родственному результату. Две предыдущие теоремы Софуса Ли , переформулированные на современном языке, относятся к бесконечно малым преобразованиям на действия группы гладком многообразии . Третья теорема в списке устанавливает тождество Якоби для бесконечно малых преобразований локальной группы Ли . И наоборот, при наличии алгебры Ли векторных полей интегрирование дает локальной действие группы Ли . Результат, ныне известный как третья теорема, обеспечивает внутреннее и глобальное обращение к исходной теореме.

Исторические заметки

Эквивалентность Эли категории односвязных вещественных групп Ли и конечномерных вещественных алгебр Ли обычно называют (в литературе второй половины 20 века) теоремой Картана или теоремой Картана-Ли, как это доказал Картан . Софус Ли ранее доказал бесконечно малую версию: локальную разрешимость уравнения Маурера-Картана или эквивалентность категории конечномерных алгебр Ли и категории локальных групп Ли.

Ли перечислил свои результаты в виде трех прямых и трех обратных теорем. Бесконечно малый вариант теоремы Картана был по сути третьей обратной теоремой Ли. Во влиятельной книге ^{[ 1 ]} Жан-Пьер Серр назвал это третьей теоремой Ли . Исторически это название несколько вводит в заблуждение, но часто используется в связи с обобщениями.

Серр представил в своей книге два доказательства: одно основано на теореме Адо , а другое пересказывает доказательство Эли Картана.

Доказательства

Существует несколько доказательств третьей теоремы Ли, каждое из которых использует разные алгебраические и/или геометрические методы.

Алгебраическое доказательство

Классическое доказательство простое, но оно опирается на теорему Адо , доказательство которой является алгебраическим и весьма нетривиальным. ^{[ 2 ]} Теорема Адо утверждает, что любая конечномерная алгебра Ли может быть представлена матрицами . Как следствие, интегрирование такой алгебры матриц с помощью матричной экспоненты дает группу Ли, интегрирующую исходную алгебру Ли.

Когомологическое доказательство

Более геометрическое доказательство принадлежит Эли Картану и было опубликовано Виллемом ван Эстом [ nl ] . ^{[ 3 ]} Это доказательство использует индукцию по размерности центра и включает комплекс Шевалле-Эйленберга . ^{[ 4 ]}

Геометрическое доказательство

Другое геометрическое доказательство было обнаружено в 2000 году Дуйстермаатом и Колком. ^{[ 5 ]} В отличие от предыдущих, это конструктивное доказательство : интегрирующая группа Ли строится как фактор (бесконечномерной) банаховой группы Ли путей на алгебре Ли по подходящей подгруппе. Это доказательство оказало влияние на теорию Ли. ^{[ 6 ]} поскольку оно открыло путь к обобщению третьей теоремы Ли для группоидов и алгеброидов Ли . ^{[ 7 ]}

См. также

Интегратор группы Ли

Ссылки

^ Жан-Пьер Серр (1992) [1965] Алгебры Ли и группы Ли: лекции 1964 года, прочитанные в Гарвардском университете , страница 152, Springer ISBN 978-3-540-55008-2
^ Тао, Теренс (10 мая 2011 г.). «Теорема Адо» . Что нового . Проверено 18 сентября 2022 г.
^ Ван Эст, Виллем (1987). «Доказательство Эли Картана третьей теоремы Ли» . Гамильтоновы действия групп, третья теорема Ли, в разработке (на французском языке). 27 . Париж: Герман: 83–96.
^ Эберт, Йоханнес. «Изложение Ван Эстом доказательства Картана третьей теоремы Ли» (PDF) .
^ Дуистермаат, Джей-Джей ; Колк, JAC (2000). Группы лжи . Университетский текст Берлин, Гейдельберг: Springer Berlin Heidelberg. дои : 10.1007/978-3-642-56936-4 . ISBN 978-3-540-15293-4 .
^ Шьямаар, Рейер (25 октября 2011 г.). «Вклад Ганса Дуистермаата в геометрию Пуассона». arXiv : 1110.5627 [ math.HO ].
^ Крайник, Мариус ; Фернандес, Руи (01 марта 2003 г.). «Интегрируемость скобок Ли» . Анналы математики . 157 (2): 575–620. arXiv : math/0105033 . дои : 10.4007/анналы.2003.157.575 . ISSN 0003-486X . S2CID 6992408 .

Картан, Эли (1930), «Теория конечных и непрерывных групп и анализ положения », Mémorial Sc. , полет. XLII, стр. 1–61
Холл, Брайан К. (2015), Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарное введение , Тексты для аспирантов по математике, том. 222 (2-е изд.), Springer, номер документа : 10.1007/978-3-319-13467-3 , ISBN. 978-3319134666
Хельгасон, Сигурдур (2001), Дифференциальная геометрия, группы Ли и симметрические пространства , Аспирантура по математике , том. 34, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN. 978-0-8218-2848-9 , МР 1834454

Внешние ссылки

Статья в Энциклопедии математики (EoM)

[1] Жан-Пьер Серр (1992) [1965] Алгебры Ли и группы Ли: лекции 1964 года, прочитанные в Гарвардском университете , страница 152, Springer ISBN 978-3-540-55008-2

[2] Тао, Теренс (10 мая 2011 г.). «Теорема Адо» . Что нового . Проверено 18 сентября 2022 г.

[3] Ван Эст, Виллем (1987). «Доказательство Эли Картана третьей теоремы Ли» . Гамильтоновы действия групп, третья теорема Ли, в разработке (на французском языке). 27 . Париж: Герман: 83–96.

[4] Эберт, Йоханнес. «Изложение Ван Эстом доказательства Картана третьей теоремы Ли» (PDF) .

[5] Дуистермаат, Джей-Джей ; Колк, JAC (2000). Группы лжи . Университетский текст Берлин, Гейдельберг: Springer Berlin Heidelberg. дои : 10.1007/978-3-642-56936-4 . ISBN 978-3-540-15293-4 .

[:5-6] Шьямаар, Рейер (25 октября 2011 г.). «Вклад Ганса Дуистермаата в геометрию Пуассона». arXiv : 1110.5627 [ math.HO ].

[7] Крайник, Мариус ; Фернандес, Руи (01 марта 2003 г.). «Интегрируемость скобок Ли» . Анналы математики . 157 (2): 575–620. arXiv : math/0105033 . дои : 10.4007/анналы.2003.157.575 . ISSN 0003-486X . S2CID 6992408 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]